前言

在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法的圖論中，(生成)最小生成樹算法是一種常用并且和生活貼切比較近的一種算法。但是可能很多人對概念不是很清楚，什么是最小生成樹?

一個有 n 個結(jié)點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結(jié)點，并且有保持圖連通的最少的邊。 最小生成樹可以用kruskal（克魯斯卡爾）算法或prim（普里姆）算法求出。

通俗易懂的講就是最小生成樹包含原圖的所有節(jié)點而只用最少的邊和最小的權(quán)值距離。因為n個節(jié)點最少需要n-1個邊聯(lián)通，而距離就需要采取某種策略選擇恰當(dāng)?shù)倪叀?/p>

學(xué)習(xí)最小生成樹實現(xiàn)算法之前我們要先高清最小生成樹的結(jié)構(gòu)和意義所在。咱么首先根據(jù)一些圖更好的祝你理解。

一個故事

在城市道路規(guī)劃中，是一門很需要科學(xué)的研究(只是假設(shè)學(xué)習(xí)不必當(dāng)真)。在公路時代城市聯(lián)通的主要矛盾是時間慢，而造價相比運輸時間是次要矛盾。所以在公路時代我們盡量使得城市能夠直接聯(lián)通，縮短城市聯(lián)系時間，而稍微考慮建路成本！隨著科技發(fā)展、高級鐵路、信息傳輸相比公路運輸快非常非常多，從而事件的主要矛盾從運輸時間轉(zhuǎn)變?yōu)樵靸r成本，故有時會關(guān)注聯(lián)通所有點的路程(最短)，這就用到最小生成樹算法。

城市道路鋪設(shè)可能經(jīng)歷以下幾個階段。

• 初始，各個城市沒有高速公路(鐵路)。
• 政府打算各個城市鋪設(shè)公路(鐵路)，每個城市都想成為交通樞紐，快速到達其他城市，但每個城市都有這種想法，如果實現(xiàn)下去造價太昂貴。并且造成巨大浪費。
• 最終國家選擇一些主要城市進行聯(lián)通，有個別城市只能稍微繞道而行，而繞道太遠的、人流量多的國家考慮新建公路(鐵路)，適當(dāng)提高效率。

不過上面鐵路規(guī)劃上由于龐大的人口可能不能夠滿足與"有鐵路"這個需求，人們對速度、距離、直達等條件一直在追求中……

但是你可以想象這個場景：有些東西造假非常非常昂貴，使用效率非常高，我這里假設(shè)成黃金鑲鉆電纜 鋪設(shè)，所以各個城市只要求不給自己落下，能通上就行(沒人敢跳了吧)。

要從有環(huán)圖中選取代價和最小的路線一方面代價最小(總距離最小最省黃金)另一方面聯(lián)通所有城市。

然而根據(jù)上圖我們可以得到以下最小生成樹,但是最么生成這個最小生成樹，就是下面要講的了。

而類似的還有局部區(qū)域島嶼聯(lián)通修橋，海底通道這些高成本的都多多少少會運用。

Kruskal算法

上面介紹了最小生成樹是什么，現(xiàn)在需要掌握和理解最小生成樹如何形成。給你一個圖，用一個規(guī)則生成一個最小生成樹。而在實現(xiàn)最小生成樹方面有prim和kruskal算法，這兩種算法的策略有所區(qū)別，但是時間復(fù)雜度一致。

Kruskal算法，和前面講到的并查集關(guān)系很大，它的主要思想為：

先構(gòu)造一個只含 n 個頂點、而邊集為空的子圖，把子圖中各個頂點看成各棵樹上的根結(jié)點，之后，從網(wǎng)的邊集 E 中選取一條權(quán)值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，即把兩棵樹合成一棵樹，反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應(yīng)該取下一條權(quán)值最小的邊再試之。依次類推，直到森林中只有一棵樹，也即子圖中含有 n-1 條邊為止。

簡而言之，Kruskal算法進行調(diào)度的單位是邊,它的信仰為:所有邊能小則小，算法的實現(xiàn)方面要用到并查集判斷兩點是否在同一集合。

而算法的具體步驟為：

將圖中所有邊對象(邊長、兩端點)依次加入集合(優(yōu)先隊列)q1中。初始所有點相互獨立。

取出集合(優(yōu)先隊列)q1最小邊，判斷邊的兩點是否聯(lián)通。

如果聯(lián)通說明兩個點已經(jīng)有其它邊將兩點聯(lián)通了，跳過，如果不連通，則使用union（并查集合并）將兩個頂點合并，這條邊被使用(可以儲存或者計算數(shù)值)。

重復(fù)2，3操作直到集合（優(yōu)先隊列）q1為空。此時被選擇的邊構(gòu)成最小生成樹。

Prim算法

除了Kruskal算法以外，普里姆算法（Prim算法）也是常用的最小生成樹算法。雖然在效率上差不多。但是貪心的方式和Kruskal完全不同。

prim算法的核心信仰是：從已知擴散尋找最小。它的實現(xiàn)方式和Dijkstra算法相似但稍微有所區(qū)別，Dijkstra是求單源最短路徑，而每計算一個點需要對這個點重新更新距離，而prim不用更新距離。直接找已知點的鄰邊最小加入即可！prim和kruskal算法都是從邊入手處理。

對于具體算法具體步驟，大致為：

尋找圖中任意點，以它為起點，它的所有邊V加入集合(優(yōu)先隊列)q1,設(shè)置一個boolean數(shù)組bool[]標(biāo)記該位置(邊有兩個點，每次加入沒有被標(biāo)記那個點的所有邊)。

從集合q1找到距離最小的那個邊v1并 判斷邊是否存在未被標(biāo)記的一點p ，如果p不存在說明已經(jīng)確定過那么跳過當(dāng)前邊處理，如果未被標(biāo)(訪問)記那么標(biāo)記該點p,并且與p相連的未知點(未被標(biāo)記)構(gòu)成的邊加入集合q1， 邊v1(可以進行計算距離之類，該邊構(gòu)成最小生成樹) .

重復(fù)1，2直到q1為空，構(gòu)成最小生成樹 ！

大體步驟圖解為：

因為prim從開始到結(jié)束一直是一個整體在擴散，所以不需要考慮兩棵樹合并的問題，在這一點實現(xiàn)上稍微方便了一點。

當(dāng)然，要注意的是最小生成樹并不唯一，甚至同一種算法生成的最小生成樹都可能有所不同，但是相同的是無論生成怎樣的最小生成樹：

• 能夠保證所有節(jié)點連通(能夠滿足要求和條件)
• 能夠保證所有路徑之和最小(結(jié)果和目的相同)
• 最小生成樹不唯一，可能多樣的

代碼實現(xiàn)

上面分析了邏輯實現(xiàn)。下面我們用代碼簡單實現(xiàn)上述的算法。

prim

package 圖論;import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.Comparator; import java.util.List; import java.util.PriorityQueue; import java.util.Queue;public class prim {public static void main(String[] args) {int minlength=0;//最小生成樹的最短路徑長度int max=66666;String cityname[]= {"北京","武漢","南京","上海","杭州","廣州","深圳"};int city[][]= {{ max, 8, 7, max, max, max, max }, //北京和武漢南京聯(lián)通{ 8, max,6, max,9, 8,max }, //武漢——北京、南京、杭州、廣州{ 7, 6, max, 3,4, max,max }, //南京——北京、武漢、上海、杭州{ max, max,3, max,2, max,max }, //上?！暇?、杭州{ max, 9,4, 2,max, max,10 }, //杭州——武漢、南京、上海、深圳{ max, 8,max, max,max, max,2 }, //廣州——武漢、深圳{ max, max,max, max,10,2,max }//深圳——杭州、廣州};// 地圖boolean istrue[]=new boolean[7];//南京Queue<side>q1=new PriorityQueue<side>(new Comparator<side>() {public int compare(side o1, side o2) {// TODO Auto-generated method stubreturn o1.lenth-o2.lenth;}});for(int i=0;i<7;i++){if(city[2][i]!=max){istrue[2]=true;q1.add(new side(city[2][i], 2, i));}} while(!q1.isEmpty()){side newside=q1.poll();//拋出if(istrue[newside.point1]&&istrue[newside.point2]){continue;}else {if(!istrue[newside.point1]){istrue[newside.point1]=true;minlength+=city[newside.point1][newside.point2];System.out.println(cityname[newside.point1]+" "+cityname[newside.point2]+" 聯(lián)通");for(int i=0;i<7;i++){if(!istrue[i]){q1.add(new side(city[newside.point1][i],newside.point1,i));}}}else {istrue[newside.point2]=true;minlength+=city[newside.point1][newside.point2];System.out.println(cityname[newside.point2]+" "+cityname[newside.point1]+" 聯(lián)通");for(int i=0;i<7;i++){if(!istrue[i]){q1.add(new side(city[newside.point2][i],newside.point2,i));}}}}}System.out.println(minlength); }static class side//邊{int lenth;int point1;int point2;public side(int lenth,int p1,int p2) {this.lenth=lenth;this.point1=p1;this.point2=p2;}}}

輸出結(jié)果：

上海 南京 聯(lián)通
杭州 上海 聯(lián)通
武漢 南京 聯(lián)通
北京 南京 聯(lián)通
廣州 武漢 聯(lián)通
深圳 廣州 聯(lián)通
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Kruskal:

package 圖論;import java.util.Comparator; import java.util.PriorityQueue; import java.util.Queue;import 圖論.prim.side; /** 作者：bigsai(公眾號)*/ public class kruskal {static int tree[]=new int[10];//bing查集public static void init() {for(int i=0;i<10;i++)//初始{tree[i]=-1;}}public static int search(int a)//返回頭節(jié)點的數(shù)值{if(tree[a]>0)//說明是子節(jié)點{return tree[a]=search(tree[a]);//路徑壓縮}elsereturn a;}public static void union(int a,int b)//表示 a，b所在的樹合并小樹合并大樹(不重要){int a1=search(a);//a根int b1=search(b);//b根if(a1==b1) {//System.out.println(a+"和"+b+"已經(jīng)在一棵樹上");}else {if(tree[a1]<tree[b1])//這個是負(fù)數(shù)，為了簡單減少計算，不在調(diào)用value函數(shù){tree[a1]+=tree[b1];//個數(shù)相加 注意是負(fù)數(shù)相加tree[b1]=a1; //b樹成為a的子樹，直接指向a；}else{tree[b1]+=tree[a1];//個數(shù)相加 注意是負(fù)數(shù)相加tree[a1]=b1; //b樹成為a的子樹，直接指向a；}}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubinit();int minlength=0;//最小生成樹的最短路徑長度int max=66666;String cityname[]= {"北京","武漢","南京","上海","杭州","廣州","深圳"};boolean jud[][]=new boolean[7][7];//加入邊需要防止重復(fù) 比如 ba和ab等價的int city[][]= {{ max, 8, 7, max, max, max, max }, { 8, max,6, max,9, 8,max }, { 7, 6, max, 3,4, max,max }, { max, max,3, max,2, max,max }, { max, 9,4, 2,max, max,10 }, { max, 8,max, max,max, max,2 }, { max, max,max, max,10,2,max }};// 地圖boolean istrue[]=new boolean[7];//南京Queue<side>q1=new PriorityQueue<side>(new Comparator<side>() {//優(yōu)先隊列存邊+public int compare(side o1, side o2) {// TODO Auto-generated method stubreturn o1.lenth-o2.lenth;}});for(int i=0;i<7;i++){for(int j=0;j<7;j++){if(!jud[i][j]&&city[i][j]!=max)//是否加入隊列{jud[i][j]=true;jud[j][i]=true;q1.add(new side(city[i][j], i, j));}}}while(!q1.isEmpty())//執(zhí)行算法{side newside=q1.poll();int p1=newside.point1;int p2=newside.point2;if(search(p1)!=search(p2)){union(p1, p2);System.out.println(cityname[p1]+" "+cityname[p2]+" 聯(lián)通");minlength+=newside.lenth;}}System.out.println(minlength);}static class side//邊{int lenth;int point1;int point2;public side(int lenth,int p1,int p2) {this.lenth=lenth;this.point1=p1;this.point2=p2;}} }

輸出結(jié)果

上海 杭州 聯(lián)通
廣州 深圳 聯(lián)通
南京 上海 聯(lián)通
武漢 南京 聯(lián)通
北京 南京 聯(lián)通
武漢 廣州 聯(lián)通
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總結(jié)

最小生成樹算法理解起來也相對簡單，實現(xiàn)起來也不是很難。Kruskal和Prim主要是貪心算法的兩種角度。一個從整體開始找最小邊，遇到關(guān)聯(lián)不斷合并，另一個從局部開始擴散找身邊的最小不斷擴散直到生成最小生成樹。在學(xué)習(xí)最小生成樹之前最好學(xué)習(xí)一下dijkstra算法和并查集，這樣在實現(xiàn)起來能夠快一點，清晰一點。

力扣1584就是一個最小生成樹的入門題，不過哪個有點區(qū)別的就是默認(rèn)所有點是聯(lián)通的，所以需要你剪枝優(yōu)化。這里就不帶大家一起看啦，有問題下面也可交流！

最后，如果你那天真的獲得一大筆資金去修建這么一條昂貴的黃金路線，可以適當(dāng)采取此方法，另外剩下的大批，茍富貴，勿相忘。。

另外，我將自己csdn寫的原創(chuàng)整理成258頁數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法pdf，大家可以關(guān)注下面👇👇回復(fù)【666】免費獲取！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小生成树(Prim、Kruskal)算法，秒懂！的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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