1.K-L變換定義、意義

?K-L變換也常稱為主成分變換(PCA)，是一種基于圖像統計特性的變換，它的協方差矩陣除對角線以外的元素都是零(所以大家也叫它最佳變換)，消除了數據之間的相關性，從而在信息壓縮方面起著重要作用。

在模式識別和圖像處理中一個主要的問題就是降維，在實際的模式識別問題中，我們選擇的特征經常彼此相關，在識別這些特征時，數量很多，大部分都是無用的。如果我們能減少特征的數量，即減少特征空間的維數，那么我們將以更少的存儲和計算復雜度獲得更好的準確性。 如何尋找一種合理的綜合性方法，使得：
1.減少特征量的個數。
2.盡量不損失或者稍損失原特征中所包含的信息。
3.使得原本相關的特征轉化為彼此不相關（用相關系數陣衡量）。
K-L變換即主成分分析就可以簡化大維數的數據集合。它還可以用于許多圖像的處理應用中，例如：壓縮、分類、特征選擇等。

2.K-L變換的原理

K-L變換的目的是尋找任意統計分布的數據集合主要分量的子集。基向量滿足相互正交性。使得原始數據集合變換到主分量空間，使單一數據樣本的互相關性(cross-correlation)降低到最低點。
例： 對某n個波段的多光譜圖像（這不就是多維信息嘛）實行一個線性變換，即對該多光譜圖像組成的光譜空間X乘以一個線性變換矩陣A，產生一個新的光譜空間Y，即產生一幅新的n個波段的多光譜圖像。其表達式為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y = AX
式中：X為變換前多光譜空間的像元矢量；Y為變換后多光譜空間的像元矢量；A為一個n×n的線性變換矩陣。

對于K-L變換中的矩陣A，必須滿足以下要求：
1. A為n×n正交矩陣，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn]
2. 對正交矩陣A來說，取φi為X的協方差矩陣∑x的特征向量，協方差矩陣除對角線以外的元素都是零
變換Y=A’X與反變換X=AY即為K-L變換的變換公式。

因此當n=3時：
從上式可以看出，A的作用實際上對各分量加一個權重系數，實現線性變換。Y的各分量的信息的線性組合，它綜合了原有各分量的信息而不是簡單的取舍，這使得新的n維隨機向量Y能夠較好的反映事物的本質特征。
變換后的矢量Y的協方差矩陣 ∑y是對角矩陣，且作為Y的各分量 ?yi ? ?的方差的對角元素就是 ?∑x的特征值，即

這里λ按由小到大的順序排列。K-L變換后新的坐標軸 ?的 y1,y2,y3…yn為個特征矢量的方向，由上式表明這實際上是選擇分布的主要分量作為新的坐標軸，對角化表明了新的分量彼此之間是互不相關的，即變換后的圖像Ｙ的各分量之間的信息是相互獨立的。

3.一維K-L變換

一種可以去掉隨機向量中各元素間相關性的線性變換
變換的方法如下： 1.定義協方差矩陣
2.求協方差矩陣的特征值和特征向量
3.定義變換核矩陣和K-L變換

4.二維K-L變換及應用于人臉識別

1.臉的檢測
2.特征臉
3.分類 將待識別人臉投影到新的M維人臉空間，即用一系列特征臉的線性加權和表示。此時待識別人臉問題轉換為投影系數向量，識別問題轉換為分類問題。最簡單的分類是最小距離分類等。

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5.總結

5.1 K-L變換的優點

k-l變換的優點主要集中在三個方面： 1.可以完全去除原始信號中的相關性 2.在進行數據壓縮時，將y截短所得的均方誤差最小，該最小均方誤差等于所有舍去的特征值之和 3.K-L變換最大程度上保留了原始信號的能量 也正是基于此，大家才把K-L變換稱為最佳變換

5.2 K-L變換的缺點

可惜的是，K-L變換還沒有快速算法，這是因為變換后的基向量是依賴協方差矩陣得到的，而協方差矩陣又是利用輸入信號得到的。 換句話來說，K-L變換的基向量依賴輸入信號！而傅里葉變換的基向量不必依賴輸入信號，這也就能解釋為什么K-L變換沒有快速算法。 也正因為這個原因，后面才發展出了近似的最優算法——余弦變換、正弦變換等圖像壓縮/數據壓縮算法

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的深度解析K-L变换 及其 在特征识别中的应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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