1.高斯濾波器綜述

? ????高斯濾波器是一類根據(jù)高斯函數(shù)的形狀來選擇權(quán)值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對(duì)于抑制服從正態(tài)分布的噪聲非常有效。一維零均值高斯函數(shù)為：

????g(x)=exp( -x^2/(2 sigma^2)

其中，高斯分布參數(shù)Sigma決定了高斯函數(shù)的寬度。對(duì)于圖像處理來說，常用二維零均值離散高斯函數(shù)作平滑濾波器。

?????高斯函數(shù)具有五個(gè)重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實(shí)際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數(shù)具有五個(gè)十分重要的性質(zhì)，它們是：

（1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即濾波器在各個(gè)方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個(gè)方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測中不會(huì)偏向任一方向．

（2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來代替該點(diǎn)的像素值，而每一鄰域像素點(diǎn)權(quán)值是隨該點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離單調(diào)增減的．這一性質(zhì)是很重要的，因?yàn)檫吘壥且环N圖像局部特征，如果平滑運(yùn)算對(duì)離算子中心很遠(yuǎn)的像素點(diǎn)仍然有很大作用，則平滑運(yùn)算會(huì)使圖像失真．

（3）高斯函數(shù)的傅立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實(shí)的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號(hào)所污染(噪聲和細(xì)紋理)．而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會(huì)被不需要的高頻信號(hào)所污染，同時(shí)保留了大部分所需信號(hào)．

（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)σ表征的，而且σ和平滑程度的關(guān)系是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)σ，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細(xì)紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷．

（5）由于高斯函數(shù)的可分離性，較大尺寸的高斯濾波器可以得以有效地實(shí)現(xiàn)．二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來進(jìn)行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積．因此，二維高斯濾波的計(jì)算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長．

???

2. 高斯函數(shù)在圖像濾波中的應(yīng)用

?1?函數(shù)的基本概念

? ? ? ??所謂徑向基函數(shù) (Radial Basis Function 簡稱 RBF), 就是某種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)。通常定義為空間中任一點(diǎn)x到某一中心xc之間歐氏距離的單調(diào)函數(shù) , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當(dāng)x遠(yuǎn)離xc時(shí)函數(shù)取值很小。最常用的徑向基函數(shù)是高斯核函數(shù) ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc為核函數(shù)中心,σ為函數(shù)的寬度參數(shù) , 控制了函數(shù)的徑向作用范圍。

?2?函數(shù)的表達(dá)式和圖形

matlab繪圖的代碼：

?alf=3;

?n=7;%定義模板大小

?n1=floor((n+1)/2);%確定中心

?for i=1:n

a(i)= exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2));

?for j=1:n

?b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);

?end

?end

subplot(121),plot(a),title('一維高斯函數(shù)' )

?subplot(122),surf(b),title('二維高斯函數(shù)' )

3??圖像濾波

???

1?圖像濾波的基本概念

? ? ? ?圖像常常被強(qiáng)度隨機(jī)信號(hào)（也稱為噪聲）所污染．一些常見的噪聲有椒鹽（Salt & Pepper）噪聲、脈沖噪聲、高斯噪聲等．椒鹽噪聲含有隨機(jī)出現(xiàn)的黑白強(qiáng)度值．而脈沖噪聲則只含有隨機(jī)的白強(qiáng)度值（正脈沖噪聲）或黑強(qiáng)度值（負(fù)脈沖噪聲）．與前兩者不同，高斯噪聲含有強(qiáng)度服從高斯或正態(tài)分布的噪聲．研究濾波就是為了消除噪聲干擾。

? ? ?圖像濾波總體上講包括空域?yàn)V波和頻域?yàn)V波。頻率濾波需要先進(jìn)行傅立葉變換至頻域處理然后再反變換回空間域還原圖像，空域?yàn)V波是直接對(duì)圖像的數(shù)據(jù)做空間變換達(dá)到濾波的目的。它是一種鄰域運(yùn)算，即輸出圖像中任何像素的值都是通過采用一定的算法，根據(jù)輸入圖像中對(duì)用像素周圍一定鄰域內(nèi)像素的值得來的。如果輸出像素是輸入像素鄰域像素的線性組合則稱為線性濾波（例如最常見的均值濾波和高斯濾波），否則為非線性濾波（中值濾波、邊緣保持濾波等）。

? ? ? ?線性平滑濾波器去除高斯噪聲的效果很好，且在大多數(shù)情況下，對(duì)其它類型的噪聲也有很好的效果。線性濾波器使用連續(xù)窗函數(shù)內(nèi)像素加權(quán)和來實(shí)現(xiàn)濾波。特別典型的是，同一模式的權(quán)重因子可以作用在每一個(gè)窗口內(nèi)，也就意味著線性濾波器是空間不變的，這樣就可以使用卷積模板來實(shí)現(xiàn)濾波。如果圖像的不同部分使用不同的濾波權(quán)重因子，且仍然可以用濾波器完成加權(quán)運(yùn)算，那么線性濾波器就是空間可變的。任何不是像素加權(quán)運(yùn)算的濾波器都屬于非線性濾波器．非線性濾波器也可以是空間不變的，也就是說，在圖像的任何位置上可以進(jìn)行相同的運(yùn)算而不考慮圖像位置或空間的變化。

?2?圖像濾波的計(jì)算過程分析

? ? ? ?濾波通常是用卷積或者相關(guān)來描述，而線性濾波一般是通過卷積來描述的。他們非常類似，但是還是會(huì)有不同。下面我們來根據(jù)相關(guān)和卷積計(jì)算過程來體會(huì)一下他們的具體區(qū)別：

?卷積的計(jì)算步驟：

?（1）卷積核繞自己的核心元素順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度

?（2）移動(dòng)卷積核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

?（3）在旋轉(zhuǎn)后的卷積核中，將輸入圖像的像素值作為權(quán)重相乘

?（4）第三步各結(jié)果的和做為該輸入像素對(duì)應(yīng)的輸出像素

???

相關(guān)的計(jì)算步驟：

?（1）移動(dòng)相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

?（2）將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核

?（3）將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出

?可以看出他們的主要區(qū)別在于計(jì)算卷積的時(shí)候，卷積核要先做旋轉(zhuǎn)。而計(jì)算相關(guān)過程中不需要旋轉(zhuǎn)相關(guān)核。

?例如：?magic(3) =[8 1 6;3 5 7;4 9 2]，旋轉(zhuǎn)180度后就成了[2 9 4;7 5 3;6 1 8]

?4?高斯平滑濾波器的設(shè)計(jì)

?? ?高斯函數(shù)的最佳逼近由二項(xiàng)式展開的系數(shù)決定，換句話說，用楊輝三角形（也稱Pascal三角形）的第n行作為高斯濾波器的一個(gè)具有n個(gè)點(diǎn)的一維逼近，例如，五點(diǎn)逼近為:

1 4 6 4 1

??它們對(duì)應(yīng)于Pascal三角形的第5行．這一模板被用來在水平方向上平滑圖像．在高斯函數(shù)可分離性性質(zhì)中曾指出，二維高斯濾波器能用兩個(gè)一維高斯濾波器逐次卷積來實(shí)現(xiàn)，一個(gè)沿水平方向，一個(gè)沿垂直方向．實(shí)際中，這種運(yùn)算可以通過使用單個(gè)一維高斯模板，對(duì)兩次卷積之間的圖像和最后卷積的結(jié)果圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)置來完成．
這一技術(shù)在模板尺寸N約為10時(shí)的濾波效果極好．對(duì)較大的濾波器，二項(xiàng)式展開系數(shù)對(duì)大多數(shù)計(jì)算機(jī)來說都太多．但是，任意大的高斯濾波器都能通過重復(fù)使用小高斯濾波器來實(shí)現(xiàn)．高斯濾波器的二項(xiàng)式逼近的σ可用高斯函數(shù)擬合二項(xiàng)式系數(shù)的最小方差來計(jì)算．

???設(shè)計(jì)高斯濾波器的另一途徑是直接從離散高斯分布中計(jì)算模板權(quán)值。為了計(jì)算方便，一般希望濾波器權(quán)值是整數(shù)。在模板的一個(gè)角點(diǎn)處取一個(gè)值，并選擇一個(gè)K使該角點(diǎn)處值為1。通過這個(gè)系數(shù)可以使濾波器整數(shù)化，由于整數(shù)化后的模板權(quán)值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區(qū)域不受影響，必須對(duì)濾波模板進(jìn)行權(quán)值規(guī)范化。

???高斯濾波器的采樣值或者高斯濾波器的二項(xiàng)式展開系數(shù)可以形成離散高斯濾波器．當(dāng)用離散高斯濾波器進(jìn)行卷積時(shí)，其結(jié)果是一個(gè)更大的高斯離散濾波器．若一幅圖像用N*N離散高斯濾波器進(jìn)行平滑，接著再用M*M離散高斯濾波器平滑的話，那么平滑結(jié)果就和用（N+M-1）*（N+M-1）離散高斯濾波器平滑的結(jié)果一樣．換言之，在楊輝三角形中用第N行和第M行卷積形成了第N+M-1行．

總結(jié)

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