【轉】矩陣的幾何解釋

先通過向量來理解矩陣。向量[1, -3, 4]可以解釋成如下的向量的加法

任意向量v都可以寫成如下擴展形式

進一步寫成：

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右側的單位就是x, y, z軸，記為nx, ny, nz。我們可以將其寫成：

v=x*nx+y*ny+z*nz

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如果我們用向量p,g,r重寫nx, ny, nz意義不變：

v=xp+yg+zr

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這里p,g,r就稱為基向量，在這里它們是笛卡爾坐標軸。事實上，一個坐標系能用任意三個線性無關的向量作基向量來定義，[x,y,z]是向量v在以p,g,r為基向量的坐標系中的表示。以p,g,r為行定義一個3*3矩陣M，得到

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向量[x,y,z]乘以該矩陣，得到

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我們發現它和v的表達式一樣，因此我們得到以下結論：

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矩陣的行是坐標系的基向量，一個向量乘以該矩陣就相當于執行了一次坐標轉換。如果aM=b，意味著原坐標系下的向量a在M的作用下（具體作用就是坐標變換，新的坐標系基坐標是p, q）轉換到向量b。（如果p,q,r如果和nx, ny, nz值一樣，則說明坐標系還是原來的坐標系，沒有發生操作）

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分別用三個基向量乘以矩陣M，由下式我們發現：矩陣的每一行都能解釋為轉換后的基向量。

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?下面的例子

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笛卡爾坐標系下向量a在矩陣M的作用下（具體作用就是坐標變換，新的坐標系基坐標是p, q）轉換到向量b。（b的具體坐標值還是用笛卡爾坐標表示，笛卡爾坐標相當于世界坐標系，是根節點坐標系，也是世界坐標系下的絕對位置，但是向量b是向量a經過M變換（包括旋轉、伸縮）后產生的。）

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原坐標系下有一幅畫，那么經過M=[2 1; -1 2]的變換后得到的效果是旋轉拉伸后的圖像：

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aM=b，其中a是原坐標（笛卡爾坐標系），此向量相對于坐標系位置如上面左圖，M矩陣包含了新的坐標系的基，M的作用是旋轉、縮放、投影等，b是a在M操作后新的向量，

a與原坐標系的相對位置，在進行M操作之后，與新坐標系下的向量跟該坐標系的相對位置應該一樣的，即（a與原坐標系x-y的現對位置）等效于（b與變換后坐標系p-q的相對位置）。a向量經過旋轉伸縮之后得到新向量b，b的具體位置靠絕對坐標（世界坐標）來表示，也就是用笛卡爾坐標表示。

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比如上面左圖中向量a在笛卡爾坐標系中的相對位置確定的（這個相對位置不一定是角度，如果只是旋轉，則角度不變，如果有伸縮，則角度會變化），在進行M操作，旋轉伸縮之后，得到新的坐標系為p-q，新的向量b與新坐標系的相對位置也是類似于（a與笛卡爾坐標西的相對位置）。M變換前，a是對角線，M變換后，b還是對角線。

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aM=b，也可以這樣理解，上圖中，有一個物體，建立了一個物體坐標系，物體中某一點A連接物體坐標系的原點構成了向量a，M是對這個物體進行的操作（旋轉、縮放、投影等），M操作完了之后，物體坐標系相對于物體的方位是不變的（就好比人的前后左后，不管站在什么角度，我的前后左右相對于我的方向是不變的），向量b物體中A點在物體旋轉之后新的位置A1與物體原點連接成的向量。但是呢，a和b都采用世界坐標描述絕對位置。

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總結：矩陣的幾何意義

aM=b，其中M=[p;q;r]

a是世界坐標系下的向量，對a進行M變換，M變換后新的坐標系是以p, q,r 為坐標系的基，向量b是在新的基下的值，且p, q,r 的系數分別是a的三個系數。其中向量b的位置用世界坐標（絕對坐標）來描述。

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原文鏈接：http://blog.csdn.net/u010821455/article/details/8991947

posted on 2018-02-16 22:08 時空觀察者9號 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

總結

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