這一節討論實數領域的對稱矩陣（一般情況下，實對稱矩陣簡稱對稱矩陣）。Strang說：It is no exaggeration to say that these?are the most important matrices the world will ever see-in the theory of linear algebra?and also in the applications.

實對稱矩陣

特性：①實數特征值 ②正交特征向量

實對稱矩陣如此重要的原因來自于特征[值/向量]的特性（應該學會用特征值/向量的特殊性來看矩陣了），下面是Spectral Theorem：

• 對稱矩陣只有實數特征值
• 對稱矩陣特征向量可以是正交的（說“可以”是因為例如I，所有向量都是它的特征向量，我們可以從中選出一組正交的）?

一個比較：

• 一般矩陣 A=SΛS^-1?（在A能對角化的前提下）
• 對稱矩陣 A=QΛQ^-1=QΛQ^{T ?}(復習：Q的逆等于Q的轉置，因為QQ^T=I)（是否意味對稱矩陣都能對角化？）

對稱矩陣A=QΛQ^T這個分解的美妙之處，在于同時展示了特征值、特征向量、轉置（QΛQ^T轉置后不變）三者的關系于一身。

證明特征值為實數

首先將Ax=λx取共軛后再取轉置得到(1右)，將(1左)與(1右)構造出相同的等號左半部分，從而得到右半部分必須相同。

證明特征向量之間相互垂直

注意利用轉置這個特性。

分解為投影矩陣

記得最初的幾節課，矩陣乘法可以看做row pic, col pic， 行乘以列，還有就是列行分塊。這是第一次見到列行分塊。將A拆分成（6）之后，每一項都是投影矩陣，對稱矩陣A就是投影矩陣的組合。

其余內容

這部分內容真是太多了，將其余不是很重要的列在這里：

• 當A是對稱的時候，特征值只能為實數，當A不是對稱的時候，有可能引入復數特征值/向量（也可能剛好沒引入）。可以知道的是，引入的復數特征值/向量都共軛成對出現，因為，可知共軛λ和共軛x也是A的特征值/向量
• 將對稱矩陣A（前提）化成上三角矩陣后得到pivot，有多少pivot大于0就有多少A的特征值大于0
• 非對稱矩陣在特征值有重復的情況下，可能沒有n個獨立的特征向量；但是對稱矩陣即使在特征值重復的前提下，依然可以找到n個獨立的特征向量

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轉載于:https://www.cnblogs.com/ericxing/p/3662388.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习笔记（十一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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