目錄索引

• 1.符號(hào)說(shuō)明與結(jié)構(gòu)框圖
• 2.最小拍控制系統(tǒng)構(gòu)造原則
• • 2.1數(shù)字控制器D(z)的構(gòu)造
• 3.簡(jiǎn)單控制對(duì)象的最小拍控制器設(shè)計(jì)
• • 3.1階躍輸入
  • 3.2速度輸入

1.符號(hào)說(shuō)明與結(jié)構(gòu)框圖

y(k)——系統(tǒng)響應(yīng)輸出的離散值

u(k)——數(shù)字PID控制輸出的離散值

r(k)——期望輸出的離散值（事先已知），在本例中為常數(shù)（即階躍輸入）

e(k)——e(k)=r(k)-y(k)，為期望值-實(shí)際值，是單位負(fù)反饋的誤差比較信號(hào)

D(z)——數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

G(s)——被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，G(z)——廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)

$\Phi (z)=C(z)/R(z)$——系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，${\Phi }_e(z)=E(z)/C(z)$——系統(tǒng)的閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)
系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如下：

2.最小拍控制系統(tǒng)構(gòu)造原則

最少拍系統(tǒng)是指系統(tǒng)對(duì)某些典型的輸入（階躍、速度、加速度輸入）具有最快的響應(yīng)特性。具體來(lái)說(shuō)，最少拍系統(tǒng)應(yīng)滿足對(duì)典型輸入在有限個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束過(guò)渡過(guò)程且穩(wěn)態(tài)誤差為零。研究誤差序列$e(k)$的特性之前，不妨通過(guò)在Z域研究${\Phi }_e(z)$的表達(dá)式來(lái)得出使得$e(k)$最快收斂至0的條件。
最小拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原理是使得系統(tǒng)的閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)${\Phi }_e(z)=a_1{z}^{?1}+a_2{z}^{?2}+...+a_n{z}^{?n}$具有最簡(jiǎn)單的表達(dá)式。因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$z^{?k}$的反Z變換為$\delta (t?k)$，因此$$e(k)=a_1\delta (t?T)+a_2\delta (t?2T)+...+a_n\delta (t?nT)(a_n?=0)$$，即$$e(1)=a_1,e(2)=a_2,...,e(n)=a_n$$n的值是有限的說(shuō)明系統(tǒng)能在有限拍內(nèi)達(dá)到最小，n的值越小，${\Phi }_e(z)$的表達(dá)式越簡(jiǎn)單，能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的拍數(shù)（周期數(shù)）越少。而我們的目的就是設(shè)計(jì)控制器D(z)使其達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差e(k)（甚至是e(t)）的要求。
設(shè)計(jì)步驟大體如下：

根據(jù)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型求出廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

根據(jù)輸入信號(hào)的類型，確定模型${\Phi }_e(z)=1?\Phi (z)$,其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

典型輸入Z域表達(dá)式${\Phi }_e(z)的形式$

$$u(t)$$	$$\frac{1}{1?z^{?1}}$$	$$(1?z^{?1})F(z)$$
$$tu(t)$$	$$\frac{T{z}^{?1}}{{(1?z^{?1})}^2}$$	$${(1?z^{?1})}^{2}F(z)$$
$$\frac{1}{2}{t}^{2}u(t)$$	$$\frac{T^2{z}^{?1}(1+z^{?1})}{2{(1?z^{?1})}^3}$$	$${(1?z^{?1})}^{3}F(z)$$

當(dāng)被控對(duì)象不含有不穩(wěn)定零極點(diǎn)，不含有純滯后環(huán)節(jié)$z^{?1}$時(shí)，F(z)=1，此時(shí)的被控對(duì)象也稱為簡(jiǎn)單對(duì)象。
滿足以上條件的任意一個(gè)，被控對(duì)象稱為復(fù)雜對(duì)象，當(dāng)G(s)中含有不穩(wěn)定零點(diǎn)或純滯后環(huán)節(jié)時(shí)，不能使用D(z)或者${\Phi }_e(z)$中增加因式消除，只能保留至$\Phi (z)$，當(dāng)G(s)中含有不穩(wěn)定極點(diǎn)時(shí)，在${\Phi }_e(z)$中增加對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)抵消$\Phi (z)$中的不穩(wěn)定極點(diǎn)。
3. 求控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，求取原理如下：
由于$C(z)=E(z)D(z)G(z)$，所以$$\frac{C(z)}{R(z)}=D(z)G(z)\frac{E(z)}{R(z)}$$，即${\Phi }_e(z)=D(z)G(z){\Phi }_e(z)$在單位負(fù)反饋系統(tǒng)中${\Phi }_e(z)=1?\Phi (z)$，因此$$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)(1?\Phi (z))}$$
4. 根據(jù)D(z)生成控制算法（或者脈沖傳遞函數(shù)）求出輸出序列，畫(huà)出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。

2.1數(shù)字控制器D(z)的構(gòu)造

我們已經(jīng)知道$$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)(1?\Phi (z))}$$，因此欲求出D(z)只需知道$\Phi (z)$或${\Phi }_e(z)$即可。
$$\Phi (z)=(a_0+a_1{z}^{?1}+a_2{z}^{?2}+...+a_n{z}^{?n})(1?z_1{z}^{?1})(1?z_2{z}^{?1})...(1?z_k{z}^{?1})z^{?m}$$
其中$z_1,z_2,...,z_k$為$\Phi (z)$保留的的廣義被控對(duì)象G(z)不穩(wěn)定零點(diǎn)，$z^{?m}$是閉環(huán)傳遞函數(shù)$\Phi (z)$保留的，在G(z)里面出現(xiàn)的純滯后環(huán)節(jié)$z^{?m}$，而輸入形式?jīng)Q定了前面多項(xiàng)式$a_0+a_1{z}^{?1}+a_2{z}^{?2}+...+a_n{z}^{?n}$的階數(shù)n，階數(shù)n和${\Phi }_e(z)={(1?z^{?1})}^{p}F(z)$中的p是一致的，即n=p，系數(shù)$a_0、a_1、...、a_n$依賴于條件${\Phi }_e(z)={(1?z^{?1})}^{p}F(z)$而定，${\Phi }_e(z)$中含有p重零點(diǎn)z=1，因此它的0階導(dǎo)到p-1階導(dǎo)在z=1處的值都應(yīng)該是0，即

$$?\begin{array}{l}{{\Phi }_e(z)|}_{z=1}=0\\ {\frac{\mathrm{d}{\Phi }_e(z)}{\mathrm{d}z}|}_{z=1}=0\\ {\frac{{\mathrm{d}}^2{\Phi }_e(z)}{\mathrm{d}{z}^2}|}_{z=1}=0\\ ...\\ {\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}}{\Phi }_e(z)}{\mathrm{d}{z}^n}|}_{z=1}=0\end{array}$$
根據(jù)上面的方程組可以解出${\Phi }_e(z)$中的未知參數(shù)$a_0、a_1、...、a_n$，因此${\Phi }_e(z)$已經(jīng)確定，D(z)即可求得。

3.簡(jiǎn)單控制對(duì)象的最小拍控制器設(shè)計(jì)

3.1階躍輸入

假設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為$$G(s)=\frac{9.4}{0.017s+1}$$求階躍輸入下的最小拍控制器D(z)的表達(dá)式。在Simulink的仿真中，我們?cè)O(shè)定了Z變換的采樣頻率是0.005s，（其他地方默認(rèn)為-1，即服從系統(tǒng)的采樣頻率）

先求取廣義被控對(duì)象的傳遞函數(shù)
$$G(z)=Z[\frac{1?e^{?Ts}}{s}\frac{9.4}{0.017s+1}]=(1?z^{?1})Z[(\frac{9.4}{s(0.017s+1)})]=\frac{2.394z^{?1}}{1?0.745z^{?1}}$$
沒(méi)有不穩(wěn)定零極點(diǎn)和純滯后環(huán)節(jié)，因此選取${\Phi }_e(z)=(1?z^{?1}),\Phi (z)=z^{?1}$
此時(shí)$$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)(1?\Phi (z))}=0.4174\frac{z?0.7452}{z?1}$$
我們搭建好Simulink仿真電路如下：

按照我們的理論，系統(tǒng)的應(yīng)該在控制算法作用的第一拍（0.005s處）時(shí)達(dá)到0穩(wěn)態(tài)誤差，仿真曲線如下圖（給定值為1500）：

可以看到驗(yàn)證結(jié)果與我們理論推導(dǎo)相符。注意我們這里示波器取的采樣周期為-1（inherited），說(shuō)明是Matlab內(nèi)置的采樣時(shí)間，會(huì)比我們定的Ts=1s要短的多，非常接近于連續(xù)系統(tǒng)的仿真結(jié)果。可以看出響應(yīng)曲線在上升段有很微小的紋波抖動(dòng)，在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值后，紋波消失。產(chǎn)生紋波的原因在于$Y(z)$

3.2速度輸入

假設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為$$G(s)=\frac{2}{s(s+1)}$$，求系統(tǒng)在采樣時(shí)間1s，輸入信號(hào)為單位速度輸入的條件下的最小拍控制器D(z)。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如下圖所示：

下面我們借助Matlab的命令輕松地解決這個(gè)問(wèn)題。首先按照第二部分最小拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則的步驟，我們應(yīng)該求出帶零階保持器的廣義被控對(duì)象的Z域脈沖傳遞函數(shù)$$G(z)=Z[\frac{1?e^{?Ts}s?G(s)}{]}$$，在Matlab工作區(qū)輸入代碼并獲得輸出的脈沖傳遞函數(shù)：

>> syms s;%定義符號(hào)變量s >> s=tf('s');%s定義為tf（transfer function傳遞函數(shù)）類型的結(jié)構(gòu)體 >> Gs=2/(s*(s+1)); >> Ts=1; >> Gz=c2d(Gs,Ts,'zoh')%帶零階保持器（ZOH）的離散化，采樣時(shí)間為1sGz =0.7358 z + 0.5285----------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679Sample time: 1 seconds Discrete-time transfer function.>> zpk(Gz)%展示為零極點(diǎn)模式ans =0.73576 (z+0.7183)------------------(z-1) (z-0.3679)Sample time: 1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

可以看出脈沖傳遞函數(shù)G(z)中含有1個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)z=1，但是考慮到此時(shí)的${\Phi }_e(z)={(1?z^{?1})}^{2}F(z)$，具有z=1這個(gè)零點(diǎn)，說(shuō)明D(z)的表達(dá)式$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$中可以將極點(diǎn)z=1約去，不必再增加額外的$(1?z^{?1})$因式，因此可以取F(z)=1即${\Phi }_e(z)={(1?z^{?1})}^2$，此時(shí)$$\Phi (z)=1?{\Phi }_e(z)=1?{(1?z^{?1})}^2=2z^{?1}?z^{?2}$$，根據(jù)$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$可以求出控制器表達(dá)式D(z)。

>> syms z; >> z=tf('z'); >> Phiez=(1-z^(-1))^2; >> Phiz=1-Phiez;%得到Φ(z) >> Dz=Phiz/(Gz*Phiez);%得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) >> minreal(zpk(Dz))%得到最簡(jiǎn)零極點(diǎn)式ans =2.7183 (z-0.5) (z-0.3679)-------------------------(z+0.7183) (z-1)Sample time: 1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

我們按照此要去搭建好Simulink仿真圖如下

D(z)的Sample time設(shè)置為1（因?yàn)槲覀兊牟蓸訒r(shí)間是Ts=1s），仿真時(shí)間設(shè)為10s（差不多可以清楚地看見(jiàn)過(guò)渡過(guò)程）

黃色為指令信號(hào)（單位速度輸入），藍(lán)色為響應(yīng)曲線。我們將示波器的圖形（print to figure）打印到圖形。利用數(shù)據(jù)游標(biāo)工具找到t=1和t=2的點(diǎn)。如果我們的理論正確，那么e(0)=0,e(1)=1,e(2)=0.e(3)=e(4)=…=0;

t數(shù)據(jù)游標(biāo)（采樣時(shí)刻的值）

1
2
3
4

由于r(k)=k,y(k)的采樣值依次為0，2，3.002，3.997，e(k)=r(k)-y(k)基本滿足e(0)=0,e(1)=1,e(2)=0.e(3)=e(4)=…=0。
從我們仿真的結(jié)果看，采樣點(diǎn)處的值只需要兩拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)，但是采樣點(diǎn)之間有紋波（這是因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$E(z)=a_1{z}^{?1}+a_2{z}^{?2}+...+a_n{z}^{?n}$并不是有限項(xiàng)，U(z)也并不是有限項(xiàng)，即u(k)最終并沒(méi)有達(dá)到恒定，誤差也并沒(méi)有最終嚴(yán)格歸0），這種控制屬于有紋波的最小拍控制。還可以通過(guò)增加積分可犧牲控制拍數(shù)的手段，達(dá)到無(wú)紋波的最小拍控制，這是連續(xù)系統(tǒng)所做不到的。
希望本文對(duì)您有幫助，感謝大家對(duì)本站點(diǎn)的支持。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小拍控制系统详细解读（阶跃输入+速度输入2个案例）【Simulink仿真】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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