本文主要參考資料來自sympy的官網：

Introduction - SymPy 1.4 documentation?docs.sympy.org

一般，我們使用計算機軟件進行數學計算，主要是數值計算，就算有變量，也是代入具體數值來算的，我們在初中到大學學到的符號計算，很多時候無法用計算機來進行，比如下面的多項式化簡：

上面的式中沒有任何一個具體數值，完全是符號進行計算，這時我們只能手算了。當然，我們可以用商業軟件mathematics, 但是非常昂貴，幸好我們還有python，有了開源的sympy模塊，我們可以做到如下功能：

• core symbolic mathematics: 基礎運算，包括：化簡Simplification，各種函數運算等；
• Polynomials：多項式運算及求解
• Calculus：極限、微分、積分
• Solving equations：各種方程求解
• Combinatorics：組合學
• Discrete math：離散數學
• Matrices：矩陣運算
• Geometry：幾何學
• Physics：物理學
• Statistics：統計學
• Cryptography：密碼學

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下面我們分幾個專題來介紹其功能，這篇介紹基礎的運算。

Symbols ： 符號

在進行符號運算前，必須先定義符號，下面的例子我們定義了兩個符號x,y:

import sympy as sy x,y = sy.symbols('x y') #符號間用空格隔開 print(type(x)) print(type(y))

輸出：

sympy.core.symbol.Symbol sympy.core.symbol.Symbol

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2. Symbols expression: 符號表達式

當一個表達式中有任何一個變量是sympy symbol，就變成一個symbols expression，它不會直接進行運算，除非你使用subs()方法代入具體的數值，看下面的例子：

import sympy as sy x,y=sy.symbols("x y") f=x**2+3*x-5 print(f"f(x)={f}") #直接打印f是顯示表達式 xx=3 print(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}") #代入具體數值來計算最終的結果 yy=4 f1=(x**2+y**2)**0.5 print(f"f1(x,y)={f1}") #直接打印f1是顯示表達式 print(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}") #代入具體數值來計算最終的結果

結果：

f(x)=x**2 + 3*x - 5 f(3)=13 f1(x,y)=(x**2 + y**2)**0.5 f1(3,4)=5.00000000000000

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3. Substitution : 代換

上面的例子，顯示了如何在表達式中代入具體的數值，但是替換還可以有更多的可能，看下面的例子：

, ---> import sympy as sy a,x,t=sy.symbols("a x t") f=sy.cos(x) print(f"f(t)={f.subs({x: a**t})}")

輸出：

f(t)=cos(a**t)

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4. evalf：計算出具體的值

不單單用sympy symbols組成的表達式，用sympy functions或sympy Rational組成的表達式，都是不會直接計算出實際的數值，這時候可以用evalf函數來實際計算出具體的數值，看下例：

import sympy as sy y = sy.sqrt(2)+sy.Rational(3,8) print(f"{y}={y.evalf()}")

輸出：

3/8 + sqrt(2)=1.78921356237310

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5. 更漂亮和專業的輸出

在ipython中，運行：sympy.init_printing()后，可以以比較漂亮的格式來打印(用sympy.pprint()函數)輸出公式，比如：

import sympy as sy sy.init_printing() sy.pprint(x**2+sy.Rational(1,3))

輸出：

2 1 x + ─3

如果在jupyter notebook中，可以用下面的方法用latex來輸出漂亮的公式：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y=sy.symbols("x y") f=x**2+3*x-5 display(Latex(f"$$f(x)={sy.latex(f)}$$"))xx=3 sy.pprint(f"f({xx})={f.subs({x:xx})}") yy=4 f1=sy.sqrt(x**2+y**2)display(Latex(f"$$f_1(x,y)={sy.latex(f1)}$$")) sy.pprint(f"f1({xx},{yy})={f1.subs({x:xx, y:yy})}")

輸出：

關于latex的介紹，參見我的另一個專欄。

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6. Simplification ： 化簡

對于sympy來說，最強大的一點就是對公式進行化簡，下面顯示幾個例子：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x = sy.symbols("x") y = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1) display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.simplify(y))}$$"))

輸出：

這里是用simplify()函數，絕大部分情況下它很好用，就是有幾個問題：

• 它不能控制我們最終想要的形式，比如想要多項式（和式a+b+c）的最簡式，還是多項乘積(a*b*c)的最簡式，這可以用后面介紹的兩個函數來取代；
• 它速度比較慢，同樣，可以用其他更快的函數取代，但是通用性沒有它好。

當我們需要化簡為和式的表達式時，可以用expand()函數，參見下例：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x = sy.symbols("x") y = (x + 1)**2 display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.expand(y))}$$"))

輸出：

當我們需要化簡為乘積表達式時，可以用factor()函數，參見下例：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x = sy.symbols("x") y = x**3 - x**2 + x - 1 display(Latex(f"$${sy.latex(y)}={sy.latex(sy.factor(y))}$$"))

輸出：

當我們的表達式各項有相同的變量，我們可以用collect()函數來合并同階的項，看下例：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z") f = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3 display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.collect(f,x))}$$"))

輸出：

當我們需要把表達式轉換為

這樣的最簡式的時候，可以用cancel()函數，它會上下消除相同的項，見下例，另，cancel()函數最后分子分母都化簡為多項式的和式，如果要化簡為乘積式，可以用factor()函數。from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z") f = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1) display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.cancel(f))}={sy.latex(sy.factor(f))}$$"))

輸出：

下面看看apart()函數，可以用來把分數表示的多項式因式分解，看例子：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z") f = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x) display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.apart(f))}$$")) print(sy.latex(f), sy.latex(sy.apart(f)))

輸出：

對于三角函數，可以用：trigsimp()函數來化簡，比如下例：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z") f = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4 display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.trigsimp(f))}$$"))

反過來，可以用expand_trig()函數來展開三角函數，看下例：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x,y,z = sy.symbols("x y z") f = sin(x+y) display(Latex(f"$${sy.latex(f)}={sy.latex(sy.expand_trig(f))}$$"))

輸出：

對于指數函數的化簡，比較麻煩，因為一般指數函數的形式：

，對于底： 和指數: ,當它們取不同類型的值或范圍的時候，其結果是不一樣的，比如：

• :當 都是正數，且 是實數，可以化簡為： ，但是 其他情況就不行，比如設 ， ，則 ，而 ，兩邊不相等；
• ：當 是整數時，可以化簡為： ，但是其他情況下，就不行，比如：設： ， 而 ，兩者不相同；
• ：對于任何情況都合適。

缺省情況下，sympy假設symbols都是屬于復數類型，這樣上面的一些指數表達式就無法進行簡化，而我們可以在定義symbols的時候，指定其屬于什么類型，這樣一些簡化就可以進行，看下面的例子：

from IPython.display import display, Latex import sympy as sy sy.init_printing()x, y = symbols('x y', positive=True) #定義為正實數 a, b = symbols('a b', real=True) #定義為實數 z, t, c = symbols('z t c')f1 = t**c*z**c f2 = x**a*x**b f3 = x**a*y**a display(Latex(f"$${sy.latex(f1)}={sy.latex(sy.powsimp(f1))}$$")) display(Latex(f"$${sy.latex(f2)}={sy.latex(sy.powsimp(f2))}$$")) display(Latex(f"$${sy.latex(f3)}={sy.latex(sy.powsimp(f3))}$$"))

輸出：

注意上面第一個式子，由于

是復數，所以簡化沒法進行；

而第二、第三個式子中由于設定符號

都符合要求，所以可以進行簡化。

除了這些以外，還有：expand_power_exp(), expand_power_base(), powdenest(), expand_log(), logcombine()等函數可以進行化簡，參看下面的資料：

Simplification - SymPy 1.4 documentation?docs.sympy.org

Simplification - SymPy 1.4 documentation

總結

以上是生活随笔為你收集整理的latex 符号_sympy: 符号运算-1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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