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Batch Normalization作為最近一年來(lái)DL的重要成果，已經(jīng)廣泛被證明其有效性和重要性。雖然有些細(xì)節(jié)處理還解釋不清其理論原因，但是實(shí)踐證明好用才是真的好，別忘了DL從Hinton對(duì)深層網(wǎng)絡(luò)做Pre-Train開(kāi)始就是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)先于理論分析的偏經(jīng)驗(yàn)的一門學(xué)問(wèn)。本文是對(duì)論文《Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift》的導(dǎo)讀。

　　機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域有個(gè)很重要的假設(shè)：IID獨(dú)立同分布假設(shè)，就是假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)是滿足相同分布的，這是通過(guò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲得的模型能夠在測(cè)試集獲得好的效果的一個(gè)基本保障。那BatchNorm的作用是什么呢？BatchNorm就是在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中使得每一層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入保持相同分布的。

　　接下來(lái)一步一步的理解什么是BN。

　　為什么深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隨著網(wǎng)絡(luò)深度加深，訓(xùn)練起來(lái)越困難，收斂越來(lái)越慢？這是個(gè)在DL領(lǐng)域很接近本質(zhì)的好問(wèn)題。很多論文都是解決這個(gè)問(wèn)題的，比如ReLU激活函數(shù)，再比如Residual Network，BN本質(zhì)上也是解釋并從某個(gè)不同的角度來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的。

一、“Internal Covariate Shift”問(wèn)題

　　從論文名字可以看出，BN是用來(lái)解決“Internal Covariate Shift”問(wèn)題的，那么首先得理解什么是“Internal Covariate Shift”？

　　論文首先說(shuō)明Mini-Batch SGD相對(duì)于One Example SGD的兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：梯度更新方向更準(zhǔn)確；并行計(jì)算速度快；（為什么要說(shuō)這些？因?yàn)锽atchNorm是基于Mini-Batch SGD的，所以先夸下Mini-Batch SGD，當(dāng)然也是大實(shí)話）；然后吐槽下SGD訓(xùn)練的缺點(diǎn)：超參數(shù)調(diào)起來(lái)很麻煩。（作者隱含意思是用BN就能解決很多SGD的缺點(diǎn)）

　　接著引入covariate shift的概念：如果ML系統(tǒng)實(shí)例集合<X,Y>中的輸入值X的分布老是變，這不符合IID假設(shè)，網(wǎng)絡(luò)模型很難穩(wěn)定的學(xué)規(guī)律，這不得引入遷移學(xué)習(xí)才能搞定嗎，我們的ML系統(tǒng)還得去學(xué)習(xí)怎么迎合這種分布變化啊。對(duì)于深度學(xué)習(xí)這種包含很多隱層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在訓(xùn)練過(guò)程中，因?yàn)楦鲗訁?shù)不停在變化，所以每個(gè)隱層都會(huì)面臨covariate shift的問(wèn)題，也就是在訓(xùn)練過(guò)程中，隱層的輸入分布老是變來(lái)變?nèi)?#xff0c;這就是所謂的“Internal Covariate Shift”，Internal指的是深層網(wǎng)絡(luò)的隱層，是發(fā)生在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的事情，而不是covariate shift問(wèn)題只發(fā)生在輸入層。

　　然后提出了BatchNorm的基本思想：能不能讓每個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的激活輸入分布固定下來(lái)呢？這樣就避免了“Internal Covariate Shift”問(wèn)題了。

　　BN不是憑空拍腦袋拍出來(lái)的好點(diǎn)子，它是有啟發(fā)來(lái)源的：之前的研究表明如果在圖像處理中對(duì)輸入圖像進(jìn)行白化（Whiten）操作的話——所謂白化，就是對(duì)輸入數(shù)據(jù)分布變換到0均值，單位方差的正態(tài)分布——那么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)較快收斂，那么BN作者就開(kāi)始推論了：圖像是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層，做白化能加快收斂，那么其實(shí)對(duì)于深度網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，其中某個(gè)隱層的神經(jīng)元是下一層的輸入，意思是其實(shí)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)隱層都是輸入層，不過(guò)是相對(duì)下一層來(lái)說(shuō)而已，那么能不能對(duì)每個(gè)隱層都做白化呢？這就是啟發(fā)BN產(chǎn)生的原初想法，而B(niǎo)N也確實(shí)就是這么做的，可以理解為對(duì)深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每個(gè)隱層神經(jīng)元的激活值做簡(jiǎn)化版本的白化操作。

二、BatchNorm的本質(zhì)思想

　　BN的基本思想其實(shí)相當(dāng)直觀：因?yàn)樯顚由窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)在做非線性變換前的激活輸入值（就是那個(gè)x=WU+B，U是輸入）隨著網(wǎng)絡(luò)深度加深或者在訓(xùn)練過(guò)程中，其分布逐漸發(fā)生偏移或者變動(dòng)，之所以訓(xùn)練收斂慢，一般是整體分布逐漸往非線性函數(shù)的取值區(qū)間的上下限兩端靠近（對(duì)于Sigmoid函數(shù)來(lái)說(shuō)，意味著激活輸入值WU+B是大的負(fù)值或正值），所以這導(dǎo)致反向傳播時(shí)低層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度消失，這是訓(xùn)練深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂越來(lái)越慢的本質(zhì)原因，而B(niǎo)N就是通過(guò)一定的規(guī)范化手段，把每層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)任意神經(jīng)元這個(gè)輸入值的分布強(qiáng)行拉回到均值為0方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其實(shí)就是把越來(lái)越偏的分布強(qiáng)制拉回比較標(biāo)準(zhǔn)的分布，這樣使得激活輸入值落在非線性函數(shù)對(duì)輸入比較敏感的區(qū)域，這樣輸入的小變化就會(huì)導(dǎo)致?lián)p失函數(shù)較大的變化，意思是這樣讓梯度變大，避免梯度消失問(wèn)題產(chǎn)生，而且梯度變大意味著學(xué)習(xí)收斂速度快，能大大加快訓(xùn)練速度。

　　THAT’S IT。其實(shí)一句話就是：對(duì)于每個(gè)隱層神經(jīng)元，把逐漸向非線性函數(shù)映射后向取值區(qū)間極限飽和區(qū)靠攏的輸入分布強(qiáng)制拉回到均值為0方差為1的比較標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，使得非線性變換函數(shù)的輸入值落入對(duì)輸入比較敏感的區(qū)域，以此避免梯度消失問(wèn)題。因?yàn)樘荻纫恢倍寄鼙３直容^大的狀態(tài)，所以很明顯對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)調(diào)整效率比較高，就是變動(dòng)大，就是說(shuō)向損失函數(shù)最優(yōu)值邁動(dòng)的步子大，也就是說(shuō)收斂地快。BN說(shuō)到底就是這么個(gè)機(jī)制，方法很簡(jiǎn)單，道理很深刻。

　　上面說(shuō)得還是顯得抽象，下面更形象地表達(dá)下這種調(diào)整到底代表什么含義。

? 圖1 ?幾個(gè)正態(tài)分布

　　假設(shè)某個(gè)隱層神經(jīng)元原先的激活輸入x取值符合正態(tài)分布，正態(tài)分布均值是-2，方差是0.5，對(duì)應(yīng)上圖中最左端的淺藍(lán)色曲線，通過(guò)BN后轉(zhuǎn)換為均值為0，方差是1的正態(tài)分布（對(duì)應(yīng)上圖中的深藍(lán)色圖形），意味著什么，意味著輸入x的取值正態(tài)分布整體右移2（均值的變化），圖形曲線更平緩了（方差增大的變化）。這個(gè)圖的意思是，BN其實(shí)就是把每個(gè)隱層神經(jīng)元的激活輸入分布從偏離均值為0方差為1的正態(tài)分布通過(guò)平移均值壓縮或者擴(kuò)大曲線尖銳程度，調(diào)整為均值為0方差為1的正態(tài)分布。

　　那么把激活輸入x調(diào)整到這個(gè)正態(tài)分布有什么用？首先我們看下均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代表什么含義：

?

圖2 ?均值為0方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖

?

　　這意味著在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，也就是說(shuō)64%的概率x其值落在[-1,1]的范圍內(nèi)，在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，也就是說(shuō)95%的概率x其值落在了[-2,2]的范圍內(nèi)。那么這又意味著什么？我們知道，激活值x=WU+B,U是真正的輸入，x是某個(gè)神經(jīng)元的激活值，假設(shè)非線性函數(shù)是sigmoid，那么看下sigmoid(x)其圖形：

圖3. Sigmoid(x)

及sigmoid(x)的導(dǎo)數(shù)為：G’=f(x)*(1-f(x))，因?yàn)閒(x)=sigmoid(x)在0到1之間，所以G’在0到0.25之間，其對(duì)應(yīng)的圖如下：

圖4 ?Sigmoid(x)導(dǎo)數(shù)圖

　　假設(shè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)BN調(diào)整前x的原先正態(tài)分布均值是-6，方差是1，那么意味著95%的值落在了[-8,-4]之間，那么對(duì)應(yīng)的Sigmoid（x）函數(shù)的值明顯接近于0，這是典型的梯度飽和區(qū)，在這個(gè)區(qū)域里梯度變化很慢，為什么是梯度飽和區(qū)？請(qǐng)看下sigmoid(x)如果取值接近0或者接近于1的時(shí)候?qū)?yīng)導(dǎo)數(shù)函數(shù)取值，接近于0，意味著梯度變化很小甚至消失。而假設(shè)經(jīng)過(guò)BN后，均值是0，方差是1，那么意味著95%的x值落在了[-2,2]區(qū)間內(nèi)，很明顯這一段是sigmoid(x)函數(shù)接近于線性變換的區(qū)域，意味著x的小變化會(huì)導(dǎo)致非線性函數(shù)值較大的變化，也即是梯度變化較大，對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)函數(shù)圖中明顯大于0的區(qū)域，就是梯度非飽和區(qū)。

　　從上面幾個(gè)圖應(yīng)該看出來(lái)BN在干什么了吧？其實(shí)就是把隱層神經(jīng)元激活輸入x=WU+B從變化不拘一格的正態(tài)分布通過(guò)BN操作拉回到了均值為0，方差為1的正態(tài)分布，即原始正態(tài)分布中心左移或者右移到以0為均值，拉伸或者縮減形態(tài)形成以1為方差的圖形。什么意思？就是說(shuō)經(jīng)過(guò)BN后，目前大部分Activation的值落入非線性函數(shù)的線性區(qū)內(nèi)，其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)離導(dǎo)數(shù)飽和區(qū)，這樣來(lái)加速訓(xùn)練收斂過(guò)程。

　　但是很明顯，看到這里，稍微了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的讀者一般會(huì)提出一個(gè)疑問(wèn)：如果都通過(guò)BN，那么不就跟把非線性函數(shù)替換成線性函數(shù)效果相同了？這意味著什么？我們知道，如果是多層的線性函數(shù)變換其實(shí)這個(gè)深層是沒(méi)有意義的，因?yàn)槎鄬泳€性網(wǎng)絡(luò)跟一層線性網(wǎng)絡(luò)是等價(jià)的。這意味著網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)能力下降了，這也意味著深度的意義就沒(méi)有了。所以BN為了保證非線性的獲得，對(duì)變換后的滿足均值為0方差為1的x又進(jìn)行了scale加上shift操作(y=scale*x+shift)，每個(gè)神經(jīng)元增加了兩個(gè)參數(shù)scale和shift參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)是通過(guò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)到的，意思是通過(guò)scale和shift把這個(gè)值從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布左移或者右移一點(diǎn)并長(zhǎng)胖一點(diǎn)或者變瘦一點(diǎn)，每個(gè)實(shí)例挪動(dòng)的程度不一樣，這樣等價(jià)于非線性函數(shù)的值從正中心周圍的線性區(qū)往非線性區(qū)動(dòng)了動(dòng)。核心思想應(yīng)該是想找到一個(gè)線性和非線性的較好平衡點(diǎn)，既能享受非線性的較強(qiáng)表達(dá)能力的好處，又避免太靠非線性區(qū)兩頭使得網(wǎng)絡(luò)收斂速度太慢。當(dāng)然，這是我的理解，論文作者并未明確這樣說(shuō)。但是很明顯這里的scale和shift操作是會(huì)有爭(zhēng)議的，因?yàn)榘凑照撐淖髡哒撐睦飳懙睦硐霠顟B(tài)，就會(huì)又通過(guò)scale和shift操作把變換后的x調(diào)整回未變換的狀態(tài)，那不是饒了一圈又繞回去原始的“Internal Covariate Shift”問(wèn)題里去了嗎，感覺(jué)論文作者并未能夠清楚地解釋scale和shift操作的理論原因。

三、訓(xùn)練階段如何做BatchNorm

　　上面是對(duì)BN的抽象分析和解釋，具體在Mini-Batch SGD下做BN怎么做？其實(shí)論文里面這塊寫得很清楚也容易理解。為了保證這篇文章完整性，這里簡(jiǎn)單說(shuō)明下。

　　假設(shè)對(duì)于一個(gè)深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，其中兩層結(jié)構(gòu)如下：

? 圖5 ?DNN其中兩層

　　要對(duì)每個(gè)隱層神經(jīng)元的激活值做BN，可以想象成每個(gè)隱層又加上了一層BN操作層，它位于X=WU+B激活值獲得之后，非線性函數(shù)變換之前，其圖示如下：

? 圖6. BN操作

　　對(duì)于Mini-Batch SGD來(lái)說(shuō)，一次訓(xùn)練過(guò)程里面包含m個(gè)訓(xùn)練實(shí)例，其具體BN操作就是對(duì)于隱層內(nèi)每個(gè)神經(jīng)元的激活值來(lái)說(shuō)，進(jìn)行如下變換：

　　要注意，這里t層某個(gè)神經(jīng)元的x(k)不是指原始輸入，就是說(shuō)不是t-1層每個(gè)神經(jīng)元的輸出，而是t層這個(gè)神經(jīng)元的線性激活x=WU+B，這里的U才是t-1層神經(jīng)元的輸出。變換的意思是：某個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)的原始的激活x通過(guò)減去mini-Batch內(nèi)m個(gè)實(shí)例獲得的m個(gè)激活x求得的均值E(x)并除以求得的方差Var(x)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

　　上文說(shuō)過(guò)經(jīng)過(guò)這個(gè)變換后某個(gè)神經(jīng)元的激活x形成了均值為0，方差為1的正態(tài)分布，目的是把值往后續(xù)要進(jìn)行的非線性變換的線性區(qū)拉動(dòng)，增大導(dǎo)數(shù)值，增強(qiáng)反向傳播信息流動(dòng)性，加快訓(xùn)練收斂速度。但是這樣會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)表達(dá)能力下降，為了防止這一點(diǎn)，每個(gè)神經(jīng)元增加兩個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)（scale和shift），這兩個(gè)參數(shù)是通過(guò)訓(xùn)練來(lái)學(xué)習(xí)到的，用來(lái)對(duì)變換后的激活反變換，使得網(wǎng)絡(luò)表達(dá)能力增強(qiáng)，即對(duì)變換后的激活進(jìn)行如下的scale和shift操作，這其實(shí)是變換的反操作：

　　BN其具體操作流程，如論文中描述的一樣：

?

　　過(guò)程非常清楚，就是上述公式的流程化描述，這里不解釋了，直接應(yīng)該能看懂。

四、BatchNorm的推理(Inference)過(guò)程

　　BN在訓(xùn)練的時(shí)候可以根據(jù)Mini-Batch里的若干訓(xùn)練實(shí)例進(jìn)行激活數(shù)值調(diào)整，但是在推理（inference）的過(guò)程中，很明顯輸入就只有一個(gè)實(shí)例，看不到Mini-Batch其它實(shí)例，那么這時(shí)候怎么對(duì)輸入做BN呢？因?yàn)楹苊黠@一個(gè)實(shí)例是沒(méi)法算實(shí)例集合求出的均值和方差的。這可如何是好？

　　既然沒(méi)有從Mini-Batch數(shù)據(jù)里可以得到的統(tǒng)計(jì)量，那就想其它辦法來(lái)獲得這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，就是均值和方差。可以用從所有訓(xùn)練實(shí)例中獲得的統(tǒng)計(jì)量來(lái)代替Mini-Batch里面m個(gè)訓(xùn)練實(shí)例獲得的均值和方差統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)楸緛?lái)就打算用全局的統(tǒng)計(jì)量，只是因?yàn)橛?jì)算量等太大所以才會(huì)用Mini-Batch這種簡(jiǎn)化方式的，那么在推理的時(shí)候直接用全局統(tǒng)計(jì)量即可。

　　決定了獲得統(tǒng)計(jì)量的數(shù)據(jù)范圍，那么接下來(lái)的問(wèn)題是如何獲得均值和方差的問(wèn)題。很簡(jiǎn)單，因?yàn)槊看巫鯩ini-Batch訓(xùn)練時(shí)，都會(huì)有那個(gè)Mini-Batch里m個(gè)訓(xùn)練實(shí)例獲得的均值和方差，現(xiàn)在要全局統(tǒng)計(jì)量，只要把每個(gè)Mini-Batch的均值和方差統(tǒng)計(jì)量記住，然后對(duì)這些均值和方差求其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望即可得出全局統(tǒng)計(jì)量，即：

　　有了均值和方差，每個(gè)隱層神經(jīng)元也已經(jīng)有對(duì)應(yīng)訓(xùn)練好的Scaling參數(shù)和Shift參數(shù)，就可以在推導(dǎo)的時(shí)候?qū)γ總€(gè)神經(jīng)元的激活數(shù)據(jù)計(jì)算NB進(jìn)行變換了，在推理過(guò)程中進(jìn)行BN采取如下方式：

　　這個(gè)公式其實(shí)和訓(xùn)練時(shí)

　　是等價(jià)的，通過(guò)簡(jiǎn)單的合并計(jì)算推導(dǎo)就可以得出這個(gè)結(jié)論。那么為啥要寫成這個(gè)變換形式呢？我猜作者這么寫的意思是：在實(shí)際運(yùn)行的時(shí)候，按照這種變體形式可以減少計(jì)算量，為啥呢？因?yàn)閷?duì)于每個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)：

　　　　　　　　　　

　　都是固定值，這樣這兩個(gè)值可以事先算好存起來(lái)，在推理的時(shí)候直接用就行了，這樣比原始的公式每一步驟都現(xiàn)算少了除法的運(yùn)算過(guò)程，乍一看也沒(méi)少多少計(jì)算量，但是如果隱層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)多的話節(jié)省的計(jì)算量就比較多了。

五、BatchNorm的好處

　　BatchNorm為什么NB呢，關(guān)鍵還是效果好。①不僅僅極大提升了訓(xùn)練速度，收斂過(guò)程大大加快；②還能增加分類效果，一種解釋是這是類似于Dropout的一種防止過(guò)擬合的正則化表達(dá)方式，所以不用Dropout也能達(dá)到相當(dāng)?shù)男Ч?#xff1b;③另外調(diào)參過(guò)程也簡(jiǎn)單多了，對(duì)于初始化要求沒(méi)那么高，而且可以使用大的學(xué)習(xí)率等。總而言之，經(jīng)過(guò)這么簡(jiǎn)單的變換，帶來(lái)的好處多得很，這也是為何現(xiàn)在BN這么快流行起來(lái)的原因。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的白话详细解读（七）----- Batch Normalization的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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