前言：

最近在【編程德魯伊】的【傅里葉級數可視化】章節中，練習了傅里葉級數基礎原理的可視化，演示了周期方波曲線，可以分解為一系列正弦波曲線：

這次拿學到的知識做個實驗，試試喜聞樂見的【用傅里葉級數畫畫】，并盡可能簡單直觀的解釋一下原理。

自認為簡單直觀的原理解釋

之前練習的可視化，都是在二維空間進行，例如正弦波：

方波（通過傅里葉級數）：

圖中左半邊的圓周（Epicycle）和右半邊正弦波/方波的關系：左半邊是一個運動點，在一個圓周或多個圓周組合上隨著時間t轉動；

右半邊，是將時間t映射到橫軸x軸上，縱軸仍是運動點當前的y值保持不變。

也就是說，把時間域轉換為空間域，就能從一個圓周得到正弦曲線，或者從一系列圓周組合，得到方波曲線。

我們把方波可視化左右兩邊的運動點軌跡也畫出來：

左半邊由一系列圓周（Epicycle）組成的軌跡，與右半邊的方波（Square）軌跡，其實只是同一個運動點在不同空間里的展現方式而已。

豁然開朗有沒有！！！（此處插入打賞掌聲！）

為了說的更清楚一些，接下來把空間域從二維換到三維，時間t不再映射到x軸，而是映射到z軸上：

上圖從正面看過去，仍是一個圓周，而在三維空間里旋轉坐標軸，從側面看過去時，它實際上就是一個正弦曲線。

方波的也一樣：

正面的橙色軌跡，轉換角度，從側面看，就是方波的曲線。

再次豁然開朗有沒有！！！

進一步，根據傅里葉級數原理，為了得到方波（橙色），就要想辦法得到組成方波的一系列正弦波（金黃色）：

換一個視角，為了得到最終的運動軌跡（橙色），就要想辦法得到組成軌跡的一系列Epicycle圓周（金黃色）：

而這個橙色的運動軌跡，可以是各種形狀，也就是說，無論想畫什么圖形，只要按照傅里葉級數的原理，找到一系列Epicycle圓周，就可以畫出來了！

金豬報喜

傅里葉本尊

怎么樣，這樣去理解傅里葉級數畫畫的原理，是不是容易了一些？

接下來要解決的，就是如何為“任意”圖案找到對應的一組Epicycle圓周的問題。

從數學上講，就是求傅里葉級數里每個子項對應的傅里葉系數（a和b）：

各項系數a和b都找到后，合起來就可以得到f(x)。

求傅里葉系數的方法有很多，積分、傅里葉變換等。

詳細的原理推導，我還沒有復習重修，所以對于如何把大象裝冰箱的回答，仍然是：

1.打開冰箱門；2.把大象裝進去；3.關門。

直接對圖案軌跡進行傅里葉變換，即可得到傅里葉系數。

而在計算機程序里，所有的數據都是離散的，所以實際上程序里用的是離散傅里葉變換。

關于這個環節，參考資源較多，尤其是用Web前端/JavaScript/p5.js做的不少，列在后面。

本文的配圖和動畫，是用 Blender + Python 完成：

等等老鄉，還沒完。

從上圖里傅里葉的配色就能看出，我其實原本是打算畫 Miku 醬的（初音未來）：

然而碼到用時方恨不會，關于傅里葉畫畫這個問題，其實更難的是找到合適的圖案軌跡，并不是隨便一個圖都能輕松畫出來的，這也是為什么上文中，我給任意圖案的“任意”兩字加了引號。

從數學上講，在一些特定條件的約束下，一個函數才能用傅里葉級數來表達。

而找出這個圖案軌跡的過程，復雜度遠超用傅里葉級數畫軌跡本身。

后面將附上其他高人的文章供參考。

本文投入的精力僅能畫簡單的軌跡線，所以Miku就換成了傅里葉他老人家 ：

最終效果（三個視角）:

參考資源

Talk is cheap. Show me the code!

本文中提到的傅里葉級數基本原理可視化，文章可從公眾號菜單“筆記教程-編程德魯伊”獲得。

絕大部分開源在這里：

https://github.com/avantcontra/coding-druid

本文傅里葉畫畫的實驗代碼，可在知識星球中獲取，感謝已經加入星球的朋友們。

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Cheers~

Contra

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python画方波_今天学会傅里叶画画，明天就是初音未来 - 如何用Python和Blender画任意图形...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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