GM(1, 1) 原理介紹
設 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n))$ 是最初的非負數據序列 （灰色預測模型處理的數據一定要是非負的），對其進行一次累加得到新的生成數據列 $x^{(1)}$ ：$$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),?,x^{(1)}(n))$$ 其中，$x^{(1)}(m)={\sum }_{i=1}^m{x}^{(0)}(i),m=1,2,?,n$

令 $z^{(1)}$ 為數列 $x^{(1)}$ 的緊鄰均值生成數列，即

$z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),?,z^{(1)}(n))$ ，

其中 $z^{(1)}(m)=\delta x^{(1)}(m)+(1?\delta )x^{(1)}(m?1),m=2,3,?,n$，并且 $\delta =0.5$

稱方程 $x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$ 為 GM(1, 1) 模型的基本形式 $(k=2,3,?,n)$。其中，$b$ 表示灰作用量，$?a$ 表示發展系數

可以將其看作 $y=kx+b$ ，從而利用多元回歸中的 OLS 方法可以得到 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$ ，因此 $x^{(0)}(k)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b},(k=2,3,?,n)$ $$x^{(0)}(k)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b}?x^{(1)}(k)?x^{(1)}(k?1)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b}$$ 又因為$$x^{(1)}(k)?x^{(1)}(k?1)={\int }_{k?1}^k\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}dt$$ $$z^{(1)}(k)=\frac{x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k?1)}{2}\approx {\int }_{k?1}^k{x}^{(1)}dt$$ 因此，$$\begin{gathered} {\int }_{k?1}^k\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}dt\approx ?\hat{a}{\int }_{k?1}^k{x}^{(1)}(t)dt+{\int }_{k?1}^k\hat{b}dt \\ ={\int }_{k?1}^k[?\hat{a}{x}^{(1)}(t)+\hat{b}] \end{gathered}$$，便可以的帶微分方程：$\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}=?\hat{a}{x}^{(1)}(t)+\hat{b}$，這就是 GM(1, 1) 模型的白化方程

取初始值 ${\hat{x}}^{(1)}{|}_{t=1}=x^{(0)}(1)$，于時可以求出其對應的解為：$${\hat{x}}^{(1)}(m+1)=[x^{(0)}(1)?\frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{?\hat{a}m}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}},m=1,2,?,n?1$$ 由于 $x^{(1)}(m)={\sum }_{i=1}m{x}^{(0)}(i),m=1,2,?,n$，因此：$$\begin{gathered} {\hat{x}}^{(0)}(m+1)={\hat{x}}^{(1)}(m+1)?{\hat{x}}^{(1)}(m) \\ =(1?e^{\hat{a}})[x^{(0)}(1)?\frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{?\hat{a}m},m=1,2,?,n?1 \end{gathered}$$

殘差檢驗
絕對殘差：$\epsilon (k)=x^{(0)}(k)?{\hat{x}}^{(0)}(k),k=2,3,?,n$

相對殘差：${\epsilon }_r(k)=\frac{|x^{(0)}(k)?{\hat{x}}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)}\times 100\%,k=2,3,?,n$

平均相對殘差：${\bar{\epsilon }}_r=\frac{1}{n?1}{\sum }_{k=2}^n|{\epsilon }_r(k)|$

如果 ${\bar{\epsilon }}_r<20\%$ ，則認為 GM(1, 1) 對原數據的擬合達到一般要求。
如果 ${\bar{\epsilon }}_r<10\%$ ，則認為 GM(1, 1) 對原數據的擬合效果非常不錯。

級比偏差檢驗
首先由 $x^{(0)}(k?1)$ 和 $x^{(0)}(k)$ 計算出原始數據的級比 $\sigma (k)$：$$\sigma (k)=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k?1)}(k=2,3,?,n)$$ 再根據預測出來的發展系數 $?\hat{a}$ 計算出相應的級比偏差和平均級比偏差：$$\eta (k)=|1?\frac{1?0.5\hat{a}}{1+0.5\hat{a}}\frac{1}{\sigma (k)}|,\bar{\eta }=\sum _{k=2}^n\frac{\eta (k)}{(n?1)}$$ 如果 $\bar{\eta }<0.2$，則認為GM(1, 1) 對原數據的擬合達到一般要求。
如果 $\bar{\eta }<0.1$，則認為 GM(1, 1) 對原數據的擬合效果非常不錯。

新信息GM(1, 1)模型
設 $x^{(0)}(n+1)$ 為最新信息，將 $x^{(0)}(n+1)$ 置入 X^{(0)}，稱用 $X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n+1))$ 建立的模型為新信息GM(1, 1)模型。

簡單來說，新信息GM(1, 1)模型就是將預測后的數據加入到原始數據序列中構成一個新的數據序列，然后利用這個新的數據序列來對后面的期數進行預測。

新陳代謝GM(1, 1)模型
置入最新信息 $x^{(0)}(n+1)$，去掉最老信息 $x^{(0)}(1)$，稱用 $X^{(0)}=(x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n),x^{(0)}(n+1))$ 建立的模型為新陳代謝GM(1, 1)模型

同樣，新陳代謝GM(1, 1)模型就是將預測后的新數據加入到原始數據序列中，然后刪除最原始的哪個數據，從而構成一個新的數據序列。再利用這個新的數據序列對后面的期數進行預測。