拉格朗日插值法

$?$ 兩個(gè)點(diǎn)：$(x_0,y_0)(x_1,y_1)$
可以設(shè)出插值函數(shù)為：$$f(x)=\frac{x?x_0}{x_0?x_1}{y}_0+\frac{x?x_0}{x_1?x_0}{y}_1$$

$?$ 三個(gè)點(diǎn)：$(x_0,y_0)(x_1,y_1)(x_2,y_2)$
可以設(shè)出插值函數(shù)為：$$\begin{gathered} f(x)=\frac{(x?x_1)(x?x_2)}{(x_0?x_1)(x_0?x_2)}{y}_0+\frac{(x?x_0)(x?x_2)}{(x_1?x_0)(x_1?x_2)}{y}_1 \\ +\frac{(x?x_0)(x?x_1)}{(x_2?x_0)(x_2?x_1)}{y}_2 \end{gathered}$$
以此類推，可以得出4個(gè)、5個(gè)……點(diǎn)的拉格朗日插值函數(shù)。

然而，拉格朗日插值法在平常的插值問題分析中并不常用，原因是會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象（即多項(xiàng)式的次數(shù)越高，函數(shù)兩端的波動(dòng)便會(huì)越大，越不準(zhǔn)確）。

分段線性以及分段二次插值
顧名思義，就是將函數(shù)分為一段一段的，每一段都是用線性函數(shù)或者二次函數(shù)來進(jìn)行估計(jì)。

牛頓插值
$\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f[x_0,x_1](x?x_0)\\ & +f[x_0,x_1,x_2](x?x_0)(x?x_1)+?\\ & +f[x_0,x_1,?,x_{n?2},x_{n?1}](x?x_0)(x?x_1)?(x?x_{n?3})(x?x_{n?2})\\ & +f[x_0,x_1,?,x_{n?1},x_n](x?x_0)(x?x_1)?(x?x_{n?2})(x?x_{n?1})\end{array}$
其中 $f[x_0,x_1]$ 是指 $f(x)$ 關(guān)于點(diǎn) $x_0,x_1$ 的差商。

一階差商：$f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)?f(x_0)}{x_k?x_0}$
二階差商：$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]?f[x_0,x_1]}{x_2?x_0}$
$?$
k階差商：$f[x_0,x_1,?,x_k]=\frac{f[x_1,?,x_{k?1},x_k]?f[x_0,x_1,?,x_{k?1}]}{x_k?x_0}$

但是，牛頓插值法也會(huì)存在龍格現(xiàn)象的問題。

最為常用的兩種插值方法：三次埃爾米特插值以及三次樣條插值
4.1 三次埃爾米特插值
$?$ 埃爾米特插值原理
設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有 n + 1 個(gè)互異節(jié)點(diǎn) $a=x_0<x_1<x_2<?<x_n=b$，定義在$[a,b]$上函數(shù)$f(x)$在節(jié)點(diǎn)上滿足：
$$f(x_i)=y_i,f^{\prime }(x_i)=y_i^{\prime }(i=0,1,2,?,n)(2n+2\text{個(gè)條件})$$
可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過$2n+1$的多項(xiàng)式$H_{2n+1}(x)=H(x)$滿足：
$$H(x_j)=y_j,H^{\prime }(x_j)=m_j(j=0,1,?,n)$$其余項(xiàng)為：$$R(x)=f(x)?H(x)=\frac{f^{2n+2}(\xi )}{(2n+2)!}{\omega }_{2n+2}(x)$$
三次埃爾米特插值可在 $Matlab$ 中調(diào)用 $phip$ 函數(shù)進(jìn)行直接求取，詳見后面的例題。

4.2 三次樣條插值
$?$ 三次樣條插值條件
設(shè) $y=f(x)$ 在點(diǎn) $x_0,x_1,?,x_n$ 的值為 $y_0,y_1,?,y_n$，若函數(shù) $S(x)$ 滿足下列條件：
$△$ $S(x_i)=f(x_i)=y_i,i=0,1,2,?,n$；
$△$ 在每個(gè)子區(qū)間 [$x_i$,$x_{i+1}$]($i=0,1,2,?,n?1$)上$S(x)$是三次多項(xiàng)式；
$△$ $S(x)$在[a,b]上二階連續(xù)可微，則稱$S(x)$為函數(shù)$f(x)$的三次樣條插值函數(shù)；

同樣，三次樣條插值也可在 $Matlab$ 中調(diào)用 $spline$ 函數(shù)進(jìn)行直接求取，詳見后面的例題。

原始數(shù)據(jù)

三次埃爾米特插值

$Matlab$代碼為：

三次樣條插值

$Matlab$代碼為：