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【youcans 的 OpenCV 例程 200 篇】112. 濾波反投影重建圖像

7. 投影重建圖像

圖像重建的基本思想，就是通過探測物體的投影數(shù)據(jù)，重建物體的實際內(nèi)部構(gòu)造。

7.3 濾波反投影重建圖像 （Filtered back projection）

直接由正弦圖得到反投影圖像，會存在嚴(yán)重的模糊，這是早期 CT 系統(tǒng)所存在的問題。

傅立葉中心切片定理表明，投影的一維傅立葉變換是得到投影區(qū)域的二維傅立葉變換的切片。濾波反投影重建算法在反投影前將每一個采集投影角度下的投影進(jìn)行卷積處理，從而改善點擴散函數(shù)引起的形狀偽影，有效地改善了重建的圖像質(zhì)量。

以 $f(x,y)$ 表示需要重建的圖像，$F(u,v)$ 的二維傅里葉反變換是：
$$f(x,y)={\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$
利用傅里葉切片定理，可以得到：
$$f(x,y)={\int }_0^{\pi }[{\int }_{?\infty }^{\infty }|\omega |G(\omega ,\theta )e^{j2\pi \omega \rho }d\omega ]d\theta$$
括號 [] 內(nèi)部是一個一維傅里葉反變換，可以認(rèn)為這是一個一維濾波器的傳遞函數(shù)。由于 $|\omega |$ 是一個不可積的斜坡函數(shù)（Slope function），可以通過對斜坡加窗進(jìn)行限制，典型地如漢明窗（Hamming window）、韓窗（Hann window）。

該式也可以使用空間卷積來實現(xiàn)：
$$\begin{gathered} f(x,y)={\int }_0^{\pi }[{\int }_{?\infty }^{\infty }|\omega |G(\omega ,\theta )e^{j2\pi \omega \rho }d\omega ]d\theta \\ ={\int }_0^{\pi }[{\int }_{?\infty }^{\infty }g(\rho ,\theta )s(xcos\theta +ysin\theta ?\rho )d\rho ]d\theta \end{gathered}$$
這表明，將對應(yīng)的投影 $g(\rho ,\theta )$ 與斜坡濾波器傳遞函數(shù) $s(\rho )$ 的傅里葉反變換進(jìn)行卷積，可以得到角度 $\theta$ 的各個反投影，整個反投影圖像可以通過對所有反投影圖像積分得到。

例程 9.25：濾波反投影重建圖像

SL 濾波器是使用 Sinc 函數(shù)對斜坡濾波器進(jìn)行截斷產(chǎn)生，其離散形式為：
$$h_{SL}(n\delta )=?\frac{2}{{\pi }^2{\delta }^2(4?n^2?1)},n=0,\pm 1,\pm 2,...$$
利用投影值和 SL 濾波器進(jìn)行卷積，然后再進(jìn)行反投影，就可以實現(xiàn)圖像重建。

# 9.25: 濾波反投影重建圖像from scipy import ndimagedef discreteRadonTransform(image, steps): # 離散雷登變換channels = image.shape[0]resRadon = np.zeros((channels, channels), dtype=np.float32)for s in range(steps):rotation = ndimage.rotate(image, -s * 180/steps, reshape=False).astype(np.float32)resRadon[:, s] = sum(rotation)return resRadondef inverseRadonTransform(image, steps): # 雷登變換反投影重建圖像channels = image.shape[0]backproject = np.zeros((steps, channels, channels))for s in range(steps):expandDims = np.expand_dims(image[:, s], axis=0)repeat = expandDims.repeat(channels, axis=0)backproject[s] = ndimage.rotate(repeat, s * 180/steps, reshape=False).astype(np.float32)invRadon = np.sum(backproject, axis=0)return invRadondef SLFilter(N, d): # SL 濾波器, Sinc 函數(shù)對斜坡濾波器進(jìn)行截斷filterSL = np.zeros((N,))for i in range(N):filterSL[i] = - 2 / (np.pi**2 * d**2 * (4 * (i-N/2)**2 - 1))return filterSLdef filterInvRadonTransform(image, steps): # 濾波反投影重建圖像channels = len(image[0])backproject = np.zeros((steps, channels, channels)) # 反投影filter = SLFilter(channels, 1) # SL 濾波器for s in range(steps):value = image[:, s] # 投影值valueFiltered = np.convolve(filter, value, "same") # 投影值和 SL 濾波器進(jìn)行卷積filterExpandDims = np.expand_dims(valueFiltered, axis=0)filterRepeat = filterExpandDims.repeat(channels, axis=0)backproject[s] = ndimage.rotate(filterRepeat, s * 180/steps, reshape=False).astype(np.float32)filterInvRadon = np.sum(backproject, axis=0)return filterInvRadon# 讀取原始圖像img1 = cv2.imread("../images/Fig0534a.tif", 0) # flags=0 讀取為灰度圖像img2 = cv2.imread("../images/Fig0534c.tif", 0)# 雷登變換imgRadon1 = discreteRadonTransform(img1, img1.shape[0]) # Radon 變換imgRadon2 = discreteRadonTransform(img2, img2.shape[0])# 雷登變換反投影重建圖像imgInvRadon1 = inverseRadonTransform(imgRadon1, imgRadon1.shape[0])imgInvRadon2 = inverseRadonTransform(imgRadon2, imgRadon2.shape[0])# 濾波反投影重建圖像imgFilterInvRadon1 = filterInvRadonTransform(imgRadon1, imgRadon1.shape[0])imgFilterInvRadon2 = filterInvRadonTransform(imgRadon2, imgRadon2.shape[0])plt.figure(figsize=(9, 7))plt.subplot(231), plt.axis('off'), plt.title("origin image"), plt.imshow(img1, 'gray') # 繪制原始圖像plt.subplot(232), plt.axis('off'), plt.title("inverse Radon trans"), plt.imshow(imgInvRadon1, 'gray')plt.subplot(233), plt.axis('off'), plt.title("filter inv-Radon trans"), plt.imshow(imgFilterInvRadon1, 'gray')plt.subplot(234), plt.axis('off'), plt.title("origin image"), plt.imshow(img2, 'gray')plt.subplot(235), plt.axis('off'), plt.title("inverse Radon trans"), plt.imshow(imgInvRadon2, 'gray')plt.subplot(236), plt.axis('off'), plt.title("filter inv-Radon trans"), plt.imshow(imgFilterInvRadon2, 'gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節(jié)完）

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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】01. 圖像的讀取（cv2.imread）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】02. 圖像的保存（cv2.imwrite）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】03. 圖像的顯示（cv2.imshow）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】04. 用 matplotlib 顯示圖像（plt.imshow）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】05. 圖像的屬性（np.shape）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】06. 像素的編輯（img.itemset）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】07. 圖像的創(chuàng)建（np.zeros）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】08. 圖像的復(fù)制（np.copy）
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】09. 圖像的裁剪（cv2.selectROI）
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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】33. 圖像的復(fù)合變換
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】34. 圖像的投影變換
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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】71. 連續(xù)函數(shù)的取樣
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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】111. 雷登變換反投影重建圖像
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】112. 濾波反投影重建圖像

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【youcans 的 OpenCV 例程 200 篇】112. 滤波反投影重建图像的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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