有如下R(5,4)的打分矩陣：(“-”表示用戶沒有打分)

其中打分矩陣R(n,m)是n行和m列，n表示user個數，m行表示item個數

那么，如何根據目前的矩陣R(5,4)如何對未打分的商品進行評分的預測(如何得到分值為0的用戶的打分值)？

——矩陣分解的思想可以解決這個問題，其實這種思想可以看作是有監督的機器學習問題(回歸問題)。

矩陣R可以近似表示為P與Q的乘積：R(n,m)≈ P(n,K)*Q(K,m)

矩陣分解的過程中，將原始的評分矩陣

分解成兩個矩陣

和

的乘積：?

矩陣P(n,K)表示n個user和K個特征之間的關系矩陣，這K個特征是一個中間變量，矩陣Q(K,m)的轉置是矩陣Q(m,K)，矩陣Q(m,K)表示m個item和K個特征之間的關系矩陣，這里的K值是自己控制的，可以使用交叉驗證的方法獲得最佳的K值。為了得到近似的R(n,m)，必須求出矩陣P和Q，如何求它們呢？

【方法】

1. 首先令

2. 損失函數：使用原始的評分矩陣

與重新構建的評分矩陣

之間的誤差的平方作為損失函數，即：

如果R(i,j)已知，則R(i,j)的誤差平方和為：

最終，需要求解所有的非“-”項的損失之和的最小值：

3. 使用梯度下降法獲得修正的p和q分量：

求解損失函數的負梯度：

根據負梯度的方向更新變量：

4.?不停迭代直到算法最終收斂(直到sum(e^2) <=閾值)

(Plus：為了防止過擬合，增加正則化項)

【加入正則項的損失函數求解】

1.? 首先令

2.? 通常在求解的過程中，為了能夠有較好的泛化能力，會在損失函數中加入正則項，以對參數進行約束，加入

正則的損失函數為：

也即：

3.??使用梯度下降法獲得修正的p和q分量：

求解損失函數的負梯度：

根據負梯度的方向更新變量：

4.?不停迭代直到算法最終收斂(直到sum(e^2) <=閾值)

【預測】利用上述的過程，我們可以得到矩陣

和

，這樣便可以為用戶 i?對商品? j?進行打分：

【Python代碼實現如下】(基于Python 3.X ；使用正則項)

1 #!/usr/bin/env python

2 #encoding: utf-8

3 __author__ = 'Scarlett'

4 #矩陣分解在打分預估系統中得到了成熟的發展和應用

5 #from pylab import *

6 importmatplotlib.pyplot as plt7 from math importpow8 importnumpy9

10

11 def matrix_factorization(R,P,Q,K,steps=5000,alpha=0.0002,beta=0.02):12 Q=Q.T #.T操作表示矩陣的轉置

13 result=[]14 for step inrange(steps):15 for i inrange(len(R)):16 for j inrange(len(R[i])):17 if R[i][j]>0:18 eij=R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]) #.dot(P,Q) 表示矩陣內積

19 for k inrange(K):20 P[i][k]=P[i][k]+alpha*(2*eij*Q[k][j]-beta*P[i][k])21 Q[k][j]=Q[k][j]+alpha*(2*eij*P[i][k]-beta*Q[k][j])22 eR=numpy.dot(P,Q)23 e=024 for i inrange(len(R)):25 for j inrange(len(R[i])):26 if R[i][j]>0:27 e=e+pow(R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]),2)28 for k inrange(K):29 e=e+(beta/2)*(pow(P[i][k],2)+pow(Q[k][j],2))30 result.append(e)31 if e<0.001:32 break

33 returnP,Q.T,result34

35 if __name__ == '__main__':36 R=[37 [5,3,0,1],38 [4,0,0,1],39 [1,1,0,5],40 [1,0,0,4],41 [0,1,5,4]42 ]43

44 R=numpy.array(R)45

46 N=len(R)47 M=len(R[0])48 K=2

49

50 P=numpy.random.rand(N,K) #隨機生成一個 N行 K列的矩陣

51 Q=numpy.random.rand(M,K) #隨機生成一個 M行 K列的矩陣

52

53 nP,nQ,result=matrix_factorization(R,P,Q,K)54 print("原始的評分矩陣R為：\n",R)55 R_MF=numpy.dot(nP,nQ.T)56 print("經過MF算法填充0處評分值后的評分矩陣R_MF為：\n",R_MF)57

58 #-------------損失函數的收斂曲線圖---------------

59

60 n=len(result)61 x=range(n)62 plt.plot(x,result,color='r',linewidth=3)63 plt.title("Convergence curve")64 plt.xlabel("generation")65 plt.ylabel("loss")66 plt.show()

運行結果如下：

損失函數的收斂曲線圖：

【代碼的GitHub地址】

【Reference】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python实现推荐系统代码_推荐系统之矩阵分解及其Python代码实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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