【概述】

樹形動態(tài)規(guī)劃是在樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的動態(tài)規(guī)劃，在各個階段呈現(xiàn)樹狀關(guān)系的時候可以采用樹形 DP，其基本思想是由子節(jié)點(diǎn)的信息推出父節(jié)點(diǎn)的信息。

樹形 DP 中，是通過以下 4 點(diǎn)樹的特點(diǎn)來進(jìn)行建圖的

?n 個點(diǎn)，n-1 條邊的無向圖，任意兩頂點(diǎn)間可達(dá)

無向圖中任意兩個點(diǎn)間有且只有一條路

一個點(diǎn)至多有一個前趨，但可以有多個后繼

無向圖中沒有環(huán)

【計(jì)算順序】

計(jì)算順序與線性動態(tài)規(guī)劃的順推、逆推相似，同樣有兩個方向：?

葉 => 根：在回溯時，從葉節(jié)點(diǎn)向上轉(zhuǎn)移狀態(tài)

根 => 葉：在葉向根 DFS 一遍后（預(yù)處理），再重新向下獲取答案

【表示方法】

樹形 DP 還涉及到建圖的問題，如果題目能很清晰的輸入一個樹，一般使用?vector<int> s[N]，用 s[i] 來保存節(jié)點(diǎn) i 的所有兒子。

當(dāng)樹是一般樹且涉及到權(quán)值時，一般采用鏈?zhǔn)酱鎯Ψ?#xff0c;即用結(jié)構(gòu)體數(shù)組 edge 存邊，edge[i] 表示第 i 條邊，head[i] 存以 i 為起點(diǎn)的第一條邊（在edge中的下標(biāo)）

struct Node{int next; //下一條邊的存儲下標(biāo)int to; //這條邊的終點(diǎn)int w; //權(quán)值 }edge[N*2]; //由于是無向圖，因此要開2倍

常用的建圖方法如下

for(int i=1;i<=n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addEdge(x,i);w[i]=y; }

若以點(diǎn) i 為起點(diǎn)的邊新增了一條，則在 edge 中的下標(biāo)為 j，那么 edge[j].next=head[i]，然后head[i]=j，即每次新加的邊作為第一條邊，最后倒序遍歷即可。

int cnt;//邊的計(jì)數(shù) void Add(int x,int y,int w) { //起點(diǎn)x, 終點(diǎn)y, 權(quán)值wedge[cnt].x=x;edge[cnt].w=w;edge[cnt].next=head[x];head[y]=cnt++; }

遍歷以 x 為起點(diǎn)的邊時，以 i 開始為第一條邊，每次指向下一條(以-1為結(jié)束標(biāo)志)

memset(head,-1,sizeof(head)); for(int i=head[st]; i!=-1; i=edge[i].next){... }

【計(jì)算方法】

樹形 DP 的計(jì)算方法則與線性 DP 不同，線性 DP 一般采用傳統(tǒng)迭代，而樹是通過遞歸定義的，因此樹形 DP 要遞歸來求解。

一般而言，樹形 DP 常與背包問題結(jié)合起來，常用 dp[node] 表示的是以 node 為根的子樹能得到的最優(yōu)解，dp[node] 需要從 node 的子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移，由于 dp[node] 的狀態(tài)是由它的兒子轉(zhuǎn)移而來，因此可以 node 的 n 個兒子看做 n 個物品，對這 n 個物品抉擇得到最優(yōu)的 dp[node] 就用到背包的思想。

當(dāng)然，樹形 DP 不止 node 這一維，第二維一般都是以題目給出的限制需要來，然后根據(jù)題意保存好狀態(tài)，寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，遞歸的求解 DP[root]

【基本步驟】

1.若問題是一棵隱性樹（不以樹為直接背景，但各個階段呈樹狀關(guān)系），則需要將問題轉(zhuǎn)化為一棵顯性樹，并存儲各階段的樹狀聯(lián)系。

2.根據(jù)題目要求與數(shù)據(jù)量，選擇合適的樹的存儲方式。

若節(jié)點(diǎn)數(shù)小于5000，一般選用鄰接矩陣存儲；若節(jié)點(diǎn)數(shù)大于5000，一般選用鄰接表來存儲（邊要開到2*N，因?yàn)槭菬o向圖）；若是二叉樹或需要多叉轉(zhuǎn)二叉，則可以用兩個一維數(shù)組 brother[N]、child[N] 來存儲。

3.寫出動歸方程

通過孩子和父親之間的關(guān)系建立方程，根據(jù)要求選用 根 => 葉 或 葉 => 根 的計(jì)算方式。

【題目類型】

1.常規(guī)問題

沒有上司的舞會（洛谷-P1352）(經(jīng)典題，入門必做)：點(diǎn)擊這里
英文版：Anniversary party（HDU-1520）：點(diǎn)擊這里

Computer（HDU-2196）(經(jīng)典題，入門必做)：點(diǎn)擊這里

2.樹形背包問題

求在樹上選一些點(diǎn)滿足價值最大的問題，一般可設(shè) dp[i][j] 表示 i 這顆子樹選 j 個點(diǎn)的最優(yōu)解。

有線電視網(wǎng)（洛谷-P1273）(分組背包)：點(diǎn)擊這里
英文版：TELE（POJ-1115）：點(diǎn)擊這里

Starship Troopers（HDU-1011）(分組背包，注意特判m=0的情況)：點(diǎn)擊這里

Rebuilding Roads（POJ-1947）(分組背包)：點(diǎn)擊這里

The more, The Better（HDU-1561）(01背包+虛擬根節(jié)點(diǎn))：點(diǎn)擊這里

3.刪點(diǎn)或刪邊問題

統(tǒng)計(jì)子樹和，通過加減一些子樹滿足題目中要求的某些性質(zhì)。

Garland（CF-767C）(點(diǎn)權(quán)固定，注意特判)：點(diǎn)擊這里

最大子樹和（洛谷-P1122）(根據(jù)具體權(quán)值大小來判斷)：點(diǎn)擊這里

重建道路（洛谷-P1272）(刪邊+01背包)：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 树形 DP的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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