目錄

• 基礎知識
• • 干預
  • 前門準則、后門準則
• 后門調整
• 逆概率加權
• 前門調整

版權：轉載前請聯系作者獲得授權。
聲明：部分內容出自因果關系之梯，已獲得原作者授權。
參考書籍：《The Book of Why》——Judea Pearl

基礎知識

干預

定義：將因果圖中結點$X$的值修改為$x$，記為$do(X=x)$，可以簡寫為$do(x)$。

性質：在對結點X進行干預時，會刪除因果圖中指向X的邊。

與“以變量為條件”的區別：

表現形式：$P(Y=y|X=x)$ vs $P(Y=y|do(X=x))$

“以變量為條件”是從不同的角度看世界，“干預”是改變世界。

“以變量為條件”不改變原始數據的分布，“干預”改變了原始數據的分布。

前門準則、后門準則

• 后門路徑：節點X和節點Y之間，以指向X的箭頭為開始的路徑。如：X <- Z -> Y。
• 前門路徑：節點X和節點Y之間，以由X指出的箭頭為開始的路徑。如：X -> Z -> Y。
• 后門標準（后門準則）：如果變量集Z滿足：① 不包含X的子孫節點；② 阻斷了X到Y的所有后門路徑。則稱Z滿足(X, Y)的后門準則。
• 前門標準（前門準則）：如果變量集Z滿足：① 阻斷了X到Y的所有路徑；② X到Z之間沒有未阻斷的路徑（X到Z不存在后門路徑）；③ Z到Y之間的所有后門路徑都被X阻斷。則稱Z滿足(X, Y)的前門準則。
  
  

后門調整

后門調整：基于后門路徑，消除干預帶來的$do$算子，僅使用已知的數據分布，估計變量之間的因果效應，實現干預。

通過辛普森悖論推導后門調整公式：

介紹：有一種藥物，對于男士群體而言，使用該藥物后，發病率會降低。同時，對于女士群體而言，使用該藥物后，發病率也會降低。但是，對男女人群一起統計，會發現，發病率升高。

原因：$\frac{A}{B}>\frac{a}{b}and\frac{C}{D}>\frac{c}{d}$不能推出$\frac{A+C}{B+D}>\frac{a+c}{b+d}$

例子：

性別 \ 是否服藥服藥未服藥

男（357 / 700 = 0.51）	81 / 87 = 0.93	234 / 270 = 0.87
女（343 / 700 = 0.49）	192 / 263 = 0.73	55 / 80 = 0.69
總數 700	273 / 350 = 0.78	289 / 350 = 0.83

我們使用$X=1$表示服藥，$X=0$表示未服藥，$Y=1$表示發病的概率，$Y=0$表示未發病的概率。

從數據中可以看出，$P(Y=1|X=1)=0.78<P(Y=1|X=0)=0.83$，也就是：服藥后，發病率反而增加了！

但是，在固定性別時，數據顯示服藥后，發病率是降低的！難道說，如果我知道自己的性別，就服藥，不知道自己的性別，就不服藥？這顯然很荒謬。

其實，造成上述現象的原因，是因為存在混雜因子“性別”。因為，男性和女性的服藥比例是顯然不同的。依此可以畫出因果圖：

為了分析此藥物是否真的有效，我們使用干預的手段，驗證$P(Y=1|do(X=0))>P(Y=1|do(X=1))$，則說明藥物可以降低發病率。

上文中提到，對X進行干預時，需要在因果圖中刪除指向X的邊，于是，因果圖變為了：

使用$P_m$表示修改因果圖后的概率分布，則：

$\begin{array}{rl}P(Y=y|do(X=x))& =P_m(Y=y|X=x)\\ & =\sum _z{P}_m(Y=y|X=x,Z=z)P_m(Z=z|X=x)\\ & =\sum _z{P}_m(Y=y|X=x,Z=z)P_m(Z=z)\\ & =\sum _{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)\end{array}$
根據數據可以計算出$P(Y=1|do(X=1))=0.832>P(Y=1|do(X=0))=0.781$

即：通過干預的手段，消除性別混雜后，說明服用藥物確實可以降低發病率。

由此，我們可以得到后門調整公式：

$P(Y=y|do(X=x))={\sum }_{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)$

其中，$Z$滿足$(X,Y)$的后門準則，即：以$Z$為條件會阻斷$X$和$Y$之間的所有后門路徑。

逆概率加權

逆概率加權是后門調整的進一步推廣，利用貝葉斯公式對后門調整公式變換了一下形式。

還是針對辛普森悖論：

$\begin{array}{rl}P(Y=y|do(X=x))& =\sum _{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)\\ & =\sum _z\frac{P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)P(Z=z|X=x)}{P(Z=z|X=x)}\\ & =\sum _z\frac{P(Y=y,X=x,Z=z)}{P(Z=z|X=x)}\end{array}$

由此，我們可以得到逆概率加權公式：

$P(Y=y|do(X=x))={\sum }_z\frac{P(Y=y,X=x,Z=z)}{P(X=x|Z=z)}$

其中，$Z$滿足$(X,Y)$的后門準則。

前門調整

前門調整：基于前門路徑，消除干預帶來的$do$算子，僅使用已知的數據分布，估計變量之間的因果效應，實現干預。

首先，介紹因果推斷中的三條公理（出自《為什么》書中209頁）：

若變量W和Y無關，則：$P(Y|do(X),Z,W)=P(Y|do(X),Z)$

若Z阻斷了(X, Y)之間的所有后門路徑，則：$P(Y|do(X),Z)=P(Y|X,Z)$

若X到Y沒有因果路徑，則：$P(Y|do(X))=P(Y|X)$

下面，通過吸煙致癌案例推導前門調整公式：

如上圖所示，我們想要分析X對Y的直接影響，需要消除混雜U。但是此時無法借助后門調整公式，因為U的數據無法通過觀測得到。

不過，我們可以通過全概率公式和因果推斷的三條公理，嘗試推斷X對Y的因果效應$P(Y|do(X))$。

$\begin{array}{rl}P(Y|do(X))& =\sum _{Z}P(Y|do(X),Z)P(Z|do(X))全概率公式\\ & =\sum _{Z}P(Y|do(X),do(Z))P(Z|do(X))公理2\\ & =\sum _{Z}P(Y|do(X),do(Z))P(Z|X)公理2（Z=?)\\ & =\sum _{Z}P(Y|do(Z))P(Z|X)公理3\\ & =\sum _{X^{‘}}\sum _{Z}P(Y|do(Z),X^{{}^{\prime }})P(X^{{}^{\prime }}|do(Z))P(Z|X)全概率公式\\ & =\sum _{X^{‘}}\sum _{Z}P(Y|Z,X^{{}^{\prime }})P(X^{{}^{\prime }}|do(Z))P(Z|X)公理2\\ & =\sum _{X^{‘}}\sum _{Z}P(Y|Z,X^{{}^{\prime }})P(X^{{}^{\prime }})P(Z|X)公理3\end{array}$
至此，公式中已經沒有$do$算子啦！這里的$X^{{}^{\prime }}$代表的也是變量$X$，只不過$X^{{}^{\prime }}$需要遍歷取值，和特定的$X$做運算。

由此，我們可以得到前門調整公式：

$P(Y=y|do(X=x))={\sum }_{x^{\prime }}{\sum }_{z}P(Y=y|X=x^{{}^{\prime }},Z=z)P(X=x^{{}^{\prime }})P(Z=z|X=x)$

其中，$Z$滿足$(X,Y)$的前門準則。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的因果推断 - 干预的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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