導(dǎo)讀：本文內(nèi)容主要源自德語(yǔ)大學(xué)中發(fā)起的科普活動(dòng)，初衷是讓高中生領(lǐng)會(huì)算法和計(jì)算機(jī)科學(xué)的奇妙與魅力。閱讀本文不需要任何關(guān)于算法和計(jì)算的預(yù)備知識(shí)。我們希望不僅學(xué)生，而且包括希望了解迷人的算法世界的成年人都能從本書(shū)中得到啟發(fā)與樂(lè)趣。

作者：Thomas Seidl,?Jost Enderle,?Wolfgang P. Kowalk,?Berthold V?cking

本文摘編自《無(wú)處不在的算法》，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系我們

00 算法的應(yīng)用

最近幾十年來(lái)許多技術(shù)創(chuàng)新和成果都依賴(lài)于算法思想，這些成果廣泛應(yīng)用于科學(xué)、醫(yī)藥、生產(chǎn)、物流、交通、通信、娛樂(lè)等領(lǐng)域。高效的算法使得你的個(gè)人電腦得以運(yùn)行新一代的游戲，這些復(fù)雜的游戲在幾年前可能都難以想象。

更重要的是這些算法為一些重大科學(xué)突破提供了基礎(chǔ)。例如，人類(lèi)基因組圖譜解碼得以實(shí)現(xiàn)與新算法的發(fā)明是分不開(kāi)的，這些算法能將計(jì)算速度提高幾個(gè)數(shù)量級(jí)。

算法告訴計(jì)算機(jī)如何處理信息，如何執(zhí)行任務(wù)。算法組織數(shù)據(jù)，使得我們能有效地搜索。如果沒(méi)有聰明的算法，我們一定會(huì)迷失在互聯(lián)網(wǎng)這個(gè)巨大的數(shù)據(jù)叢林中。

同樣，如果沒(méi)有天才的編碼和加密算法，我們也不可能在網(wǎng)絡(luò)上安全地通信。天氣預(yù)報(bào)與氣候變化分析也依靠高效模擬算法。

工廠生產(chǎn)線(xiàn)和物流系統(tǒng)有大量復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，只有奇巧的算法能幫助我們解決。甚至當(dāng)你利用GPS尋找附近的餐廳或咖啡館時(shí)，也要靠有效的最短路計(jì)算才能獲得滿(mǎn)意的結(jié)果。

并非像很多人認(rèn)為的，只有計(jì)算機(jī)中才需要算法。在工業(yè)機(jī)器人、汽車(chē)、飛機(jī)以及幾乎所有家用電器中都包含許多微處理器，它們也都依賴(lài)算法才能發(fā)揮作用。例如，你的音樂(lè)播放器中使用聰明的壓縮算法，否則小小的播放器會(huì)因?yàn)榇鎯?chǔ)量不足而無(wú)法使用。

現(xiàn)在的汽車(chē)和飛機(jī)中有成百上千的微處理器，算法能幫助控制引擎，減少能耗，降低污染。它們還能控制制動(dòng)器和方向盤(pán)，提高穩(wěn)定性與安全性。不久的將來(lái)，微處理器可能完全替代人，實(shí)現(xiàn)汽車(chē)的全自動(dòng)駕駛。目前的飛機(jī)已經(jīng)能做到在從起飛到降落的全過(guò)程中無(wú)須人工干預(yù)。

算法領(lǐng)域最大的進(jìn)步都來(lái)自美好的思想，它指引我們更有效地解決計(jì)算問(wèn)題。我們面對(duì)的問(wèn)題絕不局限于狹義的算術(shù)計(jì)算，還有很多表面上不是那么“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題。例如：

• 如何走出迷宮？

• 如何分割一張藏寶圖讓不同的人分別保存，但只有重新拼合才可能找到寶藏？

• 如何規(guī)劃路徑，用最小成本訪(fǎng)問(wèn)多個(gè)地方？

這些問(wèn)題極具挑戰(zhàn)，需要邏輯推理、幾何與組合想象力，還需要?jiǎng)?chuàng)造力才能解決。這些就是設(shè)計(jì)算法所需要的主要能力。

01 二分搜索

我新買(mǎi)的Nelly的唱片哪兒去啦？我那專(zhuān)橫的妹妹Linda有整潔癖，肯定是她將唱片又插進(jìn)唱片架上了。我告訴她新買(mǎi)的唱片別插上去。這下我得在架子上的500張唱片中一張一張地找了，這該找到什么時(shí)候啊！

不過(guò)，走運(yùn)的話(huà)也可能并不需要查看所有唱片就碰到了。但最壞的情況是Linda又把唱片借給朋友了，那得查完所有唱片才知道不在這里了，然后只好去聽(tīng)廣播啦。

找找看吧！Aaliyah，AC/DC，Alicia Keys……嗯，Linda好像按字母順序給唱片排過(guò)序了。這樣的話(huà)我找Nelly的唱片就容易多了。

我先在中間試試。Kelly Family，這太偏左了，必須往右邊找。Rachmaninov，這又太偏右了，再往左一點(diǎn)兒……Lionel Hampton，右了點(diǎn)兒，但不遠(yuǎn)了。Nancy Sinatra……Nelly，找到啦！

這倒很快！因?yàn)槌呀?jīng)排了序，我只要來(lái)回跳幾次就找到目標(biāo)了！即使我要的唱片不在架子上，我也能很快發(fā)現(xiàn)。不過(guò)如果唱片很多，比如說(shuō)10 000張，那可能得來(lái)回跳上幾百次吧。我很想知道如何計(jì)算次數(shù)。圖1-1給出了不同搜索方法的示意。

▲圖1-1 順序搜索與二分搜索圖示

1. 順序搜索

Linda從去年開(kāi)始學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)；她應(yīng)該有些書(shū)能告訴我答案。我看看，“搜索算法”可能有用。這里說(shuō)了如何在一個(gè)給定集合（這里是唱片）中按照關(guān)鍵字（這里用藝術(shù)家的名字）找一個(gè)對(duì)象。我剛才的做法應(yīng)該是“順序搜索”，又叫“線(xiàn)性搜索”。

就像我想的一樣，為了找一個(gè)關(guān)鍵字，平均得檢查一半的唱片。搜索的步數(shù)和唱片數(shù)成正比，換句話(huà)說(shuō)，唱片數(shù)增加一倍，搜索時(shí)間也就增加一倍。

2. 二分搜索

我用的第二種技術(shù)好像有個(gè)特別的名字，叫“二分搜索”。給定要找的關(guān)鍵字以及排好次序的對(duì)象列表，搜索從中間那個(gè)對(duì)象開(kāi)始，和關(guān)鍵字進(jìn)行比較。如何中間那個(gè)對(duì)象就是要找的，搜索就結(jié)束了。

否則，按照要找的關(guān)鍵字是小于還是大于當(dāng)前檢查的對(duì)象決定該向左還是該向右繼續(xù)搜索。接下來(lái)就是重復(fù)上面的過(guò)程。

如果找到了搜尋的對(duì)象，或者當(dāng)前可能搜索的區(qū)間已經(jīng)不能再切分了（也就是說(shuō)如果表中有要找的對(duì)象，當(dāng)前位置就該是目標(biāo)應(yīng)該在的位置），搜索就終止。我妹妹的書(shū)中有相應(yīng)的程序代碼。

在這段代碼中，A表示一個(gè)“數(shù)組”，也就是由帶編號(hào)的對(duì)象（我們稱(chēng)其為數(shù)組的元素）構(gòu)成的數(shù)據(jù)列表，編號(hào)就像唱片在架子上的位置。例如，數(shù)組中第5個(gè)元素寫(xiě)為A[5]。

如果我們的架子上放了500張唱片，我們要找的關(guān)鍵字是"Nelly"，那就得調(diào)用BINARYSEARCH(rack, "Nelly", 1, 500)搜索要找的唱片所在位置。程序執(zhí)行時(shí)，開(kāi)始的left值為251，right值為375，以此類(lèi)推。

3. 遞歸實(shí)現(xiàn)

在Linda的書(shū)中還有另外一個(gè)二分搜索算法。同樣的功能為什么需要不同算法呢？書(shū)上說(shuō)第二種算法采用“遞歸方法”，那又是什么呢？

我再仔細(xì)看看……“遞歸函數(shù)是一種利用自身來(lái)定義或者調(diào)用自己的函數(shù)。”求和函數(shù)sum就是個(gè)例子。函數(shù)sum的定義如下：

sum (n) = 1 + 2 + … + n

也就是前n個(gè)自然數(shù)相加，所以，當(dāng)n = 4，可得：

sum (4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

如果我們想計(jì)算對(duì)于某個(gè)n的sum函數(shù)值，而且已經(jīng)知道對(duì)于n-1的函數(shù)值，那只要再加上n就可以了：

sum (n) = sum (n-1) + n

這樣的定義式就稱(chēng)為“遞歸步”。當(dāng)要計(jì)算對(duì)于某個(gè)n的sum函數(shù)值時(shí)，我們還需要一個(gè)最小的n對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，這稱(chēng)為奠基：

sum (1) = 1

按照遞歸定義，我們現(xiàn)在計(jì)算sum函數(shù)值的過(guò)程如下：

sum (4) = sum (3) + 4

= (sum (2) + 3) + 4

= ((sum (1) + 2) + 3) + 4

= ((1 + 2) + 3) + 4

= 10

二分搜索的遞歸定義是一樣的：函數(shù)在函數(shù)體中調(diào)用自己，而不是反復(fù)執(zhí)行一組操作（那稱(chēng)為循環(huán)實(shí)現(xiàn)）。

和前面一樣，A是要搜索的數(shù)組，key是要找的關(guān)鍵字，left和right分別是搜索區(qū)域的左右邊界。如果我們要在包含500個(gè)元素的數(shù)組rack中找Nelly，我們采用類(lèi)似的函數(shù)調(diào)用BINSEARCHRECURSIVE(rack,"Nelly",1,500)。但這里不再通過(guò)程序循環(huán)使得搜索區(qū)域左右邊界逐步靠近，而是直接修改邊界值執(zhí)行遞歸調(diào)用。實(shí)際執(zhí)行的遞歸調(diào)用序列如下：

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 1, 500)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 251, 500)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 251, 374)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 313, 374)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 344, 374)

...

4. 搜索的步數(shù)

至此，我們?nèi)匀徊恢酪业剿璧膶?duì)象究竟該執(zhí)行多少搜索步。如果運(yùn)氣好，一步就能找到。反之，如果要找的對(duì)象不存在，我們必須來(lái)回跳動(dòng)直至對(duì)象應(yīng)該處于的位置。

這樣就需要考慮究竟數(shù)組能夠被切為兩半多少次，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)，當(dāng)執(zhí)行了一定數(shù)量的比較操作后，究竟多少元素可以被確定是或者不是目標(biāo)對(duì)象。

假設(shè)要找的對(duì)象確實(shí)在表中，一次比較可以確定2個(gè)元素，兩次比較可以確定4個(gè)元素，三次比較就能確定8個(gè)元素。因此執(zhí)行k次比較操作能夠確定2·2·…·2（k次）= 2^k個(gè)元素。由此可知10次比較可以確定1024個(gè)元素，20次比較能確定的元素超過(guò)100萬(wàn)個(gè)，而30次比較能確定的元素多達(dá)10億個(gè)以上。

如果目標(biāo)對(duì)象不在數(shù)組中，則需要多比較一次。為了能根據(jù)元素個(gè)數(shù)確定比較次數(shù)，我們需要逆運(yùn)算，也就是2的乘冪的反函數(shù)，即“以2為底的對(duì)數(shù)”，記作log₂。一般地說(shuō)：

假設(shè)a = b^x，則x = log_ba

對(duì)于以2為底的對(duì)數(shù)，b = 2：

2⁰ = 1, log₂ 1 = 0

2¹ = 2, log₂ 2 = 1

2² = 4, log₂ 4 = 2

2³ = 8, log₂ 8 = 3

.

.

. .

.

.

2¹⁰ = 1 024, log₂ 1 024 = 10

.

.

. .

.

.

2¹³ = 8 192, log₂ 8 192 = 13

2¹⁴ = 16 384, log₂ 16 384 = 14

.

.

. .

.

.

2²⁰ = 1 048 576, log₂ 1 048 576 = 20

因此，若k次比較操作能確定N（= 2^k）個(gè)元素，那么對(duì)于含N個(gè)元素的數(shù)組，二分搜索需要執(zhí)行l(wèi)og₂ N = k次比較操作。如果我們的架子上放了10 000張唱片，我們需要比較log₂ 10 000≈13.29次。因?yàn)椴豢赡鼙容^“半次”，需要的次數(shù)為14。

要想進(jìn)一步減少二分搜索需要的步數(shù)，可以在搜索過(guò)程中不是簡(jiǎn)單地選擇中間元素進(jìn)行比較，而是嘗試在搜索區(qū)域內(nèi)更準(zhǔn)確地“猜測(cè)”可能的位置。

假設(shè)在已排序的唱片中搜索的對(duì)象名按字母順序更靠近區(qū)域開(kāi)始處，例如找Eminem，顯然選擇前部的某個(gè)位置進(jìn)行比較更好些。反之，要找“Roy Black”，從靠后的地方開(kāi)始更合理。

若要更好地改進(jìn)，就得考慮每個(gè)字母可能出現(xiàn)的頻率，例如首字母是D或S的藝術(shù)家通常比首字母是X或Y的更常見(jiàn)。

5. 猜數(shù)游戲

今晚我要考考Linda，讓她猜1到1000之間的某個(gè)數(shù)。只要上課沒(méi)睡覺(jué)，她就應(yīng)該能最多通過(guò)10個(gè)“是/否”的問(wèn)題得到結(jié)果。（圖1-2顯示如何只問(wèn)4個(gè)問(wèn)題就猜出1到16之間的某個(gè)數(shù)。）

為了避免反復(fù)問(wèn)那些“是小于某個(gè)數(shù)嗎？”或者“是大于某個(gè)數(shù)嗎？”那樣乏味的問(wèn)題，我們可以選擇問(wèn)“是奇數(shù)嗎？”或“是偶數(shù)嗎？”。因?yàn)橐粋€(gè)回答就可以讓我們排除一半的可能性。

類(lèi)似的問(wèn)題包括“十（百）位數(shù)是奇（偶）數(shù)嗎？”，像這樣的問(wèn)題同樣可以使搜索空間（大致）縮小一半。不過(guò)要確認(rèn)考慮了所有可能的數(shù)，我們還得回到通常采用的減半方法（那些已經(jīng)被排除的數(shù)實(shí)際上已考慮在內(nèi)）。

如果采用二進(jìn)制表示數(shù)，這個(gè)過(guò)程甚至?xí)?jiǎn)單。十進(jìn)制系統(tǒng)是用“10的乘冪的和”的形式表示數(shù)，例如：

107 = 1·10² + 0·10¹ + 7·10⁰

= 1·100 + 0·10 + 7·1

▲圖1-2 在1～16范圍內(nèi)猜出某個(gè)數(shù)的圖示

而在二進(jìn)制系統(tǒng)中數(shù)是用“2的乘冪的和”的形式表示的：

107 = 1·2⁶ + 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

= 1·64 + 1·32 + 0·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1

因此107的二進(jìn)制表示為1101011。要猜出一個(gè)二進(jìn)制表示的數(shù)只要知道它最多多少位就足夠了。位數(shù)用以2為底的對(duì)數(shù)很容易計(jì)算。如果猜一個(gè)1到1000之間的數(shù)，可以計(jì)算如下：

log₂ 1000≈9.97（向上取整）

也就是說(shuō)共有10位。因此問(wèn)10個(gè)問(wèn)題足夠了：“第1位數(shù)是1嗎？”“第2位數(shù)是1嗎？”“第3位數(shù)是1嗎？”等等。最后所有位都知道了還必須轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，用一個(gè)掌上的計(jì)算器就能解決了。

02 插入排序

我們要把書(shū)架上所有的書(shū)按照書(shū)名排序，這樣需要哪本書(shū)時(shí)很快就能找到。

如何快速地實(shí)現(xiàn)排序呢？我們可以有幾種不同的想法。例如我們可以依次查看每本書(shū)，一旦發(fā)現(xiàn)兩本緊挨著的書(shū)的次序不對(duì)就交換一下位置。這種想法能行，因?yàn)樽罱K任何兩本書(shū)的先后都不會(huì)錯(cuò)，但這平均要花費(fèi)太長(zhǎng)的時(shí)間。

另一種想法是先找出書(shū)名最“小”的那本書(shū)放在第一個(gè)位置，然后在剩下的書(shū)中再找出最“小”的放在緊挨著的后面位置，以此類(lèi)推直到所有書(shū)都放在了正確的地方。這種想法也能行；但是由于大量有用的線(xiàn)索沒(méi)有利用，多花費(fèi)了許多時(shí)間。下面我們?cè)囋嚻渌南敕ā?/span>

下面的想法似乎比上面討論的更加自然。第一本書(shū)自然是排好的。接下來(lái)我們拿第一本書(shū)的書(shū)名與第二本書(shū)的書(shū)名做比較，如果次序不對(duì)就交換兩本書(shū)的位置。然后我們看下一本書(shū)在前面已經(jīng)排好序的部分中應(yīng)該放在什么位置。

這可以反復(fù)進(jìn)行直到為所有的書(shū)安排了正確的位置。因?yàn)榍懊娴臅?shū)排序時(shí)提供的信息可供后面使用，這個(gè)方法應(yīng)該效率高一些。

現(xiàn)在把這個(gè)算法再細(xì)細(xì)看一下。第一本書(shū)單獨(dú)考慮可以看作排好了序。我們假設(shè)當(dāng)前考慮的書(shū)是第i本書(shū)，而它左邊所有的書(shū)都已排好序了。要將第i本書(shū)加入序列中，我們首先查找它正確的位置，隨后將書(shū)插入即可；為此要將在正確位置右邊的所有書(shū)向右移動(dòng)一個(gè)位置。

接下來(lái)對(duì)第i + 1本書(shū)重復(fù)以上過(guò)程，以此類(lèi)推直到所有的書(shū)放到了正確位置。這個(gè)方法能快速產(chǎn)生正確結(jié)果，特別是如果我們采用第1章介紹的二分搜索尋找正確插入位置則效果更明顯。

我們現(xiàn)在來(lái)看看對(duì)任意數(shù)量的書(shū)，這個(gè)直觀的方法如何實(shí)現(xiàn)。為了描述起來(lái)簡(jiǎn)單一些，我們用數(shù)字代替書(shū)名。

圖2-1中左邊的5本書(shū)（1，6，7，9，11）已經(jīng)排好序，而書(shū)名為5的書(shū)位置不正確。為了將5放入正確位置，首先與11交換位置，再與9交換位置，以此類(lèi)推直到5到達(dá)正確位置。然后我們?cè)偬幚頃?shū)名為3的書(shū)，同樣通過(guò)與左側(cè)的書(shū)交換來(lái)到達(dá)正確位置。顯然最終所有的書(shū)都會(huì)放到正確的地方（見(jiàn)圖2-2）。

▲圖2-1 前5本書(shū)已排好序

▲圖2-2 書(shū)名為“5”的書(shū)移動(dòng)到正確位置

以下是算法的代碼。這里使用數(shù)組A，其元素標(biāo)號(hào)為1，2，3，…。A[i]表示數(shù)組中第i個(gè)元素的值。給n本書(shū)排序使用長(zhǎng)度為n的數(shù)組，元素A[1]，A[2]，A[3]，…，A[n-1]，A[n]存放所有的書(shū)名。

現(xiàn)在考慮算法執(zhí)行花費(fèi)的時(shí)間。我們考慮最壞的情況，所有書(shū)放置的位置正好與期望的次序相反，即書(shū)名最小的在最后的位置上，而書(shū)名最大的卻在最前面的位置上。

我們的算法讓第1本書(shū)與第2本書(shū)交換位置，第3本書(shū)要和前兩本書(shū)中每一本交換位置，第4本書(shū)則要和前面3本書(shū)中每一本交換位置，以此類(lèi)推，最后的一本書(shū)得和前面n-1本書(shū)中的每一本交換位置。交換的總次數(shù)是：

1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2

利用圖2-3很容易推導(dǎo)出上述公式。整個(gè)矩形中含n·（n-1）個(gè)單元格，其中一半用于比較與交換。圖中顯示的是絕對(duì)的最壞情況。考慮平均情況，我們可以假設(shè)只需要一半的比較與交換。

如果開(kāi)始時(shí)書(shū)就幾乎是排好序的，需要的工作量會(huì)少很多；最好的情況是開(kāi)始時(shí)所有的書(shū)都在正確的位置上，那只需要進(jìn)行n-1次比較即可。

▲圖2-3 計(jì)算交換次數(shù)

你也許會(huì)看出算法還可以更簡(jiǎn)潔些。不用交換相鄰的兩本書(shū)，而是將多本書(shū)向右移動(dòng)，使得需要的插入位置空出來(lái)。如果2-4所示。

原來(lái)的k次兩兩置換操作，現(xiàn)在可以用k + 1次移動(dòng)一本書(shū)的操作替代。算法修改如下：

▲圖2-4 計(jì)算交換次數(shù)

盡管在串行的計(jì)算機(jī)上此算法排序效率不高，但它的實(shí)現(xiàn)非常簡(jiǎn)單，所以當(dāng)需要排序的對(duì)象數(shù)量不太大，或者可以假設(shè)多數(shù)對(duì)象次序不錯(cuò)的情況下還是會(huì)經(jīng)常使用插入排序算法。要對(duì)大量對(duì)象進(jìn)行排序就會(huì)使用其他算法，如mergeSort和quickSort。那些算法理解起來(lái)會(huì)難一些，實(shí)現(xiàn)也更復(fù)雜。

關(guān)于作者：本書(shū)共有66位作者，主要來(lái)自德國(guó)、瑞士。由貝特霍爾德·弗金（Berthold V?cking）、赫爾穆特·阿爾特（Helmut Alt）、馬丁·迪茨費(fèi)爾賓格（Martin Dietzfelbinger）、呂迪格·賴(lài)舒科（Rüdiger Reischuk）、克里斯蒂安·沙伊德勒（Christian Scheideler）、黑里貝特·沃爾默（Heribert Vollmer）、多蘿西婭·瓦格納（Dorothea Wagner）領(lǐng)銜編著。

本文摘編自《無(wú)處不在的算法》，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。

延伸閱讀《無(wú)處不在的算法》

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推薦語(yǔ)：杰出計(jì)算機(jī)教育家南京大學(xué)陳道蓄教授翻譯并推薦，啟蒙學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)興趣、提升計(jì)算思維素養(yǎng)的入門(mén)讀本。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的写给中学生的算法入门：学代码之前看这篇就够了的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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