1. 定義

設 (Ω,F,P) 是一個概率空間，對每個 t∈T（時間集），Xt(w) 是定義在其上取值于 (S,B) 上的隨機變量（每一個不同的 t，對應一個不同的隨機變量，隨機過程是隨機變量關于時間的函數），則稱 {Xt;t∈T}為 T 上的一個隨機過程。

• t 是時間，可以連續，也可為離散；
• X 為狀態，可以連續，也可為離散；
• 擲硬幣（離散狀態），電壓值的變化（連續狀態）

一般我們在理解時，成 Xt 是過程在時刻 t 的狀態，Xt 的取值范圍 S 為狀態空間，它不一定為實數空間，根據 T 和 S 的類型不同，又可將隨機過程分為不同的類型。

時間集的不同類型：

• [0,∞)：從當前時刻向前延伸；
• (?∞,∞)：既可以向前，也可以向后；
• (a,b)：某一個時間段（當然也可以是閉集合）
• {0,1,…,n}：離散時間（有限或者無限）

2. 多維隨機變量與隨機過程

• 多維隨機變量 (ξ1(w),ξ2(w),…,ξn(w))，其聯合分布函數為：

  F(x1,x2,…,xn)=P(ξ1(w)≤x1,ξ2(w)≤x2,…,ξn(w)≤xn)

  不同的隨機變量的聯合；

• 隨機過程，{Xt;t∈T}，不再是分布函數，而是聯合分布族（這里族對應的英文概念為 family，之所以稱其為族，在于 n 可以變化，n≥1）：

  F(t1,t2,…,tn,x1,x2,…,xn)=P(Xt1(w)<x1,…,Xtn(w)<xn)

  同一隨機過程在不同時刻得到不同的隨機變量；

3. 聯合分布族的性質

• 對稱性： 對 (1,2,…,n) 的任一排列 (j1,j2,…,jn) 有：

  F(tj1,tj2,…,tjn;xj1,xj2,…,xjn)=F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)
  在 n 個時間點上所取得的 n 個隨機變量構成的聯合分布（事件的相對順序對概率沒有影響，A\cap B = B \cap AA∩B=B∩A）

• 相容性：對任意 1\leq m\lt n1≤m<n 和 X_1, \ldots, X_n\in RX1,…,Xn∈R 有：

  F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m, \infty, \infty)=F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m)

  F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm,∞,∞)=F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm)
  也即是 nn 維退化為 mm 維聯合分布；
  證明方法還是根據定義，F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m)=P(X_1\lt x_1, X_2\lt x_2, \ldots, X_n \lt \infty)F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<∞)

4. 隨機過程的分類

• 獨立增量過程：對任意的 t0<t1<?<tn,ti∈T,i=1,2,…,n，如果 Xt1?Xt0,?,Xtn?Xtn?1 是獨立增量。
  
  • 平穩獨立增量過程（平穩就是某種意義上的不變），時間差一定 ?
• 平穩過程：
  
  • 強平穩過程：(Xt1+h,Xt2+h,…,Xtn+h) 都是同分布的，也即不隨時間單位的平移而改變，也與平移任何的時間單位無關，聯合分布都是同分布的；
  • 弱平穩過程：二階矩過程，任意時間 EX2t<∞，且 C(s,t)=EXsXt?EXsEXt僅依賴于 |t?s| （兩個隨機變量的協方差）（既然具有平穩性，就要求某個性質不變）；
• 更新過程：是在計數過程（點過程）概念的基礎上定義的，也即需對計數過程強加一些新的限制，事件間的時間間隔（t2?t1,t3?t2,…,tn?tn?1）獨立同分布；

轉載于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9423420.html

總結

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