線性代數導論 - #10 線性相關性、向量空間的基和維數

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這節課中，我們先講了前面的課程中一直提及的線性相關性的具體定義，并以此為基礎建立了向量空間的“基”和“維數”的定義，最后歸納為一種已知若干向量求其生成的空間的基和維數的系統方法。

首先是線性相關性的定義。

已知一個由n個向量構成的向量組【V₁，V₂，…，V_n】,如果存在n個系數【C_1，C_2，…_，C_n】,使得各C_iV_i（i=1,2,3,…,n）的和為0，則稱這組向量線性相關。反之，如不存在，則稱其線性無關。

當然，這里要排除C_i均為0的情況。

對于這個定義，有兩點注意之處：

1.線性相關性是整組向量的性質，不是某一個或幾個向量與另一個向量之間的性質（以此表述為準，#1~#9中的表述可能有誤）；

2.系數中可以出現0。

誠然，線性相關的向量組內，存在一個向量能表示為其它若干向量的線性組合的情況，但是這并不意味著該情況是普遍情況。事實上，只有系數非0的向量，才可以通過移項，被表示為其它所有向量的線性組合。如果把線性相關表述為注意1中的“狹隘”形式，很可能帶有一種先入為主的觀念，干擾后續對于找向量組內的“基”（即剔除一些向量使得余下的向量線性無關）的正確認識。

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線性相關性的定義可以用矩陣語言表述為：

對于一個由n個向量構成的向量組，將每個向量均視為列向量后構成的m*n矩陣A的零空間中，若含有非零向量，則線性相關，反之線性無關。

零空間生成的基礎是Ax=0，系數的組合所構成的向量生成零空間。矩陣語言下的說法實質上也就是判定Ax=0是否存在非零解。

運用矩陣的一些性質，我們可以把線性相關性進一步抽象為：

若r<n，則線性相關；若r=n，則線性無關。

根據#9中的知識，自由變量/自由列的個數為n-r，如果存在自由變量，我們可以通過將其置為非零值獲得非零解。而一個列向量之所以能在消元的過程中變為自由列，就是因為該列向量可以表示為主元列的線性組合。

運用這些結論，請思考：為什么由三（n+1）個及以上二（n）元向量組成的向量組一定線性相關呢？

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其次是基和維數的定義。

對于一個給定的向量空間（下簡稱為空間），如果存在一組向量同時滿足：

1.線性無關；

2.能夠生成整個空間。

那么稱這組向量為該空間的基。

顯然，根據空間生成的方式，空間的基是不唯一的。但是它們都具有一個共同點：所包含向量的個數相同。我們將這個固定的個數稱為該空間的維數。

一個空間的基包含該空間全部的信息，可以通過各基向量乘上常系數C（比如零空間的表示方法）的形式表示空間。

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基和維數的定義建立在“空間已給定”的基礎上。所謂的“給定”，顯然就是給出了該空間的基，其所包含的向量個數不多也不少，恰好等于維數。

如果已知若干向量，求其生成的空間的基和維數，該怎么辦？

根據條件，這些向量是足以生成對應的空間的。但是它們可以直接作為該空間的基嗎？不一定，因為它們不一定線性無關。

所以我們要通過以下的方法剔除出那些對于生成空間“沒有貢獻”的向量，以達到余下的向量線性無關的效果：

1.將這些向量視為列向量寫成矩陣的形式；

2.利用消元法確定主元列和自由列；

3.主元列所對應的原來的列向量（不是主元列，行變換過程中列空間發生了改變）即為原列空間的一組基。

根據這個方法，我們可以得到以下這些量之間神奇的等量關系：

矩陣A的r=A中主元/主元列的個數=列空間的維數，也即 dim C(A) = rank(A)。

回想我們在#8中求零空間的基的方法，請思考：對于一個m*n，秩為r的矩陣A，其零空間N(A)的維數是？

轉載于:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8438754.html

總結

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