前言

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的一般式和頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)式展開之后就是一般式，那么一般式能變成頂點(diǎn)式嗎？

如果我們能把一般式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式，那么我們就可以輕松找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)，從而很容易畫出二次函數(shù)。

這個(gè)問題還和一元二次方程有關(guān)，公元前的人們就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)一元二次方程，但都沒有給出通用的解法。

直到九世紀(jì)，阿拉伯的阿爾·花剌子模在《代數(shù)學(xué)》中討論了一元二次方程的一般解法。

而最終法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)建立了一元二次方程的相關(guān)理論，并給出了根與系數(shù)的關(guān)系，稱為韋達(dá)定理。

一元二次方程

和一元一次方程的定義類似，當(dāng)一個(gè)方程中只有二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)時(shí)，我們就說這是一個(gè)二次方程。

首先我們從最簡單的一元二次方程開始：

?

面對這樣一個(gè)方程，很容易知道開平方后有兩個(gè)解，1和-1。

接著我們看這個(gè)方程：

?

這個(gè)方程依然很簡單，移項(xiàng)之后開平方，討論正負(fù)兩個(gè)平方根即可，得到x的兩個(gè)解，3和-1。

可以發(fā)現(xiàn)只要把一元二次方程，寫成類似二次函數(shù)頂點(diǎn)式

?的樣子，就可以很輕松求解。

移項(xiàng)之后必須使右邊的常數(shù)項(xiàng)非負(fù)，否則無法進(jìn)行開平方運(yùn)算，例如方程

?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。

探索：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的方程有沒有不是實(shí)數(shù)的解？（復(fù)數(shù)）

練習(xí)：求解

?。

完全平方公式

接著我們來討論二次函數(shù)頂點(diǎn)式中的

?，展開計(jì)算可知：

?

如果是任意兩個(gè)a和b，則有：

?

這被稱為完全平方公式。

通過逆向使用完全平方公式，我們就能把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式了。

探索：類似的多項(xiàng)式乘法公式有哪些？

二次函數(shù)的配方法

對于一個(gè)二次函數(shù)的一般式

?，我們有：

?

所以代入計(jì)算可以得到：

?

這樣我們就成功把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)換為了頂點(diǎn)式，此時(shí)二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是：

?

這種方法被稱為配方法，即分配平方的方法。

練習(xí)：將下列二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。

一元二次方程的求解

利用配方法，我們就可以把一元二次方程變形成類似二次函數(shù)頂點(diǎn)式，從而求解了，例如；

最后得到x的兩個(gè)解為1或-3，也叫方程的兩個(gè)根。

探索：一元二次方程還有其他的解法嗎？（因式分解法）

如果開平方的是0，最后的兩個(gè)根相等，我們說這個(gè)方程有二重根。

如果開平方的是負(fù)數(shù)，我們說這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍無解。

探索：為什么要有重根？多重根有什么性質(zhì)？

我們在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中知道，方程的解就是對應(yīng)函數(shù)和x軸的交點(diǎn)，在函數(shù)中也被叫做零點(diǎn)。

因此我們可以通過求解對應(yīng)一元二次方程來計(jì)算出二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)。

練習(xí)：用配方法解下列方程。

?

尾聲

到此為止我們已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的各類性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，從理論上來說已經(jīng)可以解決絕大部分初中的一元分析問題了。

不過實(shí)際上，二次函數(shù)還有許多特殊的性質(zhì)，解一元二次方程的方法也多種多樣，和其他的知識(shí)結(jié)合后更是能產(chǎn)生無窮無盡的綜合壓軸題。我們將在后續(xù)課程中講述這些內(nèi)容。

預(yù)習(xí)：對于一般的一元二次方程

?，如何判斷方程是否可解，并計(jì)算方程的解？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python计算一元一次方程的根_5-2 一元二次方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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