文章目錄

• 一：基向量
• 二：線性組合
• 三：向量張成的空間
• 四：向量與點的關系
• 五：線性相關和線性無關

一：基向量

在$xy$直角坐標系中有一對非常特殊的向量

• $i$：指向$x$軸正方向的單位向量
• $j$：指向$y$軸正方向的單位向量

而$\left(\begin{array}{c}3\\ ?2\end{array}\right)$這個向量的$x$和$y$坐標可以看作一個標量，它是單向向量$i$正向拉長為原來的3倍，把單位向量$j$反向拉長為原來的2倍

從這個角度上理解這個向量實際上是兩個經過縮放的向量的和（注意這個概念非常重要）

這里我們把$i$和$j$稱為為$xy$坐標系的“基向量，合起來被稱為坐標系的基”

這意味著當你把向量的分量看作標量時，那么基向量實際就是這些標量要縮放的對象

另外還需要注意的一點是：每當我們用數字描述向量時，它都依賴于我們正在使用的基。因為上面我們的舉的例子是在一個非常特殊，非常普遍的情況，就是選擇$xy$坐標系的$x$軸和$y$軸所在處作為基向量，那要是任選兩個向量呢？當然也是可以的

而且在這種情況下，通過標量縮放，這兩個向量也可以表示二維平面內的任意向量

但是這種變換與之前我們描述的那個$i$和$j$的情況是完全不一樣的，還是那句話：每當我們用數字描述向量時，它都依賴于我們正在使用的基

二：線性組合

兩個數乘向量的和稱為這兩個向量的線性組合

如果固定其中一個變量，讓另外一個標量自由變換，那么所能表示的向量的終點會繪成一條直線

如果讓兩個標量都自由變換，那么會有以下幾種情況：

• 在大多數情況下，對于一切初始向量，你能到達平面中任何一個點，所有二維向量盡在你的掌握之中
  

• 有時也會出現兩個初始向量共線，那么所產生的新的向量的重點會被限制在一條過原點的直線上
  

• 還有，兩個向量可能都是零向量，那么就只能呆在原地了
  

三：向量張成的空間

這里就可以引入一個概念——向量張成的空間：它是一個集合，這個集合表示了所有可以由給定向量通過線性組合表示的向量

兩個向量張成的空間實際上是提出了一個問題：僅通過向量加法和向量數乘這兩種基礎的運算，你能獲得的所有向量的集合是什么？

所以在三維空間中，取兩個不同指向的向量，其張成的空間就是過某個原點的平面

如果將第三個向量讓其落在前面兩個向量張成的空間中，那么它們張成的空間將不會發生變化，或者通俗點說，這個向量就會被困在這個空間

四：向量與點的關系

一直到這里，我們對于向量的直觀感受就是一個箭頭，但其實點也是向量的一種表現形式

如果我們把所有二維向量鋪滿整個平面（用箭頭），你會覺得異常擁擠

所以為了解決這個問題，讓向量起點從原點開始，只保留每個向量的終點，這樣的話箭頭就退化成了點
這樣的話當你在考慮落在一條直線上的所有向量時，只考慮直線本身即可

同樣，你在考慮二維向量時，就不必關注箭頭了，只需考慮點即可

注意我們在考慮單個向量時，最好還是用箭頭

五：線性相關和線性無關

根據前面所述，在一組向量中，有個別向量是“多余的”，去掉它們，向量張成的空間不會減少，那么我們就稱它們是線性相關的

反之，如果所有向量都給張成的空間增添了新的維度，那么我們就稱它們是線性無關的

因此，向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集合

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数本质】2：线性组合和线性相关和线性无关以及张成的空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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