Prufer數(shù)列 Prufer數(shù)列是無根樹的一種數(shù)列。在組合數(shù)學(xué)中，Prufer數(shù)列由有一個(gè)對(duì)于頂點(diǎn)標(biāo)過號(hào)的樹轉(zhuǎn)化來的數(shù)列，點(diǎn)數(shù)為n的樹轉(zhuǎn)化來的Prufer數(shù)列長(zhǎng)度為n-2。它可以通過簡(jiǎn)單的迭代方法計(jì)算出來。它由Heinz Prufer于1918年在證明cayley定理時(shí)首次提出。

目錄

1將樹轉(zhuǎn)化成Prufer數(shù)列的方法

2將Prufer數(shù)列轉(zhuǎn)化成樹的方法

將樹轉(zhuǎn)化成Prufer數(shù)列的方法

一種生成Prufer序列的方法是迭代刪點(diǎn)，直到原圖僅剩兩個(gè)點(diǎn)。對(duì)于一棵頂點(diǎn)已經(jīng)經(jīng)過編號(hào)的樹T，頂點(diǎn)的編號(hào)為{1,2,...,n}，在第i步時(shí)，移去所有葉子節(jié)點(diǎn)（度為1的頂點(diǎn)）中標(biāo)號(hào)最小的頂點(diǎn)和相連的邊，并把與它相鄰的點(diǎn)的編號(hào)加入Prufer序列中，重復(fù)以上步驟直到原圖僅剩2個(gè)頂點(diǎn)。 例子 Prufer數(shù)列 　　以上邊的樹為例子，首先在所有葉子節(jié)點(diǎn)中編號(hào)最小的點(diǎn)是2，和它相鄰的點(diǎn)的編號(hào)是3，將3加入序列并刪除編號(hào)為2的點(diǎn)。接下來刪除的點(diǎn)是4，5被加入序列，然后刪除5，1被加入序列，1被刪除，3被加入序列，此時(shí)原圖僅剩兩個(gè)點(diǎn)（即3和6），Prufer序列構(gòu)建完成，為{3,5,1,3}

2將Prufer數(shù)列轉(zhuǎn)化成樹的方法

設(shè){a1,a2,..an-2}為一棵有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的樹的Prufer序列，另建一個(gè)集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出現(xiàn)過的數(shù)，將該點(diǎn)與Prufer序列中首項(xiàng)連一條邊，并將該點(diǎn)和Prufer序列首項(xiàng)刪除，重復(fù)操作n-2次，將集合中剩余的兩個(gè)點(diǎn)之間連邊即可。 例子 仍為上面的樹，Prufer序列為{3,5,1,3}，開始時(shí)G={1,2,3,4,5,6}，未出現(xiàn)的編號(hào)最小的點(diǎn)是2，將2和3連邊，并刪去Prufer序列首項(xiàng)和G中的2。接下來連的邊為{4,5},{1,5},{1,3},此時(shí)集合G中僅剩3和6，在3和6之間連邊，原樹恢復(fù)。

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1. 一棵標(biāo)號(hào)樹的Pufer編碼規(guī)則如下：找到標(biāo)號(hào)最小的葉子節(jié)點(diǎn)，輸出與它相鄰的節(jié)點(diǎn)到prufer 序列, 將該葉子節(jié)點(diǎn)刪去，反復(fù)操作，直至剩余2個(gè)節(jié)點(diǎn)。

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2. 由Pufer編碼生成樹：任何一個(gè)prufer 序列可以唯一對(duì)應(yīng)到一棵有標(biāo)號(hào)的樹，首先標(biāo)記所有節(jié)點(diǎn)為未刪除 依次掃描prufer 序列中的數(shù)，比如當(dāng)前掃描到第k個(gè)數(shù)u，說明有一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)連到u，并在當(dāng)前操作中被刪除，找一個(gè)標(biāo)號(hào)最小的未被標(biāo)記為刪除的且在prufer 序列第k個(gè)位置后未出現(xiàn)過的節(jié)點(diǎn)v，在u,v間連邊并將v刪除，反復(fù)操作，最后剩兩個(gè)節(jié)點(diǎn)未被標(biāo)記為刪除，在它們之間連邊，這樣得到的一個(gè)圖含有n-1條邊則是一棵樹

3. 一棵樹N個(gè)結(jié)點(diǎn)，其Profer序列有N-2個(gè)位置，因此可以在這N-2個(gè)位置里面任何的填充1～N之間的數(shù)形成一個(gè)prufer序列，且一個(gè)prufer序列唯一的對(duì)應(yīng)一顆生成樹，于是完全圖的最小生成樹的數(shù)目為N^(N-2)

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推薦做題：pku2567，pku2568

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的树的Prufer 编码和最小生成树计数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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