無圖像，不處理，先上效果圖。手上長嘴當(dāng)然也可以，不過感覺有點(diǎn)惡心 ~ 就不上那種圖了。

這里所采用的算法就是大名鼎鼎的泊松融合算法，它的應(yīng)用非常廣泛，除了上面這種手上長眼睛的效果，還可以實(shí)現(xiàn)“紋理拼接”、“精細(xì)摳圖”、“移花接木”等等效果。我之前已經(jīng)從純數(shù)學(xué)的角度討論過它的原理了。

但是，當(dāng)初給出的代碼僅僅是為了算法演示的目的，所以并未進(jìn)行優(yōu)化。可以說是最簡單、最原始的實(shí)現(xiàn)方法。然后，我寫完就扔一邊很久沒碰了。今天有朋友向我了解，我表示印象中用高斯法解大稀疏矩陣也可以實(shí)現(xiàn)對泊松方程的求解，但是當(dāng)初沒有深究。今天好奇心再次被喚起，想來再續(xù)前緣。沒想到一頓翻箱倒柜，還真找到些不錯(cuò)的資料。其中一篇感性角度理解該算法的文章感覺很不錯(cuò)。不僅介紹了算法的原理（而且完全不從數(shù)學(xué)角度，就從感性認(rèn)識談也一樣深刻），還談及了優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)方法。今天我特別二次加工后與各位分享。

原文鏈接：http://eric-yuan.me/poisson-blending/

下面的圖基本都是盜的原文中的，原文是英文，我根據(jù)自己的理解翻譯+改編，希望能融合一些我個(gè)人的理解。

首先，讓我們從最最簡單的“一維”情況開始考慮。如下圖所示，我們的目標(biāo)是將左圖中紅色的部分copy到右圖中，這個(gè)時(shí)候左圖中紅色部分就相當(dāng)于是最開始圖中的“眼睛”，右圖就是一個(gè)手掌。

如果要做到天衣無縫，我們應(yīng)該保證哪些條件？這個(gè)我在過去的文章中討論過，總而言之，言而總之，就兩條：1）將眼睛融入手掌之后，眼睛和手掌相連的邊緣過渡要平滑（用圖像處理的術(shù)語說，就是梯度小）。2）眼睛內(nèi)部的自身紋理要最大程度保留，不能融合之后眼睛沒了，就剩手掌那肯定不行。

就我們當(dāng)前所面對的這個(gè)例子，其實(shí)就是要求：

其中f?是右圖中的“信號”，而+1、-1、+2、-1、-1是原圖（左圖）本來的梯度。那我們有沒有什么是已知的呢？有的！f1=6，f6=1，即融合邊界的信息我們已知。于是化簡有

然后根據(jù)費(fèi)馬定理，當(dāng)有極值時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)等于零，即

然后如果用矩陣形式來表示方程組便有

現(xiàn)在要解一個(gè)線性方程組，而且這個(gè)方程組還是稀疏的，顯然用高斯-塞德爾迭代法是非常不錯(cuò)的選擇，這也是泊松方法的原作者最初使用的求解方法。而且高斯法會(huì)比雅各比法快很多。更多高斯-塞德爾迭代法的內(nèi)容請見

Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法?_一九八網(wǎng)絡(luò)科技V客學(xué)院-IT技術(shù)博客

/baimafujinji/article/details/50582462

然后我們咔嚓一頓狂解，最后得到方程組的結(jié)為：f2=6，f3=4，f4=5，f5=3，這好像并不太直觀，于是用圖形來表示

哈啊！看出門道了嗎？首先，接合的地方過渡很自然（梯度小），內(nèi)部紋理保持的也不錯(cuò)（基本和原圖一致）。Yes, we get it！

然后呢？我們既然處理的對象是圖像，所以還得回到二維的情況來看看。其實(shí)，你應(yīng)該理解，這個(gè)推廣的過程其實(shí)沒啥新鮮的東西。但它與你編程實(shí)現(xiàn)直接相關(guān)。下圖演示了我們將要開展的工作。數(shù)字方格是我要copy過來的像素點(diǎn)，紅色表示接合邊緣。

跟一維的情況一樣，我們現(xiàn)在要解線性方程組?Ax = b，其中A是一個(gè)N×N的方陣，N是我們要copy的像素?cái)?shù)目，本題中N=10。我們用下面的偽代碼演示了創(chuàng)建一個(gè)所需的10×10方陣。

for i=1:row numberfor j=1:col numberif(i==j)matrix(i, j)=-4elif(adjacent(pixel(j), pixel(i)))matrix(i, j)=1elsematrix(i, j)=0endendend 最終我們生成的矩陣應(yīng)該是長成下面這個(gè)樣子（我之前以為原博文作者這個(gè)地方寫錯(cuò)了。直到我編碼實(shí)現(xiàn)的時(shí)候才發(fā)現(xiàn)其中另有玄妙。真是實(shí)踐出真知啊！在下一篇文章中，我會(huì)結(jié)合Matlab代碼來演示這個(gè)地方。）：

在方程組?Ax = b中，b?是一個(gè)N元向量，它是由下面這個(gè)式子創(chuàng)建的

b[i] = div ( G( Source(x,y) ) ) + Neighbor(target i) ; ? ? ? ? ?i=1..N

其中G(·)是求梯度，散度由下面公式求得（這屬于經(jīng)典離散數(shù)值解，不做過多解釋，如果你感覺困惑可以看我前面的文章，已經(jīng)說得很詳細(xì)了）

div G = -4 f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y-1) + f(x+1,y) + f(x,y+1)

其中i的鄰域（Neighbor）指的是i的四鄰域點(diǎn)中屬于邊界的部分，例如從圖中可以看出

• Neighbor(pixel 1) 有三個(gè)點(diǎn)： left, up, right;
• Neighbor(pixel 8) 有兩個(gè)點(diǎn)： left, up;
• Neighbor(pixel 5) 有一個(gè)點(diǎn)： up.

這里我還想根據(jù)Patrick的經(jīng)典論文之原文來對上面的結(jié)論做進(jìn)一步的解釋。其中，p是S中的一個(gè)元素，Np是點(diǎn)p位于S內(nèi)部的4鄰域點(diǎn)。<p,q>表示一個(gè)點(diǎn)對，其中q∈Np。Ω的邊界

請注意，S和Ω的所代表的意思我在前面的文章中已經(jīng)給出，請讀者參考之前的文章。令fp 代表p點(diǎn)處的f值。那么原來的優(yōu)化問題就變成了如下的離散形式：

vpq?是v((q+p)/2)在邊[p,q]方向上的投影，即

上述最優(yōu)化問題的解滿足

? ??（7）

這就是我們上面給出的那個(gè)公式。對于位于S中的Ω的邊界像素點(diǎn)p，|Np|<4，即邊界上點(diǎn)的鄰域點(diǎn)少于4個(gè)，顯然邊界上的點(diǎn)p至少有一個(gè)鄰域點(diǎn)位于Ω內(nèi)部。然而，對于那些位于Ω內(nèi)部的像素點(diǎn)p而言，即Np∈Ω，等式右端的邊界項(xiàng)就不復(fù)存在了，即有

方程（7）是一個(gè)很大的稀疏矩陣，所以可以用經(jīng)典的迭代法進(jìn)行求解。作者指出他原文中的結(jié)果是采用高斯-塞德爾法得到的。

如果我們知道矩陣?A?和向量?b, 我們就可以根據(jù)x?=?A^-1?*?b來計(jì)算向量x，這也就是目標(biāo)圖像中要被填充的部分像素。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理之让手心长出眼睛，其实嘴也可以的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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