隨機信號分析——概率 - 子木的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/40316711

一、概率論

1.1 概率空間（,,）：樣本空間??+事件域??+事件??的概率?

1.1.1常見隨機現(xiàn)象的模型：

古典概率、幾何概率、統(tǒng)計概率

1.1.2三個基本性質(zhì)：

(1)0??1;

(2)=1,=0;

(3)若??、??、???是兩兩互不相交的事件則有

1.2 條件概率空間

1.2.1 條件概率

1.2.2 全概率公式

若事件是樣本空間S的一個劃分，則有

由條件概率公式得：

1.2.3 貝葉斯公式

1.2.4 獨立事件，統(tǒng)計獨立

在概率空間（,,）中，??、，且，若??則稱事件??隨機獨立于事件??（簡稱獨立于）。

兩事件的互斥和統(tǒng)計獨立是兩個完全不同的概念。

1.3 隨機變量及其概率分布函數(shù)

1.3.1 隨機變量

由于數(shù)學分析不能直接利用來研究集合函數(shù)。故，在集合函數(shù)與數(shù)學分析中研究的點函數(shù)間建立起某種聯(lián)系。

隨機變量就是原樣本空間??到一個新的樣本空間??的一種映，這種對應(yīng)關(guān)系在概率空間（,,）稱之為隨機變量，用??表示。

1.3.2 離散型隨機變量及其?分布列

隨機變量??只可能取有限個或一串值。

兩個性質(zhì)：

(1)?

(2)?

1.3.3 連續(xù)型隨機變量及其?密度函數(shù)

隨機變量?的值不是集中在有限個或可列無窮個點上。

兩個性質(zhì)：

（1）?

（2）?

1.3.4 分布函數(shù)及其性質(zhì)

1.??為非負，單調(diào)遞增函數(shù)，即若???，則

，且

2.右連續(xù)性，即

?。

3.令，則

?。

還有一種既不是離散型也不是連續(xù)型的隨機變量，稱之為混合型隨機變量。

1.4 多維隨機變量及其分布函數(shù)

n個隨機變量的總體稱為n維隨機變量。

1.4.1 二位分布函數(shù)及其基本性質(zhì)

一.?二維聯(lián)合分布函數(shù)：

4個基本性質(zhì)：

1.分別對x，y單調(diào)遞增；

2.對每個變量為右連續(xù)；

3.?

4.

二，離散型概率分布函數(shù)

三， 連續(xù)型分布函數(shù)

1.4.2 邊沿分布

?分別為??的密度函數(shù)。

1.4.3 相互獨立的隨機變量與條件分布

（一）， 相互獨立的隨機變

1.設(shè)??是兩個隨機變量，若對任意實數(shù)??有

則稱??為相互獨立的隨機變量。

若??是的聯(lián)合分布函數(shù)，則上式等價于

若??是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)滿足

聯(lián)合密度決定了邊沿密度，而邊沿密度不能決定聯(lián)合密度。

（二），條件分布與條件密度函數(shù)

?條件下，??的條件概率密度:

?條件下，??的條件概率密度:

1.5 隨機變量函數(shù)的分布

1.5.1 一維隨機變量函數(shù)的分布

設(shè)Y和X存在單調(diào)函數(shù)關(guān)系，并存在反函數(shù)??，此時，

若??位于??很小的一個區(qū)間內(nèi)，則??必位于??的一個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)。實質(zhì)上他們是同一個隨機事件，概率相等。即

則

1.5.2 二維隨機變量函數(shù)的分布

（一）.?設(shè)
雅可比行列式：

（二）.一些利用聯(lián)合變量推導出的隨機變量

1.兩個獨立正態(tài)隨機變量??,其和??也是正態(tài)隨機變量。

2.兩個獨立正態(tài)隨機變量具有相同的柯西分布，如

其和??也是柯西分布的隨機變量。

1.5.3 二維正態(tài)隨機變量函數(shù)的變換

（一）.平面直角坐標上兩個彼此獨立的正態(tài)分布的隨機變量，經(jīng)極坐標變換成隨機變量后，其模服從瑞利分布，相位??服從均勻分布，且Z，也是相互獨立的隨機變量。

(二).借助于坐標的旋轉(zhuǎn)變換可將兩個彼此獨立的正態(tài)隨機變量變換成兩個相關(guān)的正態(tài)隨機變量。反之，如果兩個正態(tài)隨機變量是彼此相關(guān)的，也可借助坐標旋轉(zhuǎn)某一個角度使其變?yōu)閮蓚€獨立的正態(tài)隨機變量。

1.6 隨機變量的數(shù)字特征

1.6.1 統(tǒng)計平均值與隨機變量的期望值

算術(shù)平均?

數(shù)學期望??,或

1.6.2 隨機變量函數(shù)的期望值

1.6.3 條件數(shù)學期望

由此可得

1.6.4 隨機變量的各階矩

1.k階原點矩

2.k階中心矩

3.聯(lián)合矩

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總結(jié)

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