類型一:

根據已有平行關系證平行

例題1：已知四棱錐P-ABCD，且G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，且有BC∥平面GEFH，證明GH∥EF。

證明：

∵BC∥平面GEFH，

平面GEFH∩平面ABCD=EF且BC?平面ABCD

∴BC∥EF

∵EF?平面PBC，BC?平面PBC

∴平面EF∥平面PBC

∵平面EFGH∩平面PBC=GH

∴EF∥GH

例題2：如圖，三棱臺DEF-ABC，AB=2DE，且G，H分別為AC，BC的中點，求證：BD∥平面FGH。

證明：

在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE

且H為BC的中點，

∴BH∥EF，且BH＝EF

∴四邊形BHEF是平行四邊形

又G是AC中點，H為BC的中點，根據三角形中位線可得：GH∥AB，又GH∩HF=H

∴平面FGH∥平面ABED

∵BD?平面ABED

∴BD∥平面FGH

變式：如圖所示，在三棱錐P-ABQ中， D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點， PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH，求證AB∥GH。

類型二:

利用三角形的中位線證平行

例題：如圖，四棱錐P-ABCD，AD∥BC，且AD=2BC，且E，F分別為線段AD，PC的中點，求證：AP∥平面BEF。

證明：

連接AC，CE，且AC與BE相交于點O，連接OF，如下圖：

∵AD∥BC，且AD=2BC，且E是AD的中點，

可得：四邊形ABCE是平行四邊形

∴O是AC的中點，又F是PC的中點

∴OF是△ACP的中位線

∴OF∥PA

∵PA?平面BEF，OF?平面BEF

∴AP∥平面BEF

變式：如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，點M，N分別為A1B和B1C1的中點，求證：MN∥A1ACC1

類型三：

利用平行四邊形的性質證平行

例題1：在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E為PD的中點，求證：AE∥平面PBC。

證明：

取PC的中點F，連接EF，BF，如下圖：

∵E，F分別是PD，PC的中點

∴EF∥CD，且CD=2EF

又AB∥CD，且CD=2AB

∴AB∥EF，且AB=EF即四邊形ABFE是平行四邊形

∴AE∥BF

又AE?平面PBC，BF?平面PBC

∴AE∥平面PBC

例題2：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側面BCC1B是矩形，AB=A1B，N是B1C的中點，M是棱AA1上的一點，且AA1⊥CM，證明：MN∥ABC

證明：

連接BM，取BC得中點P，連接AP，NP，如下圖：

∵BCC1B1是矩形，

∴BC⊥BB1，

∵AA1∥BB1

∴AA1⊥BC

∵AA1⊥MC，BC∩MC=C，

∴AA1⊥平面BCM

∴AA1⊥MB

∵AB=A1B

∴M是AA1的中點，

又P，N分別是CB，CB1的中點，

由三角形的中位線可得：NP∥BB1，且BB1=2NP

∴NP∥MA，且NP=MA

∴四邊形AMNP是平行四邊形

∴MN∥AP∵MN?平面ABC，AP?平面ABC

∴MN∥平面ABC

變式：如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=4，且M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點，證明：MN∥平面PAB。

類型四：

利用向量法證平行

1.利用平面法向量

利用法向量證明直線與平面平行的基本原理為：

若平面外一條直線的方向向量垂直于此平面的法向量，則該向量與此平面平行。即若法向量n⊥平面ɑ，且法向量n⊥向量a，則向量a∥平面ɑ

例題：如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點，證明：MN∥C1DE

證明：

以D為原點，以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如下：

根據AA1=4，AB=2，

可得點的坐標如下：

D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，4)M(2，2，2)，N(1，0，2)

則有：

2.利用向量共面定理

向量共面定理：

已知向量a，向量b，向量c兩兩不共線，若存在實數x，y，使得向量c=xa+yb，則向量a，向量b，向量c共面。具體如下動圖所示：

備注：因為向量是可以移動的，所以幾個向量共面不代表向量所對應的直線是相互共面的。

例題：如圖所示四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4,PA=2，E為PD的中點，證明：PB∥平面AEC

證明：

以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如下：

根據AB=4， PA=2，

可得點的坐標如下：

A(0，0，0)，P(0，0，2) ，B(4，0，0)D(0，4，0) ，C(4，4，0)

∵E為PD的中點，

∴E(0，2，1)

3.利用平面向量共線定理

平面向量共線定理：

不共線的兩條直線所對應的向量分別為向量a，向量b，若向量a=λb，則向量a∥向量b接下來用平面向量共線定理再解上面用法向量求解的例題

例題：如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AA1=4，AB=2，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點，證明：MN∥C1DE

證明：

以D為原點，以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如下：

根據AA1=4，AB=2，

可得點的坐標如下：

D(0，0，0)，E(1，2，0)M(2，2，2)，N(1，0，2)

則有：

總結

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