1.寫在前面的話

攝像機通過成像透鏡將三維場景投影到攝像機二維像平面上，這個投影可以用成像變換進行表示，也就是我們平常說的攝像機投影模型。攝像機成像模型有不同的描述方式。這里僅僅總結了機器視覺中常用的坐標系，然后主要分析了攝像機的線性模型和非線性模型。

2.坐標系描述：圖像坐標系、攝像機坐標系、世界坐標系

攝像機采集的圖像以標準的電視信號的形式經高速圖像采集系統變換為數字圖像，并輸入計算機。每幅圖像都是M*N數組，M行N列的圖像中的每一個元素（也就是像素）的數值就是圖像點的亮度（也就是圖像灰度）。如下圖所示：

(u,v)就是一像素為單位的圖像坐標系坐標。由于(u,v)只表示像素位于數組中的列數和行數，并沒有用物理單位表示出該像素在圖像中的位置。因此，需要在建立以物理單位（如毫米）表示的圖像坐標系，也就是我們圖中所表示的XOY坐標系。在X.Y坐標系中，原點O通常定義為攝像機光軸與圖像平面的交點，該店一般就位于圖像中心處，但由于一些原因，也會發生偏離。二維攝像機坐標系到圖像坐標系的變換可以用下面的矩陣進行刻畫：

那么，攝像機的成像幾何關系就可以用下圖來刻畫：

其中，O點稱為攝像機光心，x軸和y軸與圖像的X軸、Y軸平行，z軸為攝像機光軸，他與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的焦點即為圖像坐標系的原點，由點O與x、y、z軸構成的直角坐標系稱為攝像機坐標系。OO1為攝像機焦距。

世界坐標系的選取具有任意性。但是我們能夠肯定的就是攝像機坐標系到世界坐標系的變換是一個3D-3D的變換過程，他們的關系就能夠用旋轉矩陣R和平移向量t進行完美的刻畫。即存在如下關系：

3.針孔成像模型（線性攝像機模型）

針孔成像模型又稱為線性計算機模型。空間任何一點P在圖像中的成像位置可以用針孔成像模型近似表示，即任何點P在圖像中的投影位置p，為光心O與P點的連線OP與圖像平面的交點。這種關系也被稱為中心射影（也就是我們平時說的透射投影 perspective projection）。參考上圖模型，比例關系可以確定如下：

（X,Y）為p點的圖像坐標；（x,y,z）為空間點P在攝像機坐標系下的坐標，f為xy平面與圖像平面的距離（大多數的時候我們把f稱為攝像機的焦距），上面的關系我們仍能夠用一個矩陣表示：

其中，s是一個比例因子，P就是我們最為關心的透視投影矩陣。

那么，通過上面的總結，我們就能夠很輕易地得到世界坐標系表示下的P點與其在圖像坐標系下的p點的坐標變換關系。具體如下所示：

ax=f/dX:u軸上的尺度因子（平時我們叫u軸上歸一化焦距）；ay=f/dY:為v軸上的尺度因子（平時我們稱v軸上歸一化焦距）。M是投影矩陣；M1由ax,ay,u0,v0四個參數決定（這些參數可是僅僅跟攝像機內部參數有關，所以我們叫攝像機內部參數）。M2由攝像機相對于世界坐標系的方位決定，稱為攝像機外部參數。確定某一攝像機的內外參數，稱為攝像機的標定。

通過上式，我們還能發現一個事兒，如果我們得到了攝像機的內外參數，就拿到了投影矩陣M，這是對于任何空間點P，如果我們知道他在世界坐標系下的坐標Cw=(Xw,Yw,Zw),就可以準確定位他在圖像中的投影位置。但是，反過來這是不成立的，這就是攝像機成像損失了成像深度的理論來源（這也是很多科研工作者進行機器視覺的研究意義）。

4.非線性模型

然而！實際上，由于真實的鏡頭并不是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變！使得空間點所成的像并不在線性模型所描述的位置（X,Y），而是在受到鏡頭失真影響而偏移實際像平面坐標（X',Y'）：

其中，δx和δy是非線畸變值！他與圖像點在圖像中的位置相關。理論上鏡頭會同時存在徑向畸變和切向畸變。但是一般來講切向畸變變化很小，而徑向畸變的修正由距圖像中心的徑向距離的偶次冪多項式模型來表示：

其中，(u0,v0)是主點位置的精確值。而：

上式也說明了一個道理，X方向和Y方向的畸變相對值（δx/X，δy/Y）與徑向半徑平方成正比，即在圖像邊緣處畸變較大。對于非精密的機器視覺而言，一屆的徑向畸變已經足夠描述非線性畸變，那么上式就可以簡寫為：

那么，此時的非線性模型攝像機內參數就包括：線性模型參數（ax,ay,u0,v0）+非線性畸變參數（k1,k2）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的摄像机投射投影模型_综述及详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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