題意：有一個未知的邊權為$1$的圖，給定所有點到$1$的最短路$a_i$和到$2$的最短路$b_i$，問是否存在這樣的圖，如果存在，問圖中最少有多少條邊

先考慮$a_i$，有$a_1=0,a_i\neq0(i\neq1)$，對于一條邊$(x,y)$有$|a_x-a_y|\leq1$，對于任意$x\neq1$，存在$(x,y)$使得$a_x-1=a_y$，對$b_i$也有類似的約束

所以，我們將點$i$作為$(a_i,b_i)$畫在平面上，那么至少要有兩條邊：第一條連到$(a_i-1,b_i-1)$或$(a_i-1,b_i)$或$(a_i-1,b_i+1)$，第二條連到$(a_i-1,b_i-1)$或$(a_i,b_i-1)$或$(a_i+1,b_i-1)$，如果這時找不到可以連邊的點，那么就無解了（點$1$不用連第一種邊，點$2$不用連第二種邊）

如果可以連，那么我們構造出了一個有$2n-2$條邊的圖，顯然這個圖是滿足條件的

但我們要最小化圖中邊數，所以考慮尋找盡可能多的可以共用的邊

以下我們將第一種邊稱為$a$邊，第二種邊稱為$b$邊，共用邊只可能是兩種情況：1.對于點$i$，存在$(a_i-1,b_i-1)$，此時$i$的$a$邊和$b$邊可以共用；2.存在$i,j$使得$a_i-1=a_j,b_i+1=b_j$，此時$i$的$a$邊可以和$j$的$b$邊共用

我們把這$2n-2$條邊看成點，如果兩條邊可以共用，在代表它們的點之間連一條邊，求最大匹配即可，雖然是一般圖，但注意到只有那些滿足$a_i+b_i$相等的點$i$引出的邊才可能共用，所以建出來的圖是這樣的（圖來自官方題解）

圖中框代表某個坐標$(a_i,b_i)$上的點，紅點代表$b$邊，藍點代表$a$邊，如果方框內有連邊說明存在$(a_i-1,b_i-1)$

這種分層圖可以從左上往右下貪心選邊求最大匹配，實現時只需維護每個坐標的未匹配點個數即可

總時間復雜度為$O(n\log n)$，感覺這題還是不錯的

#include<stdio.h> #include<map> using namespace std; map<int,map<int,int> >mp,vis; int a[100010],b[100010]; bool ex(int x,int y){return mp.count(x)&&mp[x].count(y); } int main(){int n,i,j,s,las,now;scanf("%d",&n);#define wa {puts("-1");return 0;}for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",a+i,b+i);if(i!=1&&a[i]==0)waif(i!=2&&b[i]==0)wamp[a[i]][b[i]]++;}for(i=1;i<=n;i++){if(i!=2){if(!(ex(a[i]-1,b[i]-1)||ex(a[i],b[i]-1)||ex(a[i]+1,b[i]-1)))wa}if(i!=1){if(!(ex(a[i]-1,b[i]+1)||ex(a[i]-1,b[i])||ex(a[i]-1,b[i]-1)))wa}}s=0;for(i=1;i<=n;i++){if(!ex(a[i]-1,b[i]+1)&&!vis[a[i]][b[i]]){vis[a[i]][b[i]]=1;las=0;for(j=0;ex(a[i]+j,b[i]-j);j++){now=mp[a[i]+j][b[i]-j];s+=min(las,now);now-=min(las,now);if(ex(a[i]+j-1,b[i]-j-1)){s+=now;now=min(las,mp[a[i]+j][b[i]-j]);}elsenow=mp[a[i]+j][b[i]-j];las=now;}}}printf("%d",2*n-2-s); }

轉載于:https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9744260.html

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CODE FESTIVAL 2016]Distance Pairs的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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