1 - 求n的因子和

因子和函數σ定義為整數n的所有正因子之和，記為σ(n)? 它是一個積性函數
首先對n進行因子分解 (因子分解代碼附后)
n = p1^a1 * p2^a2 * ~~~ * px ^ ax


σ(n) =((p1^(a1+1)-1)/(p1-1) * ((p2^(a2+1)-1)/(p2-1) * .... * ((pj^(aj+1)-1)/(pj-1)) = Π(j=1 -> x) (pj^(aj+1)-1)/(pj-1)
? ? Π:表示乘積的符號


? ? 舉個例子： 12 = 2^2 * 3^1 = p1^a1 * p2^a2? ? ?(p1 = 2; a1 = 2; p2 = 3; a2 = 1)
? ? 而 12的因子有 1 2 3 4 6 12
? ? 1 = 2^0 * 3^0
? ? 2 = 2^1 * 3^0
? ? 3 = 2^0 * 3^1
? ? 4 = 2^2 * 3^0
? ? 6 = 2^1 * 3^1
? ? 12 = 2^2 * 3^1
? ? 左邊加起來 = 1+2+3+4+6+12 =? 28 = (2^0 + 2^1 + 2^2) * (3^0 + 3^1) = 右邊


? ??(2^0 + 2^1 + 2^2)? 是一個首項為1，公比為2的等比數列?
? ??(3^0 + 3^1) 是一個首項為1 ， 公比為3的等比數列?
? ??因為我們對n進行算數分解 所以不可能出現公比為1的情況
? ??根據等比數列求和公式? (1 - q^n) / (1-q)? ?
? ??分子分母同時乘-1? ? (q^n - 1) / (q - 1)
? ??因為第一項是從0開始的? 所以 對于pi ^ ai 它的前n項和為 (pi^(ai+1) - 1) / (pi - 1)


? ? 所以 σ(n) = Π(i=1 -> x) (pi^(ai+1)-1)/(pi-1)?

2 - 求n的因子個數

因子個數函數τ定義為正整數n的所有正因子個數，記為τ(n)


τ(n) = (b1+1) * (b2+1) * ... * (bs+1) = Π(i=1 -> s) (bi + 1)


舉個例子~~~
首先還是對n進行因子分解
n = 12
則 12 = 2^2 * 3^1
// 12 的因子有 1 2 3 4 6 12 首先2對因子的貢獻有3個 3對因子的貢獻有2個 (這里有問題 有時間了在改)
所以 τ(n) = (b1+1) * (b2+1)
?

3 - 因子分解

//n等于1的時候無法分解 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; # define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) int prime[100010]; // 存素數 bool vis[100010]; int numprime; // 素數表的個數 void doprime(int n){mst(vis, 0);mst(prime, 0);for(int i = 2; i <= n; i++){if(!vis[i]){prime[numprime++] = i;}for(int j = 0; j <numprime && i *prime[j] <= n; j++){vis[i * prime[j]] = true;if(i % prime[j] == 0){break;}}} } LL a[1060]; /// 保存素因子 int b[1060]; /// 保存素因子的個數 int cnt; void suanshu(long long n) {cnt=0; /// 從0開始的memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));for(int i = 0; i < numprime && prime[i] * prime[i] <= n; i++){if(n % prime[i] == 0){a[cnt] = prime[i];while(n % prime[i] == 0){b[cnt]++;n /= prime[i];}cnt++;}}if(n!=1){a[cnt] = n;b[cnt++] = 1;} }int main(){doprime(100010);int n;while(cin>> n){suanshu(n);for(int i = 0; i < cnt; i++){cout<<a[i]<<" ^ "<< b[i]<<" ";}cout<<endl;}return 0; }

sqrt(n)算法：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;#define e exp(1) #define pi acos(-1) #define mod 1000000007 #define inf 0x3f3f3f3f #define ll long long #define ull unsigned long long #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){ll n;scanf("%lld",&n);int sum=0;n--;for(ll i=1; i<=sqrt(n); i++){if(n%i==0&&n/i==i)sum++;else if(n%i==0&&n/i!=i)sum+=2;}printf("%d\n",sum);}return 0; }

?

?

?

3 - 求1到n的因子和的和

1.

ll get(ll x,ll n){ll a=n/x;ll b=n/(x+1)+1;return (a+b)*(a-b+1)/2*x; } ll x(ll n) {ll ans=0;for(ll i=1;i*i<=n;i++){ll a=i;ll b=n/a;ans+=get(a,n);if(b!=a) ans+=get(b,n);}if(n==0) ans=0;return ans; }

2.這個不好口述，盡量解釋清楚
還是以12為例
則 i????1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
????????2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2
????????4 3 4 5 3
6 8 10 6
12
則 ans = σ(1)? + σ(2) + ---- + σ(12)
? ?= 12*1 + 6*2 + 4*3 +? 3*4 + 2*5 + 2*6 +? 1*7 + 1*8 + 1*9 + 1*10 + 1*11 + 1*12
? ?=? Σ(1 -> n) (n/i) * i? ? ?注： 這里的/ 是整除的意思
然后我們這樣看
ans = 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*(5+6) + 1*(7+8+9+10+11+12)
則對于每一個 n/i 都有一個范圍
n/i 范圍[l, r]? ? ? ? 當前n/i 在范圍內 對ans的貢獻是
12? [1,1]? ? ? ? 12 * 1
6?[2,2] 6 * 2
4?[3,3] 4 * 3
3 [4,4] 3 * 4
2?[5,6] 2 * (5 + 6)
1? ?[7,12] 1 * (7 + 8 + --- + 12)? ? ? 對于 7+--+8 等差數列求和 n(a1+an)/2


可以發現 每一個l等于上一個r+1 而r = n/(n/l)? (這里可能不好想-^-^-也就是積性函數（可看積性函數的一些函數）,就是數論的分塊，我是這么想的，)
則代碼。。。
(j-i+1)*(i+j)/2相當于n(a1+an)/2

ll x(ll n) {ll ans=0,j;for(ull i=1;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);ans+=(j-i+1)*(i+j)/2*(n/i);}return ans; }

?

4 - 求1到n的因子個數的和

還是以12為例
i? ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子個數? ? 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6
ans = τ(1) + τ(2) + τ(3) + τ(4)+ τ(5)+ τ(6)+ τ(7)+ τ(8)+ τ(9)+ τ(10)+ τ(11) + τ(12)
= 1 + 2 + 2 +3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6
= 1 * 1 + 2 * 5 + 3 * 2 + 4 * 3 + 6 * 1
= Σ(1 -> n) (n/i)
代碼：

// light oj 1245 # include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; LL X(LL n) {LL l, r;LL ans = 0;for( l = 1; l <= n; l = r+1){r = n/(n/l);ans += n/l * (r - l + 1);}return ans; } int main(){int t;cin>>t;int Case =1;while(t--){LL x;cin>> x;printf("Case %d: %lld\n",Case++,X(x));} }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的因子和，因子数，1到n的因子和，1到n的因子数（积性函数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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