投影學(xué)

題解：本文命名《投影學(xué)》，是由于本文討論投影的一些最基礎(chǔ)的問(wèn)題。

1?投影法

1.1投影的基本概念

投影，是一種通過(guò)降維的方法在平面上表示空間形體的辦法。在工程上，投影是一種光線照射下形體在地面或墻面上產(chǎn)生影子的模擬和抽象，通過(guò)形體輪廓點(diǎn)的一系列投射線與投影面交點(diǎn)的集合。19世紀(jì)發(fā)展出投影幾何(projective geometry)，是以綜合法得到一些定性的關(guān)系，由此圖示和圖解空間形體。它是畫(huà)法幾何學(xué)的基礎(chǔ)。通過(guò)物體的投射線向選定的面投射且在該面上得到圖形的方法叫投影法，它研究空間形體與其投影之間關(guān)系。根據(jù)投影法所得到的圖形叫投影。學(xué)習(xí)和掌握投影理論是實(shí)現(xiàn)空間到平面，以及平面到空間雙向思維的過(guò)程。投影的基本要素是：形體、投射線和投影平面。工程圖常用的投影方法有以下四種：多面正投影法、軸測(cè)投影法、透視投影法和標(biāo)高投影法。從投射線性質(zhì)講，分為中心投影(透視)和平行投影(正投影、軸測(cè)投影和標(biāo)高投影)。從平行投影角度，有正投影和斜投影。正投影和標(biāo)高投影可視作“精準(zhǔn)”投影。這里的“精準(zhǔn)”按不同的要求衡量。軸測(cè)投影和透視投影可視作“視覺(jué)”投影。可以說(shuō)僅用于“視覺(jué)”傳遞。

1.2空間表示

形體是空間的，圖紙是平面的，在平面上表示一個(gè)空間形體是通過(guò)投影方法實(shí)現(xiàn)的，這是一種降維的表述。降維表述就會(huì)有信息缺失，因此，設(shè)法補(bǔ)充缺失的信息是降維方法的主要工作。如笛卡爾直角坐標(biāo)系一樣，空間形體有三個(gè)獨(dú)立的維度去描述，日常所說(shuō)立方體的“長(zhǎng)、寬、高”就是互相垂直的三個(gè)度量維度。正投影中用三個(gè)視圖分別表示形體的三個(gè)方向(面)，軸測(cè)圖用一個(gè)視圖同時(shí)表示三直三面角，他們的目標(biāo)都是要表達(dá)形體的三個(gè)方向(面)，表達(dá)形體獨(dú)立的三個(gè)維度。本文將分析正投影法、軸測(cè)投影法、透視投影法和標(biāo)高投影法各自采取的空間表示策略。

2?正投影法

2.1為何三視圖

空間形體是三維的，在平面上用三個(gè)視圖分別去表達(dá)三個(gè)維度(尺寸)是很自然的想法。但細(xì)究起來(lái)，并非那么簡(jiǎn)單。形體，都是在笛卡爾坐標(biāo)系下表達(dá)的，看一下形體的構(gòu)造規(guī)則：兩點(diǎn)決定一直線段-有序封閉直線段決定一個(gè)平面。由此，點(diǎn)是決定空間形體的基礎(chǔ)。直線，兩個(gè)點(diǎn)能唯一確定一直線段。點(diǎn)決定了，直線段也就決定了。平面，由圍成的直線確定。同樣，組成平面邊界的有序直線段一旦確定，平面也就確定了。點(diǎn)，可表達(dá)成P(x,y,z)，一旦x、y、z確定，點(diǎn)就唯一確定了。投影是降維，從三維空間降為二維平面，所以，從理論上講，點(diǎn)只需在兩個(gè)垂直投影面上上的投影就能唯一決定一個(gè)點(diǎn)。例如H面投影確定了x,y，Z面投影可確定z,x，因此兩個(gè)面的投影，P(x,y,z)就可確定。按照這個(gè)說(shuō)法，理論上兩個(gè)投影面就能表述空間形體了。那么，為什么一定要用三視圖呢？考察圖2-1的情況，同時(shí)與H面和V面垂直的長(zhǎng)方形面及三角形面，由于投影的積聚性造成空間不同面在同一投影面上產(chǎn)生相同的投影。在這種情況下，僅靠H面和V面上的投影，不能確定空間是長(zhǎng)方形面或三角形面，甚至是其他的多邊形。

? ?圖2-1 投影的積聚性造成空間不同面在同一投影面上產(chǎn)生相同的投影?

這種“不確定性”出自何因？上述假設(shè)點(diǎn)決定線，線決定面的構(gòu)造規(guī)則是建立在空間幾何一一對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上的，也是基于點(diǎn)與點(diǎn)投影是一一對(duì)應(yīng)這個(gè)基礎(chǔ)上的。然而，當(dāng)直線段與投影面垂直時(shí)，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)被破壞了，因?yàn)榇藭r(shí)直線段的兩個(gè)端點(diǎn)積聚成同一個(gè)投影點(diǎn)，造成了空間兩個(gè)端點(diǎn)只有一個(gè)投影點(diǎn)，點(diǎn)與投影間的一一對(duì)應(yīng)規(guī)則被破壞。圖2-1的例子中，如果對(duì)長(zhǎng)方形面邊界或三角形面邊界的頂點(diǎn)加以標(biāo)識(shí)(此時(shí)，他們的投影也有相應(yīng)的標(biāo)識(shí)了)，那么，盡管長(zhǎng)方形面和三角形面在H面和V面上的投影是相同的，根據(jù)投影和頂點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，還是能夠根據(jù)這兩個(gè)(相同的)投影分別表示空間的長(zhǎng)方形面和三角形面的。也就是說(shuō)，理論上說(shuō)，完全能夠用兩個(gè)視圖表達(dá)空間形體。問(wèn)題是，用投影法描述形體只有“投影”，點(diǎn)的投影、線的投影、面的投影，沒(méi)有形體構(gòu)造關(guān)系的任何其他附加信息。設(shè)想借助于“頂點(diǎn)標(biāo)識(shí)”(實(shí)際上是形體幾何構(gòu)造關(guān)系)這個(gè)外加的信息的兩視圖表達(dá)三維形體的“對(duì)頂點(diǎn)加以標(biāo)識(shí)加投影的方法”篡改了僅用“投影描述空間形體”的投影法規(guī)則。由此，要在平面上準(zhǔn)確的表述任何一個(gè)空間形體，需要將二個(gè)投影面擴(kuò)展到三個(gè)投影面，這就可以解釋為什么要用“第三個(gè)視圖”了，也即正投影法中用“三視圖”來(lái)表述一個(gè)空間立體策略的緣由。而且因?yàn)槿齻€(gè)投影面是互相垂直的，而空間直線或平面垂直于投影面而產(chǎn)生積聚“作廢”了一個(gè)投影面，也僅僅只能“作廢”一個(gè)投影面，另兩個(gè)投影面能唯一決定空間直線或平面，因此，三視圖表示空間形體的條件又是充分的。

2.2?投影體系

畫(huà)法幾何投影體系用三個(gè)互相垂直的空間平面，并將空間分成8個(gè)部分，稱(chēng)為8個(gè)分角。我國(guó)制圖國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)(GB/T14692-2008和GB/T13361-2012)規(guī)定采用第一分角作為投影體系(圖2-2)。第一分角投影體系正立的投影面簡(jiǎn)稱(chēng)為正面，用V標(biāo)記；側(cè)立的投影面簡(jiǎn)稱(chēng)為側(cè)面，用W標(biāo)記；將水平放置的投影面稱(chēng)為水平面，用H標(biāo)記。H、V和W3個(gè)面兩兩互相垂直，其交線OX、OY和OZ為投影軸，如果在OX、OY和OZ三投影軸標(biāo)出尺寸，那么三投影面體系就可構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，三個(gè)投影軸相當(dāng)于三個(gè)坐標(biāo)軸，三軸交點(diǎn)O稱(chēng)為原點(diǎn)。第一分角投影體系簡(jiǎn)稱(chēng)E法，俄、英、德、法均采用E法，而美、日、加拿大和澳大利亞等則采用第三分角投影體系，簡(jiǎn)稱(chēng)A法。第三角畫(huà)法的俯、仰、左、右視圖靠近主視圖的一邊(里邊)，均表示物體的前面，遠(yuǎn)離近主視圖的一邊(外邊)，均表示物體的后面，與第一角畫(huà)法的“外前，里后”正好相反(圖2-3)。從外前、里后對(duì)應(yīng)的角度講，似乎A法更合乎人的感覺(jué)。不管采用第一分角還是第三分角，以三面投影體系為主構(gòu)筑正投影體系，在平面上表示空間物體就是正投影體系，在這三個(gè)正投影面上投影可從三個(gè)角度分別準(zhǔn)確反映形體的形狀和大小。

2.3?換面法

通過(guò)選擇新的投影面，使空間形體的投影達(dá)到某一特殊要求的改變投影面方法叫做換面法。例如，通過(guò)換面法求得空間直線段的實(shí)長(zhǎng)。當(dāng)空間直線段與投影面不平行時(shí)，它在投影面上的投影將不反應(yīng)空間線段的實(shí)長(zhǎng)。如圖2-4中AB與V面不平行，ABb'a'將成一個(gè)直角梯形，a'b'與AB的實(shí)長(zhǎng)不相等。如果換一個(gè)同樣與H面垂直，而與AB平行的V₁面，那么，AB在V₁面的正投影a₁'b₁'反應(yīng)了AB的實(shí)長(zhǎng)。

圖2-4 換面法

換面法可歸結(jié)到“向任意平面正投影的計(jì)算化”問(wèn)題(參閱本文后面6.3節(jié))。

3?軸測(cè)投影法

3.1解析單面投影

前面說(shuō)明了正投影法描述空間形體用三個(gè)視圖的緣由，軸測(cè)投影法是用單面視圖描述空間形體。同樣，根據(jù)描述形體三個(gè)維度的基本點(diǎn)，單面投影需要在一個(gè)投影面上表述出三個(gè)維度。立方體的一個(gè)角可以作為參考系。立方體八個(gè)角中的一個(gè)角，它由互相垂直的三個(gè)面(三直三面角)構(gòu)成，代表三個(gè)維度。因此，如果一個(gè)單面投影圖能將一個(gè)立方體及他的一個(gè)角的空間感覺(jué)表達(dá)清楚了，那么就能將一個(gè)空間形體表達(dá)清楚了，就接近于人們的視覺(jué)習(xí)慣，形象、逼真，富有立體感。因此可以用簡(jiǎn)單的立方體作為樣板或參考系。等軸測(cè)投影法就是根據(jù)從立方體一條對(duì)角線作為投射線方向引入的。空間坐標(biāo)系也可以作為一個(gè)參考系。空間坐標(biāo)系與立方體的一個(gè)角一樣，也是一個(gè)三直三面角，而且，更能定量表述形體的尺寸。因此，將空間坐標(biāo)系作為參考系，是一個(gè)更佳的選擇。將空間坐標(biāo)系和軸測(cè)坐標(biāo)系之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換關(guān)系搞清楚了，軸測(cè)投影體系也就搞清楚了。當(dāng)然，從幾何的不變性，形體以及在平面上表述形體的正視圖、軸測(cè)圖等并不依賴(lài)于坐標(biāo)系。目前的軸測(cè)投影是因“立方體的一個(gè)角可以作為參考系”啟發(fā)下，以“空間坐標(biāo)系作為一個(gè)參考系”實(shí)現(xiàn)的。最早的軸測(cè)投影畫(huà)法出現(xiàn)在英國(guó)，它的奠基人是Wiliam Farish，威康?費(fèi)利什(1759-1837)，1820年，他在英國(guó)哲學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了題為“論等測(cè)透視圖(On Isometrical Perspective)”的論文，明確提出了表現(xiàn)力較好的立方體的一個(gè)面投影表示法：“從立方體一條對(duì)角線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，向一個(gè)垂直于該對(duì)角線的平面投影”，這構(gòu)成了等軸測(cè)投影法。這個(gè)設(shè)想的擴(kuò)展便構(gòu)成了后來(lái)的軸測(cè)投影法，它建立在向空間平面作平行投影的基礎(chǔ)上，建立了空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系，構(gòu)成了軸測(cè)投影體系。

3.2?軸測(cè)投影體系

1)軸測(cè)投影的基本定理

德國(guó)幾何學(xué)家K?波克證明了波克定理：“平面上從一個(gè)點(diǎn)引出的任意3條(不共線的)線段，總可以作為空間3條互相垂直的相等線段的平行投影。”波克定理被稱(chēng)為軸測(cè)投影的基本定理，它不僅奠定了軸測(cè)投影的理論基礎(chǔ)，而且定性地描述了軸測(cè)投影中各參數(shù)之間的互相關(guān)系：投影平面上軸測(cè)軸的各種位置(軸間角)和軸測(cè)單位的各種長(zhǎng)度(軸向伸縮系數(shù))是與空間坐標(biāo)軸的各種位置和投射方向相對(duì)應(yīng)的。當(dāng)任意選定了軸向伸縮系數(shù)的比值和軸間角以后，總能求出空間坐標(biāo)軸的位置和相應(yīng)的投射方向。

2)平行投影體系

軸測(cè)投影建立在一個(gè)平行投影體系上。平行投影體系。設(shè)在空間坐標(biāo)系下表述的一個(gè)平面Π，一個(gè)方向L和任意一點(diǎn)A。如果通過(guò)A點(diǎn)引一條與方向L平行的直線使它與平面Π相交，則交點(diǎn)a就叫做A點(diǎn)沿L方向的平行投影。直線Aa叫做投射線，平面Π叫做投影面。如果投影方向L與投影面Π垂直，這種投影就叫做正投影，否則叫做斜投影。由空間坐標(biāo)系、投影面和投射方向構(gòu)成的一組元素叫做平行投影系，它表達(dá)空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。

3)軸測(cè)投影的表述

軸測(cè)投影的完整表述：在一空間笛卡爾坐標(biāo)系下有一投影平面和一投射方向構(gòu)成一個(gè)平行投影系，軸測(cè)投影是在這個(gè)平行投影系下，將一個(gè)空間直角坐標(biāo)系(三維坐標(biāo)系)沿投射方向投射到投影面上，構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)系，用以在一個(gè)平面上表達(dá)三直三面角(平面上表達(dá)的空間坐標(biāo)系)。因此，簡(jiǎn)單的說(shuō)，軸測(cè)投影就是：用平行投影的方法，將一空間坐標(biāo)系向設(shè)定的投影面投影，構(gòu)成投影面上的軸測(cè)坐標(biāo)系。在這個(gè)軸測(cè)坐標(biāo)系下表示的有立體感的圖形叫做原空間形體的軸測(cè)圖。

4)軸測(cè)投影三角形

Oxyz的三個(gè)坐標(biāo)軸與Π的交點(diǎn)A、B、C構(gòu)成一個(gè)三角形△ABC，稱(chēng)為“軸測(cè)投影三角形”，△ABC是投影面Π與空間笛卡爾坐標(biāo)系三個(gè)軸相交的交點(diǎn)形成的三角形，它與三直三面角的空間坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面構(gòu)成一個(gè)四面角O-ABC。這個(gè)△ABC在軸測(cè)投影理論與應(yīng)用的研究中有特別的意義。以后關(guān)于軸測(cè)投影的研究基本上是基于這個(gè)軸測(cè)投影三角形展開(kāi)的。

3.3?軸測(cè)投影的原理圖

如圖3-1‐圖3-4所示，空間笛卡爾坐標(biāo)系Oxyz，投影平面Π，投射線L(圖3-1‐圖3-2投射線L同 OO₁)，三坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz與Π的交點(diǎn)分別為A、B、C。在投影面Π上，空間坐標(biāo)系原點(diǎn)O在Π上的投影為O₁，空間三坐標(biāo)軸(Ox,Oy,Oz)在Π面上的三投影(O₁x₁,O₁y₁,O₁z₁)構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)軸，三者以O(shè)₁為原點(diǎn)，構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)系。 若L⊥Π，構(gòu)成正軸測(cè)投影(圖3-1‐圖3-2，投射線L與OO₁重疊)；否則，構(gòu)成斜軸測(cè)投影(圖3-3‐圖3-4，OO₁//L，OO^*⊥Π)。

3.4?軸測(cè)投影體系參數(shù)

1)軸測(cè)投影參數(shù)

軸測(cè)投影體系表述空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。軸測(cè)投影體系也由這三者決定，其基本參數(shù)分為空間參數(shù)和軸測(cè)參數(shù)(參閱圖3-1‐圖3-4)。空間參數(shù)七個(gè)：三直三面空間坐標(biāo)系Oxyz、投射方向L、投影面Π。其中，L和Π都是在Oxyz下表達(dá)的。空間參數(shù)包括α、β、γ與α₁、β₁、γ₁和φ等7個(gè)參數(shù)。投射方向與空間坐標(biāo)系的互相位置由α₁、β₁、γ₁確定。空間坐標(biāo)系與投影面的互相位置由α、β、γ確定。投射方向與投影面的互相位置由φ確定。軸測(cè)參數(shù)六個(gè)。軸向變形系數(shù)η_x、η_y、η_z和軸間角∠1，∠2，∠3等共6個(gè)參數(shù)可稱(chēng)為軸測(cè)參數(shù)。他們是在軸測(cè)投影圖上決定物體空間形狀的作圖依據(jù)。知道了軸間角和軸向變形系數(shù)，就可以沿著軸向度量形體的尺寸，也可以沿著軸向量畫(huà)出形體上各點(diǎn)、各線段和整個(gè)形體的軸測(cè)投影。空間7個(gè)參數(shù)和軸測(cè)6個(gè)參數(shù)(參閱圖3-1‐圖3-4)不全是獨(dú)立的，他們間有一些制約關(guān)系。其中，式(3-1)稱(chēng)為軸測(cè)投影體系的基本公式，它反映了軸測(cè)投影中各軸測(cè)參數(shù)之間的定量關(guān)系。

2)軸測(cè)投影體系的自由度

一般形式的軸測(cè)投影體系有4個(gè)自由度。在基本式(3-1)中，3個(gè)軸間角只有2個(gè)是獨(dú)立的，那么基本式本身也只包含有5個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以有4個(gè)自由度，只要任給出其中4個(gè)獨(dú)立參數(shù)，就能求出其余空間參數(shù)，從而也就能確定軸測(cè)系統(tǒng)的位置。

3.5?正軸測(cè)投影要素

1)正軸測(cè)投影的基本關(guān)系式

正軸測(cè)投影是軸測(cè)投影中的一個(gè)特例當(dāng)投射方向與投影面垂直，即投射角φ=90°時(shí)，就是正軸測(cè)投影，此時(shí)式(3-7)可化為正軸測(cè)投影基本關(guān)系式：?

ηx 2+ ηy 2+ ?ηz 2=2? ?(3-9) 將它代入基本式(3-1)，就得到 (ηxηysin∠1)2 +(ηy ?ηz sin∠2)2 ?+(ηzηxsin∠3)2 ?=1??(3-10)

這就是正軸測(cè)投影基本定理。

2)正軸測(cè)軸向變形系數(shù)與軸間角的關(guān)系

軸向變形系數(shù)η_x、η_y、η_z與軸間角∠1、∠2、∠3間的關(guān)系是確定的。

3.6?斜軸測(cè)投影要素

1)斜軸測(cè)投影的基本關(guān)系式

如名所述，斜軸測(cè)投影時(shí)(圖(3-3)~圖(3-4))，平行投影的方向L是不平行于投影面法線方向的，設(shè)它與投影面△ABC成φ角，斜軸測(cè)投影軸為O₁A、O₁B和O₁C，坐標(biāo)原點(diǎn)O在投影面△ABC上的正投影是O^*。斜軸測(cè)投影時(shí)有：η_x²+η_y²+η_z²=1+1/sin²φ=2+cot²φ? ? ? ? ? ?這是斜軸測(cè)投影的基本關(guān)系式——投影方向與變形系數(shù)之間的關(guān)系。斜軸測(cè)投影的變形系數(shù)的平方和隨投射線對(duì)軸測(cè)投影面的夾角而變化。

2)空間參數(shù)與軸測(cè)參數(shù)間的關(guān)系

在斜軸測(cè)投影中，還有以下的結(jié)論：笛卡爾坐標(biāo)軸(空間參數(shù))與對(duì)應(yīng)的軸測(cè)投影軸(軸測(cè)參數(shù))的放射比(軸向變形系數(shù))和他們兩者的夾角余弦的乘積之和等于2，即有：

ηx cosα+ηycosβ+ηzcosγ=2???? (3-17) 但與正軸測(cè)投影不同，在斜軸測(cè)投影中，下列三式不成立：cosα=ηx，cosβ=ηy，cosγ=ηz但是有：ηx (cosα-ηx)+ηy(cosβ-ηy)+ηz(cosγ-ηz)=-ctg2φ???(3-18)

此式給出了笛卡爾坐標(biāo)軸在任意軸測(cè)投影面上作軸測(cè)投影時(shí)，坐標(biāo)軸與軸測(cè)軸兩者仿射比(變形系數(shù))之間的關(guān)系，以及斜投射方向與投影面法向的夾角之間的關(guān)系。

3.7 投影面和軸測(cè)軸的求取

投影面改變的本質(zhì)是投影方向的改變，即投射方向的改變。投影面問(wèn)題。投影面選擇的本質(zhì)是投射方向的選擇，投射方向的改變是相對(duì)的！方式一，可以是形體不動(dòng)，改變投影面。這常是一種斜投影方式。方式二，固定投影面，對(duì)形體作空間變換。這常是一種正投影方式。方式一多用于理論研究，方式二多用于實(shí)際應(yīng)用，工程制圖中就用坐標(biāo)平面作為投影面。坐標(biāo)軸問(wèn)題。“形體連同它的三個(gè)坐標(biāo)軸向設(shè)定的投影面投影”，軸測(cè)圖是依賴(lài)于坐標(biāo)軸的，需要在投影中附件上笛卡爾坐標(biāo)系。現(xiàn)在軸測(cè)圖的繪制先決定坐標(biāo)軸(軸測(cè)軸)。

1)方式一：固定形體尋找投影面

先討論固定形體，形體在這樣的局部坐標(biāo)系下表示：它至少有一個(gè)主面平行于坐標(biāo)平面。在總坐標(biāo)系下決定一個(gè)投影面P，給出P的一個(gè)表達(dá)形式：P面上的一個(gè)點(diǎn)，和P在總坐標(biāo)系下的單位法向量，使得形體在P面上的投影是形體的軸測(cè)圖。①?正等測(cè)圖投影面的決定軸測(cè)投影初始是得到正等測(cè)投影，投影面P的法向與總坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸有相同的夾角，所以它在總坐標(biāo)系的單位法向是：N_p(0.577350,0.577350, 0.577350)。圖3-6和圖3-7是正等測(cè)在不同軸測(cè)圖下顯示的投影原理圖。

②?正二測(cè)圖投影面的決定正二測(cè)投影面P在總坐標(biāo)系的X、Y、Z下的單位法向是：N_p(0.881931,0.333333, 0.333297)。下面是一組構(gòu)成投影面的3點(diǎn)的例子，為方便，這3點(diǎn)可取在原坐標(biāo)軸的軸上。其中，第一個(gè)可先決定，任選，后面兩點(diǎn)根據(jù)選定的首點(diǎn)及正二測(cè)投影面的單位法向經(jīng)計(jì)算得到(圖3-8-圖3-10)：P₁(0.0, 0.0, 1.0)，P₂(0.377918,0.0, 0.0)，P₃(0.0,0.999892, 0.0)根據(jù)顯示要求，P₁點(diǎn)可以離原點(diǎn)遠(yuǎn)一點(diǎn)，例如，取P₁(0.0,0.0, 2.0)P₁(0.0, 0.0,3.0)等，P₂和P₃由正二測(cè)投影面的單位法向重新計(jì)算得到。

③???斜二測(cè)圖投影面的決定一般的敘述。斜二測(cè)圖中，形體有一個(gè)主平面與投影面平行，投射線的方向是垂直于這個(gè)投影面的。所以，可以選擇與H面垂直的面作為斜二測(cè)圖的投影面，投影面的法向與H面平行。構(gòu)筑一個(gè)以P面法向作為新的z軸，P面作為新的xy平面的新坐標(biāo)系，在這個(gè)新坐標(biāo)系向經(jīng)錯(cuò)切變換后向xy平面投影，這個(gè)投影就是形體的斜二測(cè)投影圖。但是，因?yàn)樾枰靶误w有一個(gè)主平面與投影面平行”這樣一個(gè)條件，而這個(gè)條件在選擇形體坐標(biāo)系時(shí)更為需要，所以，在斜二測(cè)圖產(chǎn)生中，不建議選擇除了坐標(biāo)平面外的投影面。例如，選擇的投影面是xy平面，那么，投射線的法向是：N_p(0.0, 0.0, 1.0)。

2)方式二：固定投影面而變換形體

這是產(chǎn)生軸測(cè)變換的另一種方式：通過(guò)對(duì)空間形體的旋轉(zhuǎn)或者錯(cuò)切變換，將軸測(cè)投影轉(zhuǎn)化為正投影。方法如下(圖3-11-圖3-13)。①正等測(cè)圖。如果以x-y平面作為投影面，在這個(gè)面上產(chǎn)生正等測(cè)圖。那么可先將空間形體繞y軸旋轉(zhuǎn)-45?，再繞x軸正旋轉(zhuǎn)35.26442 ?(35?15.865')然后向x-y平面投影(取x、y坐標(biāo))，得到正等測(cè)圖。②正二測(cè)圖。如果將空間形體繞y軸旋轉(zhuǎn)-69.297539?(-69?17'10'')，再繞x軸正旋轉(zhuǎn)19.47122?(19?28'16'')，然后向x-y平面投影(取x、y坐標(biāo))，得到正二測(cè)圖。③斜二測(cè)圖。先沿x向錯(cuò)移-0.3535且離開(kāi)z軸(T[3,0]=-0.3535)，然后沿y軸錯(cuò)移-0.3535且離開(kāi)z軸(T[3,1] =-0.3535)，然后向x-y平面投影(取x、y坐標(biāo))，得到斜二測(cè)圖。

4?透視投影法

4.1透視的基本概念

“透視”是一個(gè)繪畫(huà)理論術(shù)語(yǔ)，通過(guò)一塊透明的平面去看景物，在平面上所見(jiàn)的景物的畫(huà)面就是該景物的透視圖。將這個(gè)現(xiàn)象抽象，就是把視點(diǎn)固定為一點(diǎn)，觀測(cè)者的視點(diǎn)與空間形體輪廓的各個(gè)點(diǎn)形成的一系列視線與畫(huà)面的交點(diǎn)在平面上按照空間形體的構(gòu)造用線條來(lái)顯示形體的空間位置、輪廓，描繪可較好的顯現(xiàn)出空間形體之間的遠(yuǎn)近和層次關(guān)系。透視體系先設(shè)定一個(gè)畫(huà)面V和一個(gè)視點(diǎn)E，由視點(diǎn)E出發(fā)，與描述空間形體輪廓的各個(gè)定點(diǎn)連接形成一系列的直線，這些直線將與畫(huà)面V產(chǎn)生的交點(diǎn)，遵照空間形體輪廓原來(lái)的連接次序連接起來(lái)，就構(gòu)成了該空間形體在畫(huà)面上的透視圖。如圖4-1所示，形體底面所在的平面稱(chēng)為基面，常選取水平面或地平面(圖4-1中H平面)，基面在透視投影系統(tǒng)中稱(chēng)為物面或地面，因?yàn)楸焕L形體放在這個(gè)平面上。在建筑透視中常有這樣的表述：觀察者所站立的水平地面，或形體所在的水平面。為了用齊次矩陣描述一個(gè)透視變換，先要構(gòu)筑一個(gè)參考坐標(biāo)系xyz。在計(jì)算機(jī)里表述時(shí)，一般將畫(huà)面(V面)設(shè)為xy坐標(biāo)平面，基面(H面)設(shè)為y=0坐標(biāo)平面，y軸表示高度，視點(diǎn)在z軸正向，而形體放在z軸負(fù)向。下面給出透視體系的一些術(shù)語(yǔ)。

基面：形體底面所在的平面稱(chēng)為基面。 畫(huà)面：垂直于基面H的平面V是投影面，又稱(chēng)為圖畫(huà)平面或畫(huà)面。 視點(diǎn)：點(diǎn)E是投影中心，相當(dāng)于觀察者眼睛的位置，通常稱(chēng)為視點(diǎn)。 站點(diǎn)：視點(diǎn)E在基面上投影e稱(chēng)為站點(diǎn)(在建筑透視中將站點(diǎn)定義為觀察者站立的位置)。 視高：視點(diǎn)到基面的距離，即人眼到地面的高度。 視心：視點(diǎn)E在畫(huà)面的投影點(diǎn)E0稱(chēng)為視心，也稱(chēng)主點(diǎn)。 視距：線段E0E表示視點(diǎn)至畫(huà)面之距離，稱(chēng)為視距。 畫(huà)面中線：在畫(huà)面上通過(guò)視心E0的鉛垂線E0e0稱(chēng)為畫(huà)面中線。 基線：畫(huà)面與基面的交線gg'稱(chēng)為畫(huà)面的基線。 視線：即投射線，視點(diǎn)與形體上任一點(diǎn)的連線。 視平線：通過(guò)視點(diǎn)E的水平面(EGG')與畫(huà)面V的交線GG'稱(chēng)為視平線。 空間點(diǎn)：A、B、C表示空間的點(diǎn)。 點(diǎn)的透視：通過(guò)任一點(diǎn)的視線與畫(huà)面的交點(diǎn)，如 A0、B0、C0。 基點(diǎn)：空間各點(diǎn)在基面H平面上的投影。如a、b、c分別表示A、B、C的基點(diǎn)。 基透視：形體的基面投影到透視，如a0、b0、c0。

圖4-1 透視體系

4.2透視的類(lèi)型

透視的一個(gè)關(guān)鍵要素是“滅點(diǎn)”的概念，與畫(huà)面不平行的空間直線的無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)在畫(huà)面上的透視點(diǎn)稱(chēng)為滅點(diǎn)，一組平行的直線有同一個(gè)滅點(diǎn)。空間形體主方向平行直線的滅點(diǎn)稱(chēng)為主滅點(diǎn)。根據(jù)滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)，透視變換可以分成平行透視(一滅點(diǎn))??、成角透視(兩滅點(diǎn)透視)和三滅點(diǎn)透視等3種類(lèi)型，而三滅點(diǎn)透視又可分為由旋轉(zhuǎn)方法產(chǎn)生和通過(guò)傾斜畫(huà)面產(chǎn)生，產(chǎn)生方法將在后面詳細(xì)敘述。建筑圖常用傾斜畫(huà)面產(chǎn)生三滅點(diǎn)透視圖。表4-1列出了一些透視的類(lèi)型。

4.3透視參數(shù)的設(shè)定

一般認(rèn)為，人眼的視域接近于橢圓，因此被繪形體、視點(diǎn)及畫(huà)面三者之間的相對(duì)位置應(yīng)使得形體在空間中整個(gè)地落在這樣的一個(gè)橢圓錐體內(nèi)：該橢圓錐體以視點(diǎn)為頂點(diǎn)，中心視線為軸線，軸線垂直畫(huà)面，視錐的頂角為視角，視錐與畫(huà)面相交所包圍的區(qū)域稱(chēng)為視域，視域?yàn)闄E圓。橢圓的長(zhǎng)軸是水平的，水平視角α在120°~148°之間，垂直視角β約為110°。但是，清晰的視域只是視域范圍的一部分，水平視角α大約在28°~37°之間，控制在60°。表4-2給出繪制建筑透視圖時(shí)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值。視野：指人眼像一點(diǎn)注視時(shí)所能看到的空間范圍，視野近乎一個(gè)橢圓錐，水平方向?qū)捯恍?strong>水平視角：水平方向的兩條極限視線間的夾角稱(chēng)為水平視角。垂直視角：垂直方向的兩條極限視線間的夾角稱(chēng)為垂直視角。視圓錐：清晰視野下，將視野橢圓錐看做一個(gè)以視點(diǎn)為頂點(diǎn)，主視線為軸線的圓錐。

表4-2繪制透視圖時(shí)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值

類(lèi)型	參數(shù)	說(shuō)明
水平視角	140-176°	一只眼睛時(shí)，120-148°
垂直視角	110-125°	一只眼睛時(shí)，110-125°
清晰視野	28-37°	清晰視野將視野看成圓錐形，可達(dá)90°，一般不超過(guò)60°。
圓錐頂角	60°	應(yīng)使形體全部落在頂角為60°的視圓錐內(nèi)。
視點(diǎn)選擇		圓錐頂角約為28°，一般取30°。視點(diǎn)過(guò)近，失真，過(guò)遠(yuǎn)，透視不明顯。
站點(diǎn)		站點(diǎn)引出的與建筑物相接觸的兩邊緣視線間的夾角約為30°
視點(diǎn)高度	1.5-1.8米	視點(diǎn)高于建筑物，產(chǎn)生鳥(niǎo)瞰圖；視點(diǎn)低于建筑物，產(chǎn)生仰望透視圖。
一點(diǎn)透視		使形體上兩組主向直線(正平線和鉛垂線)平行于畫(huà)面。
二點(diǎn)透視		使形體上一組鉛垂主向直線平行于畫(huà)面，另兩組主向直線與畫(huà)面相交。
三點(diǎn)透視		當(dāng)畫(huà)面傾斜于地面時(shí)，三組主向直線均與畫(huà)面不平行。

5 標(biāo)高投影法

標(biāo)高投影法是一種單面正投影，用以表達(dá)那些水平尺度較大、豎向尺度相對(duì)較小、形體又不規(guī)則的物體，如地形地貌、河床、堤壩、道路等(圖5-1)。標(biāo)高投影法是唯一一個(gè)用投影圖表示二維形狀，而用數(shù)字直接表示第三維度量的投影方法。標(biāo)高投影法采用一種特殊的方法去表述空間的三個(gè)維度，在水平投影面上反映出形體特征的水平正投影圖形去表述兩個(gè)維度，而在每個(gè)截面上用數(shù)字標(biāo)志該截面的高度去表述形體的第三維。用這個(gè)方法也可以完全確定物體的空間形狀和位置。標(biāo)高投影法同樣有點(diǎn)、直線、平面和平面立體、 曲線、曲面和曲面立體的標(biāo)高投影。

圖5-1標(biāo)高投影圖

6 投影計(jì)算化

6.1三視圖

“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的三等關(guān)系是三面投影圖的基本規(guī)律，把相關(guān)的投影圖共同對(duì)照、分析、思考，識(shí)別形體的實(shí)際情況，是制圖與讀圖的基本方法(圖6-1)。為了更廣泛的應(yīng)用和三視圖的計(jì)算化，下面給出六個(gè)視圖(圖6-2)的變換矩陣(表6-1)，經(jīng)過(guò)變換后均取x*y*坐標(biāo)即可得到相應(yīng)的視圖，保留的第三維坐標(biāo)供三維處理之用。

為了安排六個(gè)視圖的習(xí)慣分布，投影平面上坐標(biāo)系的選取是不一樣的，其中有一個(gè)坐標(biāo)需要作負(fù)變換。同時(shí)，表6-1中也并未考慮這種視圖分布還需要加上的相應(yīng)平移量，這個(gè)平移量一般依賴(lài)于各視圖坐標(biāo)系原點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的定位。

6.2?軸測(cè)變換

任意軸測(cè)變換矩陣的構(gòu)造。在軸向變形系數(shù)下的軸測(cè)變換矩陣通式為：為了應(yīng)用軸間角來(lái)代替上述公式，可選取三維z軸和二維Y軸一致(機(jī)械學(xué)常用，圖6-2)或三維y軸與二維Y軸軸一致(計(jì)算機(jī)圖形學(xué)常用，圖6-3)，分列如下：6.3向任意面的正投影先構(gòu)建一個(gè)新的坐標(biāo)系，將新投影面S作為新坐標(biāo)系的z*=0坐標(biāo)平面，在這個(gè)新坐標(biāo)系O*x*y*z*下向平面S上的投影就變成向z*=0坐標(biāo)平面的正投影了。設(shè)原xyz坐標(biāo)系下新投影面S由一點(diǎn)P₀(x₀,y₀,z₀)和單位向量n(a b c)構(gòu)造，以P₀為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量n為新的坐標(biāo)軸(x*或y*或z*)，構(gòu)筑新的坐標(biāo)系x*y*z*(圖6-4)。將向量n(a b c)設(shè)為向量n₁ (a₁ b₁ c₁)，即a₁=a，b₁=b，c₁=c；從P₀(x₀,y₀,z₀)出發(fā)的3條互相垂直的單位向量n₁、n₂和n₃就構(gòu)成以P₀為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以n₁為x*軸，n₂和n₃分別為y*和z*軸的新坐標(biāo)系x*y*z*(圖6-5)。構(gòu)筑以下2個(gè)矩陣：

6.4?斜投影斜投影不能轉(zhuǎn)化為正投影。直線與平面的相交算法。

6.5?透視變換不失一般性，以描述P_z，視點(diǎn)E選在z軸上，取與此軸垂直的畫(huà)面為xy坐標(biāo)平面，視心E₀為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建透視計(jì)算坐標(biāo)系(圖3-5)，此時(shí)視點(diǎn)的坐標(biāo)為E(0,0,z_e)，透視畫(huà)面為z=0。得到透視變換矩陣P_z(同理得到P_x，P_y)：變換式為下列三者之一：(X Y Z H)=(x y z 1)P_z(XY Z H)=(x y z 1)P_x(X Y Z H)=(x y z 1)P_y

6.6???透視投影轉(zhuǎn)化為平行投影

定理：對(duì)一個(gè)空間形體，一定存在另一個(gè)空間形體，使前者在畫(huà)面上的透視投影與后者的平行投影是一樣的，且保留了深度方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這個(gè)變換就是上節(jié)(6.5透視變換)的三個(gè)變換之一。它將空間線段AB變換成空間線段A'B'，AB在畫(huà)面上的透視投影與A'B'在畫(huà)面上的正投影是一致的，均為A"B"，且保留了他們?cè)诳臻g的前后關(guān)系(圖6-6)。這個(gè)定理可使復(fù)雜的透視投影轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的平行投影，使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。

圖6-6透視投影轉(zhuǎn)化為平行投影的機(jī)理

6.7透視投影的兩種方式與畫(huà)面成一角度的平行直線經(jīng)透視變換后，它們?cè)谕队捌矫嫔辖挥谝稽c(diǎn)，此類(lèi)點(diǎn)就被稱(chēng)作透視投影的滅點(diǎn)。因此，一般可采用兩種不同的方法使形體的主體與畫(huà)面成一角度，從而獲得透視圖：一是保持畫(huà)面鉛垂而通過(guò)旋轉(zhuǎn)形體使之與畫(huà)面構(gòu)成一個(gè)角度以達(dá)到透視變換效果。二是通過(guò)傾斜投影畫(huà)面而達(dá)到透視變換效果。

1)通過(guò)旋轉(zhuǎn)生成透視圖

先介紹“保持畫(huà)面鉛垂而通過(guò)旋轉(zhuǎn)形體使之與畫(huà)面構(gòu)成一個(gè)角度以達(dá)到透視變換效果”的方法。分別進(jìn)行不同次數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換，再施以透視變換P_Z(式9.6-3)后，分別得到一滅點(diǎn)(不旋轉(zhuǎn))、二滅點(diǎn)(1次旋轉(zhuǎn))和三滅點(diǎn)(2次旋轉(zhuǎn))矩陣。?1)平行透視(一滅點(diǎn))由于EP_z=P_z，因此透視變換后的x、y、z無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)將變?yōu)镻_z的前三行(1 0 0 0)、(0 1 0 0)和(0 0 1 -1/z_e)(它表示三個(gè)點(diǎn))。這說(shuō)明原來(lái)平行于x軸和y軸的向量仍互相平行，而平行于z軸的向量則交于一點(diǎn)(0,0)。2)成角透視(二滅點(diǎn))如果把單位立方體繞y軸轉(zhuǎn)α_y角，再施以透視變換Pz，即得二滅點(diǎn)透視變換：由矩陣第一行可知，原來(lái)平行于x軸的向量將在投影平面xoy上有滅點(diǎn)(ctgα_y?ze，0)；由矩陣第三行可知，原來(lái)平行于z軸的向量將在投影平面xoy上匯集于滅點(diǎn)(-tgα_yze，0)。3)三滅點(diǎn)透視將形體繞x軸轉(zhuǎn)α_x角，再繞y軸轉(zhuǎn)α_y角，最后施以透視變換P_z即得三滅點(diǎn)透視變換：表6-2列出了通過(guò)對(duì)形體進(jìn)行不同的旋轉(zhuǎn)并施以透視變換Pz后產(chǎn)生的一、二、三個(gè)滅點(diǎn)的情況。從表中可以看出，如果分別采用1、3和6三種旋轉(zhuǎn)變換，它們可以保證經(jīng)透視投影后形體不出現(xiàn)傾斜狀態(tài)，是實(shí)際應(yīng)用中(例如建筑透視)的三種較好的透視變換矩陣。

根據(jù)表6-2，如果選擇下邊給出的透視變換：視點(diǎn)在z軸上，投影平面為xy平面，經(jīng)過(guò)平移-旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)-平移-透視，在有二滅點(diǎn)和三滅點(diǎn)情況下，其中二個(gè)滅點(diǎn)將同在一水平線上，表6-3列出了建議采用的產(chǎn)生所產(chǎn)生較好透視圖的產(chǎn)生方法、透視參數(shù)和滅點(diǎn)的坐標(biāo)。

2)通過(guò)傾斜投影畫(huà)面生成透視圖與畫(huà)面成一角度的平行線簇經(jīng)透視變換后交于滅點(diǎn)。首先使物體繞平行于y軸的直線旋轉(zhuǎn)α_y角，然后選取與原畫(huà)面V(垂直面)成θ角的平面K作為新畫(huà)面(平面K與V的交線為GG')，產(chǎn)生原平行于y軸的平行線簇的第三個(gè)滅點(diǎn)。圖6-7表示了一個(gè)在斜平面K上建立透視圖的方法。在地面H上放一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為α_y的立方體ABCDabcd，以E為視點(diǎn)，e為站點(diǎn)，斜平面K與垂直面V的夾角為θ。

圖6-7??傾斜畫(huà)面得到三滅點(diǎn)透視原理圖

設(shè)物體原已建立在如下的坐標(biāo)系e₀x₁y₁z₁上：以H面為y₁=0平面，e₀e₁為z₁軸。畫(huà)面K與垂直坐標(biāo)平面z₁=0的夾角為θ。|eE| =h，e₀e₁=z_e。建立一個(gè)由物體的原坐標(biāo)系e₀x₁y₁z₁從原點(diǎn)e₀平移到E₀而得到的新的坐標(biāo)系E₀xyz(即Oxyz)。可求得視點(diǎn)在E，畫(huà)面為K的透視變換陣：

7?總結(jié)闡述了投影學(xué)的以下問(wèn)題。1)投影是一種降維處理，會(huì)造成信息缺失，需要采用合適的方法彌補(bǔ)這些缺失的信息。2)基于笛卡爾直角坐標(biāo)系思想，如何在平面上將三直三面角表述清楚。3)闡述了正投影為什么需要三個(gè)視圖。空間點(diǎn)在平面上的投影是二維的，理論上兩個(gè)投影就能表達(dá)三維點(diǎn)，為什么需要三個(gè)投影面(三視圖)？4)軸測(cè)投影和透視投影都采用了對(duì)形體的旋轉(zhuǎn)方法，而透視投影除了旋轉(zhuǎn)以外，還可以采用傾斜畫(huà)面畫(huà)面。所有這些，都是因?yàn)閮烧叨际菃蚊嫱队?#xff0c;為了表述三直三面角。5)立方體的表述是研究各類(lèi)投影的基礎(chǔ)。6)透視投影可轉(zhuǎn)化為平行投影：對(duì)任何一個(gè)空間形體，一定存在另一個(gè)空間形體，使前者在畫(huà)面上的透視投影與后者的平行投影是一樣的，且保留了深度方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系。7)嚴(yán)格地說(shuō)，斜投影不能轉(zhuǎn)換為正投影。錯(cuò)切變換是其中的一個(gè)方法。8)換面法、軸測(cè)投影都需要一個(gè)解決“向任意面投影”的問(wèn)題。9)4種投影法的投影策略：

投影法	投影策略	立方體投影方式
正投影	多(三)面平行正投影	三直三面角三平面平行于坐標(biāo)平面
軸測(cè)投影	單面平行(正或斜)投影	三直三面角同時(shí)可見(jiàn)平行投影于投影面
透視投影	單面中心投影	三直三面角同時(shí)可見(jiàn)中心投影于投影面
標(biāo)高投影	單面平面投影圖+數(shù)字第三維	水平投影+數(shù)字標(biāo)高

注：本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]改編，內(nèi)容有補(bǔ)充，源代碼在文獻(xiàn)[1]中。

參考文獻(xiàn)

[1] 何援軍，幾何計(jì)算，北京：高等教育出版社，2013年3月

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c#垂直投影法_投影学的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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