正文

hht主要講了Burnside引理的不完全證明和用Burnside引理推出Pólya定理
下面主要圍繞這兩方面來討論

Burnside引理的不完全證明

有一個前置結論hht沒有證明，說是需要引入很多無關的概念：

|Zk|?|Ek|=|G|

其中|Ek|表示一個等價類的大小，|Zk|表示作用在這個等價類上使等價類不變的置換的數量
這個引理的證明似乎要用到群里邊的軌道？我們可以參見這里：https://en.wikipedia.org/wiki/Group_action#Orbits_and_stabilizers
以下的內容建立在我們認為這個引理是正確的基礎上

我們先來看一看Burnside引理的形式：N=1|G|∑g∈Gχ(g)
那么我們只需要證明：N?|G|=∑g∈Gχ(g)
對于∑g∈Gχ(g)，我們實際上是先枚舉置換，再枚舉染色情況，再看是不是一個不動點
我們考慮換一個枚舉順序，我們枚舉所有的染色情況，然后看有多少置換可以使這個染色情況成為不動點
那么這不就是|Zk|?|Ek|嗎？于是N?|G|=∑|Zk|?|Ek|=N?G，得證

使用Burnside引理推導Pólya定理

我們還是考慮枚舉置換

如果一個置換可以使一種染色情況成為不動點
那么這個置換的每一個循環節只能被染成同一種顏色
所以每一種置換g我們有km(g)種染色方案（k為可用的顏色數，m(g)為置換g的循環節）
于是我們就不用枚舉所有的染色情況了，可以直接用km(g)計算

于是Pólya定理的公式就變成了N=1|G|∑g∈Gkm(f)
這個證明過程也非常直觀地給出了Pólya定理不能解決帶有顏色限制的染色問題的原因

來自ZYQN博客

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Burnside引理与Pólya定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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