信封问题（转载）
這是一個印度同學(xué)問某留學(xué)生的問題：
有兩個信封，你可以選擇其中一個。其中一個里面裝著一定數(shù)量的錢，另外一個裝著之前那個信封二倍的錢。你并不知道哪個信封裝著的錢更多。假設(shè)你現(xiàn)在隨機選擇了一個信封，如果你被允許給你改變你的選擇的話，你會選擇另一封嗎？
（ps：從信封上看不出也感覺不出厚度等因素的）
第一直覺是不會，因為你感覺這兩個信封拿到一定數(shù)量的錢的概率都是1/2，拿到二倍錢的概率也是1/2。
但是，概率是個神奇的東西：假使你拿到的信封里的錢是A，那么如果你拿到的是錢較少的那個信封，那么另外個信封的錢則是2A，發(fā)生這種事件的可能性是1/2。
如果你拿到的是錢較多的那個信封，那么另外個信封的錢則是1/2A， 發(fā)生這種事件的可能性也是1/2。
所以，綜上，換信封的話，拿到錢的期望是（2A）*1/2+（1/2A）*1/2=5/4A！！！
換言之，你的期望比你繼續(xù)持有你現(xiàn)有信封的期望要高，所以結(jié)論是你要換信封！
但是更神奇的事情在于，整個推理過程我們用的是一個未知數(shù)A，也就是說，換過以后，如果再給你次機會，那么仍然是你再換信封獲得的期望比你繼續(xù)持有那個信封的期望要高！而且這個過程是無限的，所以，理論上，如果給予你無數(shù)次可以改變的機會的話，你應(yīng)該不停的選擇換信封.
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下文作者：@Albert_JIAO?
網(wǎng)上查了下，這個悖論是經(jīng)典的Two-Envelope Problem，已經(jīng)被討論了幾十年，背后的水其實很深。
（1）對于這個詭異的結(jié)果，一個最簡單的解釋就是：假設(shè)你拿到的信封里的錢是A，那么另外一個信封的錢則是2A，可能性是1/2，此時我們假設(shè)A是兩個信封里錢比較少的那個數(shù)額；假設(shè)你拿到的信封里的錢是A，那么另外一個信封的錢則是A/2，可能性是1/2，此時我們假設(shè)A是兩個信封里錢比較多的那個數(shù)額。A一會兒表示錢多的那個信封，一會兒表示錢少的那個信封，兩次沒有明確的表示同一個數(shù)量，所以期望的計算不成立。
或者這樣說，有兩個信封擺在那里，一個有錢A，另一個有錢2A，任意拿一個的期望值都是1.5A，不管拿哪個，因為你也不知道信封里面是A還是2A。
（2）但是上面的解釋并不完善，僅適用于對于信封里面是什么一無所知的情況。假設(shè)你已經(jīng)拿了一個信封，并且已經(jīng)打開，里面的錢為10元（這些都是既定事實），那么另外一個信封里到底是5元還是20元，是不確定的，如果5元和20元的可能性真的各是50%，你應(yīng)不應(yīng)該換呢？
答案是應(yīng)該換，因為在這些條件下，換之后的期望值的確是1.25倍，不過這種情況下最多只有換一次的機會，因為信封已經(jīng)都打開了。那么，是不是在任何時候打開第一個信封之后，都應(yīng)該把第一個信封扔掉，要第二個信封呢？（起碼直覺上講這沒有道理）
如果前提條件是不管你打開的信封數(shù)額A是多少，另一個信封2A和0.5A的可能性相等，比如第一個打開一看是100萬元，另一個50萬元和200萬元可能性相等；第一個打開一看是0.001元，第二個是0.0005元和0.002元的可能性還是相等，扔掉第一個、換第二個毫無疑問一定是最佳的策略。
但是不管A的數(shù)額是多少，2A和0.5A的概率永遠(yuǎn)相等的情況是不存在的。這是因為如果這樣，意味著對于制作信封的人來說（不知道這個人是誰，就當(dāng)上帝吧），他在一對兒一對兒地做信封的時候要保證（0.5A,A）和（A，2A）出現(xiàn)的概率相等，同樣的，更小的信封（0.25A,0.5A），（0.125A,0.25A）……和更大的信封（2A，4A），（4A，8A）……所有的數(shù)額組合出現(xiàn)的概率都是d（d>0），但是數(shù)額可以無限大，也可以無限小，一共有無限多種組合，d乘以無限等于無限，但是作為一種概率分布，必須要保證所有概率加到一起等于1（不能是無限），否則概率分布沒有意義。所以，上帝無法造出來能讓2A和0.5A的概率永遠(yuǎn)相等的信封。
如果信封的數(shù)額組合并不是無限多，是有限的，悖論是不會出現(xiàn)的。假設(shè)只有（1元，2元），（2元，4元），（4元，8元），（8元，16元）這四種情況（上限就是16元）。那么如果采取每次都換的策略，假設(shè)你摸到的是1元，換了之后100%可以獲得2元，對自己有利。如果你摸到的是2元，1.25倍期望計算是成立的，換了也對自己有利；摸到的是4元和8元，同樣換了有利；可是一旦你摸到的是16元，如果還換，就會一下子損失8元，而且是百分之百的，因為信封里沒有32元的。盡管大多數(shù)時候換是有利的，可以賺一些小錢，但是一旦摸到最大的那個數(shù)額（但是自己不知道那是最大的），損失會很大，盈虧會抵消。如果游戲玩很多次，平均下來，換和不換的結(jié)果（也就是期望值）是一樣的，不存在悖論。事實上在數(shù)額有封頂?shù)那闆r下，比較好的策略是在摸到數(shù)額較小的信封時候盡量換，在摸到數(shù)額較大的信封的時候盡量不換。
到這里，這個悖論已經(jīng)基本被粉碎了，不過我們還可以繼續(xù)較真下去。
（3）但是死理性的人后來又提出這樣一種情況：我可以讓不同數(shù)額信封組合的概率分布加到一起等于1（當(dāng)然不是都相等的），同時還可以保證每次換的期望值大于A。
比如可以規(guī)定對于數(shù)額較小的那個信封是2^n的這種組合（即2^(n+1)、2^n）出現(xiàn)的概率為2^n/3^(n+1)，n=1，2，3……。這樣，（2元，4元）出現(xiàn)的概率將是4/27（n=2）,(4元,8元)出現(xiàn)的概率是8/81（n=3），以此類推。你如果抽到的是4元，換成另外一個的期望值將會是2元*(4/27)/( 4/27+8/81)+8元*(8/81)/( 4/27+8/81)=2元*(3/5)+8元*(2/5)=4.4>4。
如果把4換成其他數(shù)值，比如2或8或其他，結(jié)果是一樣的。按照這個概率分布公式，如果你摸到的信封是A,另一個是A/2的概率一定是2/5，是2A的概率一定是3/5，最后的期望值是11A/10>A,也就是說結(jié)論還是任意時候都要換，雙信封悖論又回來了。
這種情況下的漏洞是在哪里呢？兩個信封A和B，假設(shè)你拿到的是A，那么B的期望值是E(B)=11A/10;如果你拿到的是B，A的期望值是E(A)= 11B/10，這個相互矛盾的東西在一種情況下是不矛盾的：E(A)= E(B)=無限大。
事實也正是這樣的，2^n/3^(n+1)的這樣的概率分布也是有點病態(tài)的，雖然滿足相加等于1，但是會導(dǎo)致所有可能信封數(shù)額組合的平均期望值是無限大的，同樣不符合實際。
這個可以用另外一個賭徒的段子來解釋，有一個扔硬幣的賭博游戲，參加者每次可以押注一定數(shù)額，如果結(jié)果是正面，參加者可以得到雙倍的回報，如果結(jié)果是背面，參加者的押注將一去不復(fù)返。假設(shè)押注x,1/2*(2x-x)-1/2*x=0,這種游戲的期望值是0,輸贏各有一半的可能。一個賭徒說“我有一種只贏不輸?shù)谋貏俨呗?#xff0c;第一次我押1元，如果贏了就不玩了，輸了繼續(xù)押第二次，押注變?yōu)?元，如果贏了可以獲得4元，4-1-2=1，還是凈賺的；如果第二次還輸，第三次就會押注8元，按照這樣，如果輸了就繼續(xù)翻番的押注，贏了就不繼續(xù)玩了，這樣一直下去，總有贏的時候，只要贏一次，就可以收回之前的所有投入”。這種策略不可行的原因是賭徒手里的錢是有限的，押注以2倍的指數(shù)增大，增長速度很快，如果真的運氣不佳，連續(xù)很多次硬幣都是背面，賭徒就會傾家蕩產(chǎn)，綜合下來一算期望值，其實還是0。除非假設(shè)賭徒有無限多的錢，才能保證這樣的策略永遠(yuǎn)有效，但是，賭徒真要有無窮多的錢，無窮+無窮還等于無窮，贏多少錢對他都沒有意義了，還用去賭博賺錢嗎？
類似于賭博的例子，如果A本身的期望值就是無窮大的，就沒有意義再討論換成B之后期望值是多少，比A大還是比A小了，最初的Two Envelope Paradox即使在這種概率分布的假設(shè)下還是不成立的。
（4）除了Two-Envelope Problem本身，wikipedia上還介紹了一個與之有關(guān)的有趣定理。
如果游戲規(guī)則是這樣，制作信封的人每次給你兩個信封，分別裝有不同數(shù)量的錢X,Y，X和Y未必是二倍關(guān)系，但是X,Y的數(shù)值符合一定的概率分布，不過你完全不知道是哪種分布。你在游戲中的目標(biāo)是設(shè)法提高自己拿到錢比較多的信封的可能性。
在你打開第一個信封，看到錢的數(shù)量之后，可以決定留著這個信封，還是換成另外一個。在決定換和不換的時候，如果你使用這樣的辦法，用自己的電腦產(chǎn)生一個0到正無窮的隨機數(shù)，隨機數(shù)的概率分布可以用指數(shù)分布exp(-z)（exp(-z)在0到正無窮之間積分等于1）或者其他的一些分布，然后你用信封里的錢和隨機數(shù)z比較，如果小于z，就換另外一個信封，如果大于z就留著。這樣做看起來似乎沒什么作用，但事實卻出乎意料。
如果z的值比X和Y都要小，第一個信封一定會留著，對于提高拿到錢多信封的可能性沒有影響。如果z的值比X和Y都要大，第一個信封一定會被換掉，對于提高拿到錢多信封的可能性也沒有影響。但是如果z正好在X和Y之間，第一次打開信封又恰巧是數(shù)額比較小的那個，就可以被換成數(shù)額比較大的那個，如果第一次打開信封是數(shù)額比較大的那個，則沒有影響。綜合下來，如果什么也不做，每次拿到錢多的信封的可能性是1/2，但是用了一個隨機數(shù)z之后，可能性就大于1/2了?！矮@勝”概率=1/2 + P(Z falls between the two numbers)/2.
大家如果有興趣進(jìn)一步了解，可以看一下下面的資料：
1、http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
2、A CONCISE RESOLUTION TO THE TWO ENVELOPE PARADOX；ERIC BLISS
3、An Inside Look at the Two Envelopes Paradox；Ruma Falk，Raymond S. Nickerson
4、Opening Two Envelopes；Paul Syverson
5、Puzzles The Other Person's Envelope is Always Greener；Barry Nalebuff
6、The Two-envelope Paradox；JOHN BROOME
有兩個信封，你可以選擇其中一個。其中一個里面裝著一定數(shù)量的錢，另外一個裝著之前那個信封二倍的錢。你并不知道哪個信封裝著的錢更多。假設(shè)你現(xiàn)在隨機選擇了一個信封，如果你被允許給你改變你的選擇的話，你會選擇另一封嗎？
（ps：從信封上看不出也感覺不出厚度等因素的）
第一直覺是不會，因為你感覺這兩個信封拿到一定數(shù)量的錢的概率都是1/2，拿到二倍錢的概率也是1/2。
但是，概率是個神奇的東西：假使你拿到的信封里的錢是A，那么如果你拿到的是錢較少的那個信封，那么另外個信封的錢則是2A，發(fā)生這種事件的可能性是1/2。
如果你拿到的是錢較多的那個信封，那么另外個信封的錢則是1/2A， 發(fā)生這種事件的可能性也是1/2。
所以，綜上，換信封的話，拿到錢的期望是（2A）*1/2+（1/2A）*1/2=5/4A！！！
換言之，你的期望比你繼續(xù)持有你現(xiàn)有信封的期望要高，所以結(jié)論是你要換信封！
但是更神奇的事情在于，整個推理過程我們用的是一個未知數(shù)A，也就是說，換過以后，如果再給你次機會，那么仍然是你再換信封獲得的期望比你繼續(xù)持有那個信封的期望要高！而且這個過程是無限的，所以，理論上，如果給予你無數(shù)次可以改變的機會的話，你應(yīng)該不停的選擇換信封.
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下文作者：@Albert_JIAO?
網(wǎng)上查了下，這個悖論是經(jīng)典的Two-Envelope Problem，已經(jīng)被討論了幾十年，背后的水其實很深。
（1）對于這個詭異的結(jié)果，一個最簡單的解釋就是：假設(shè)你拿到的信封里的錢是A，那么另外一個信封的錢則是2A，可能性是1/2，此時我們假設(shè)A是兩個信封里錢比較少的那個數(shù)額；假設(shè)你拿到的信封里的錢是A，那么另外一個信封的錢則是A/2，可能性是1/2，此時我們假設(shè)A是兩個信封里錢比較多的那個數(shù)額。A一會兒表示錢多的那個信封，一會兒表示錢少的那個信封，兩次沒有明確的表示同一個數(shù)量，所以期望的計算不成立。
或者這樣說，有兩個信封擺在那里，一個有錢A，另一個有錢2A，任意拿一個的期望值都是1.5A，不管拿哪個，因為你也不知道信封里面是A還是2A。
（2）但是上面的解釋并不完善，僅適用于對于信封里面是什么一無所知的情況。假設(shè)你已經(jīng)拿了一個信封，并且已經(jīng)打開，里面的錢為10元（這些都是既定事實），那么另外一個信封里到底是5元還是20元，是不確定的，如果5元和20元的可能性真的各是50%，你應(yīng)不應(yīng)該換呢？
答案是應(yīng)該換，因為在這些條件下，換之后的期望值的確是1.25倍，不過這種情況下最多只有換一次的機會，因為信封已經(jīng)都打開了。那么，是不是在任何時候打開第一個信封之后，都應(yīng)該把第一個信封扔掉，要第二個信封呢？（起碼直覺上講這沒有道理）
如果前提條件是不管你打開的信封數(shù)額A是多少，另一個信封2A和0.5A的可能性相等，比如第一個打開一看是100萬元，另一個50萬元和200萬元可能性相等；第一個打開一看是0.001元，第二個是0.0005元和0.002元的可能性還是相等，扔掉第一個、換第二個毫無疑問一定是最佳的策略。
但是不管A的數(shù)額是多少，2A和0.5A的概率永遠(yuǎn)相等的情況是不存在的。這是因為如果這樣，意味著對于制作信封的人來說（不知道這個人是誰，就當(dāng)上帝吧），他在一對兒一對兒地做信封的時候要保證（0.5A,A）和（A，2A）出現(xiàn)的概率相等，同樣的，更小的信封（0.25A,0.5A），（0.125A,0.25A）……和更大的信封（2A，4A），（4A，8A）……所有的數(shù)額組合出現(xiàn)的概率都是d（d>0），但是數(shù)額可以無限大，也可以無限小，一共有無限多種組合，d乘以無限等于無限，但是作為一種概率分布，必須要保證所有概率加到一起等于1（不能是無限），否則概率分布沒有意義。所以，上帝無法造出來能讓2A和0.5A的概率永遠(yuǎn)相等的信封。
如果信封的數(shù)額組合并不是無限多，是有限的，悖論是不會出現(xiàn)的。假設(shè)只有（1元，2元），（2元，4元），（4元，8元），（8元，16元）這四種情況（上限就是16元）。那么如果采取每次都換的策略，假設(shè)你摸到的是1元，換了之后100%可以獲得2元，對自己有利。如果你摸到的是2元，1.25倍期望計算是成立的，換了也對自己有利；摸到的是4元和8元，同樣換了有利；可是一旦你摸到的是16元，如果還換，就會一下子損失8元，而且是百分之百的，因為信封里沒有32元的。盡管大多數(shù)時候換是有利的，可以賺一些小錢，但是一旦摸到最大的那個數(shù)額（但是自己不知道那是最大的），損失會很大，盈虧會抵消。如果游戲玩很多次，平均下來，換和不換的結(jié)果（也就是期望值）是一樣的，不存在悖論。事實上在數(shù)額有封頂?shù)那闆r下，比較好的策略是在摸到數(shù)額較小的信封時候盡量換，在摸到數(shù)額較大的信封的時候盡量不換。
到這里，這個悖論已經(jīng)基本被粉碎了，不過我們還可以繼續(xù)較真下去。
（3）但是死理性的人后來又提出這樣一種情況：我可以讓不同數(shù)額信封組合的概率分布加到一起等于1（當(dāng)然不是都相等的），同時還可以保證每次換的期望值大于A。
比如可以規(guī)定對于數(shù)額較小的那個信封是2^n的這種組合（即2^(n+1)、2^n）出現(xiàn)的概率為2^n/3^(n+1)，n=1，2，3……。這樣，（2元，4元）出現(xiàn)的概率將是4/27（n=2）,(4元,8元)出現(xiàn)的概率是8/81（n=3），以此類推。你如果抽到的是4元，換成另外一個的期望值將會是2元*(4/27)/( 4/27+8/81)+8元*(8/81)/( 4/27+8/81)=2元*(3/5)+8元*(2/5)=4.4>4。
如果把4換成其他數(shù)值，比如2或8或其他，結(jié)果是一樣的。按照這個概率分布公式，如果你摸到的信封是A,另一個是A/2的概率一定是2/5，是2A的概率一定是3/5，最后的期望值是11A/10>A,也就是說結(jié)論還是任意時候都要換，雙信封悖論又回來了。
這種情況下的漏洞是在哪里呢？兩個信封A和B，假設(shè)你拿到的是A，那么B的期望值是E(B)=11A/10;如果你拿到的是B，A的期望值是E(A)= 11B/10，這個相互矛盾的東西在一種情況下是不矛盾的：E(A)= E(B)=無限大。
事實也正是這樣的，2^n/3^(n+1)的這樣的概率分布也是有點病態(tài)的，雖然滿足相加等于1，但是會導(dǎo)致所有可能信封數(shù)額組合的平均期望值是無限大的，同樣不符合實際。
這個可以用另外一個賭徒的段子來解釋，有一個扔硬幣的賭博游戲，參加者每次可以押注一定數(shù)額，如果結(jié)果是正面，參加者可以得到雙倍的回報，如果結(jié)果是背面，參加者的押注將一去不復(fù)返。假設(shè)押注x,1/2*(2x-x)-1/2*x=0,這種游戲的期望值是0,輸贏各有一半的可能。一個賭徒說“我有一種只贏不輸?shù)谋貏俨呗?#xff0c;第一次我押1元，如果贏了就不玩了，輸了繼續(xù)押第二次，押注變?yōu)?元，如果贏了可以獲得4元，4-1-2=1，還是凈賺的；如果第二次還輸，第三次就會押注8元，按照這樣，如果輸了就繼續(xù)翻番的押注，贏了就不繼續(xù)玩了，這樣一直下去，總有贏的時候，只要贏一次，就可以收回之前的所有投入”。這種策略不可行的原因是賭徒手里的錢是有限的，押注以2倍的指數(shù)增大，增長速度很快，如果真的運氣不佳，連續(xù)很多次硬幣都是背面，賭徒就會傾家蕩產(chǎn)，綜合下來一算期望值，其實還是0。除非假設(shè)賭徒有無限多的錢，才能保證這樣的策略永遠(yuǎn)有效，但是，賭徒真要有無窮多的錢，無窮+無窮還等于無窮，贏多少錢對他都沒有意義了，還用去賭博賺錢嗎？
類似于賭博的例子，如果A本身的期望值就是無窮大的，就沒有意義再討論換成B之后期望值是多少，比A大還是比A小了，最初的Two Envelope Paradox即使在這種概率分布的假設(shè)下還是不成立的。
（4）除了Two-Envelope Problem本身，wikipedia上還介紹了一個與之有關(guān)的有趣定理。
如果游戲規(guī)則是這樣，制作信封的人每次給你兩個信封，分別裝有不同數(shù)量的錢X,Y，X和Y未必是二倍關(guān)系，但是X,Y的數(shù)值符合一定的概率分布，不過你完全不知道是哪種分布。你在游戲中的目標(biāo)是設(shè)法提高自己拿到錢比較多的信封的可能性。
在你打開第一個信封，看到錢的數(shù)量之后，可以決定留著這個信封，還是換成另外一個。在決定換和不換的時候，如果你使用這樣的辦法，用自己的電腦產(chǎn)生一個0到正無窮的隨機數(shù)，隨機數(shù)的概率分布可以用指數(shù)分布exp(-z)（exp(-z)在0到正無窮之間積分等于1）或者其他的一些分布，然后你用信封里的錢和隨機數(shù)z比較，如果小于z，就換另外一個信封，如果大于z就留著。這樣做看起來似乎沒什么作用，但事實卻出乎意料。
如果z的值比X和Y都要小，第一個信封一定會留著，對于提高拿到錢多信封的可能性沒有影響。如果z的值比X和Y都要大，第一個信封一定會被換掉，對于提高拿到錢多信封的可能性也沒有影響。但是如果z正好在X和Y之間，第一次打開信封又恰巧是數(shù)額比較小的那個，就可以被換成數(shù)額比較大的那個，如果第一次打開信封是數(shù)額比較大的那個，則沒有影響。綜合下來，如果什么也不做，每次拿到錢多的信封的可能性是1/2，但是用了一個隨機數(shù)z之后，可能性就大于1/2了?！矮@勝”概率=1/2 + P(Z falls between the two numbers)/2.
大家如果有興趣進(jìn)一步了解，可以看一下下面的資料：
1、http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
2、A CONCISE RESOLUTION TO THE TWO ENVELOPE PARADOX；ERIC BLISS
3、An Inside Look at the Two Envelopes Paradox；Ruma Falk，Raymond S. Nickerson
4、Opening Two Envelopes；Paul Syverson
5、Puzzles The Other Person's Envelope is Always Greener；Barry Nalebuff
6、The Two-envelope Paradox；JOHN BROOME
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