前言

堆是生產中非常重要也很實用的一種數據結構，也是面試中比如求 Top K 等問題的非常熱門的考點，本文旨在全面介紹堆的基本操作與其在生產中的主要應用，相信大家看了肯定收獲滿滿！

本文將會從以下幾個方面來講述堆:

• 生產中的常見問題

• 堆的定義

• 堆的基本操作

• 堆排序

• 堆在生產中應用

生產中的常見問題

我們在生產中經常碰到以下常見的問題：

優先級隊列的應用場景很廣，它是如何實現的呢

如何求 Top K 問題

TP99 是生產中的一個非常重要的指標，如何快速計算

可能你已經猜到了，以上生產上的高頻問題都可以用堆來實現，所以理解堆及掌握其基本操作十分重要！接下來我們就來一步步地來了解堆及其相關操作，掌握了堆，上面三個生產上的高頻問題將不是問題。

堆的定義

堆有以下兩個特點

堆是一顆完全二叉樹，這樣實現的堆也被稱為二叉堆

堆中節點的值都大于等于（或小于等于）其子節點的值，堆中如果節點的值都大于等于其子節點的值，我們把它稱為大頂堆，如果都小于等于其子節點的值，我們將其稱為小頂堆。

簡單回顧一下什么是完全二叉樹，它的葉子節點都在最后一層，并且這些葉子節點都是靠左排序的。

從堆的特點可知，下圖中，1，2 是大頂堆，3 是小頂堆， 4 不是堆（不是完全二叉樹）

從圖中也可以看到，一組數據如果表示成大頂堆或小頂堆，可以有不同的表示方式，因為它只要求節點值大于等于（或小于等于）子節點值，未規定左右子節點的排列方式。

堆的底層是如何表示的呢，從以上堆的介紹中我們知道堆是一顆完全二叉樹，而完全二叉樹可以用數組表示

如圖示：給完全二叉樹按從上到下從左到右編號，則對于任意一個節點來說，很容易得知如果它在數組中的位置為 i，則它的左右子節點在數組中的位置為 2i，2i + 1，通過這種方式可以定位到樹中的每一個節點，從而串起整顆樹。

一般對于二叉樹來說每個節點是要存儲左右子節點的指針，而由于完全二叉樹的特點（葉子節點都在最后一層，并且這些葉子節點都是靠左排序的），用數組來表示它再合適不過，用數組來存儲有啥好處呢，由于不需要存指向左右節點的指針，在這顆樹很大的情況下能省下很多空間！

堆的基本操作

堆有兩個基本的操作，構建堆（往堆中插入元素）與刪除堆頂元素，我們分別來看看這兩個操作

• 往堆中插入元素

往堆中插入元素后（如下圖示），我們需要繼續滿足堆的特性，所以需要不斷調整元素的位置直到滿足堆的特點為止（堆中節點的值都大于等于（或小于等于）其子節點的值）,我們把這種調整元素以讓其滿足堆特點的過程稱為堆化（heapify）

由于上圖中的堆是個大頂堆，所以我們需要調整節點以讓其符合大頂堆的特點。怎么調整？不斷比較子節點與父節點，如果子節點大于父節點，則交換，不斷重復此過程，直到子節點小于其父節點。來看下上圖插入節點 11 后的堆化過程

這種調整方式是先把元素插到堆的最后，然后自下而上不斷比較子節點與父節點的值，我們稱之為由下而上的堆化。有了以上示意圖，不難寫出插入元素進行堆化的代碼：

public?class?Heap?{private?int[]?arr;???????//?堆是完全二叉樹，底層用數組存儲private?int?capacity;????//?堆中能存儲的最大元素數量private?int?n;??????????//?當前堆中元素數量public?Heap(int?count)?{capacity?=?count;arr?=?new?int[capacity+1];n?=?0;}public?void?insert(int?value)?{if?(n?>=?capacity)?{//?超過堆大小了，不能再插入元素return;}n++;//?先將元素插入到隊尾中arr[n]?=?value;int?i?=?n;//?由于我們構建的是一個大頂堆，所以需要不斷調整以讓其滿足大頂堆的條件while?(i/2?>?0?&&?arr[i]?>?arr[i/2])?{swap(arr,?i,?i/2);i?=?i?/?2;}} }

時間復雜度就是樹的高度，所以為 O(logn)。

• 刪除堆頂元素

由于堆的特點（節點的值都大于等于（或小于等于）其子節點的值），所以其根節點（堆項）要么是所有節點中最大，要么是所有節點中最小的，當刪除堆頂元素后，也需要調整子節點，以讓其滿足堆（大頂堆或小頂堆）的條件。

假設我們要操作的堆是大頂堆，則刪除堆頂元素后，要找到原堆中第二大的元素以填補堆頂元素，而第二大的元素無疑是在根節點的左右子節點上，假設是左節點，則用左節點填補堆頂元素之后，左節點空了，此時需要從左節點的左右節點中找到兩者的較大值填補左節點...，不斷迭代此過程，直到調整完畢，調整過程如下圖示：

但是這么調整后，問題來了，如上圖所示，在最終調整后的堆中，出現了數組空洞，對應的數組如下

怎么解決？我們可以用最后一個元素覆蓋堆頂元素，然后再自上而下地調整堆，讓其滿足大頂堆的要求，這樣即可解決數組空洞的問題。

看了以上示意圖，代碼實現應該比較簡單，如下：

/***?移除堆頂元素*/ public?void?removeTopElement()?{if?(n?==?0)?{//?堆中如果沒有元素，也就是不存在移除堆頂元素的情況了return;}int?count?=?n;arr[1]?=?arr[count];--count;heapify(1,?count); }/***?自上而下堆化以滿足大頂堆的條件*/ public?void?heapify(int?index,?int?n)?{while?(true)?{int?maxValueIndex?=?index;if?(2?*?index?<=?n?&&?arr[index]?<?arr[2?*?index])?{//?左節點比其父節點大maxValueIndex?=?2?*?index;}if?(2?*?index?+?1?<=?n?&&?arr[maxValueIndex]?<?arr[2?*?index?+?1])?{//?右節點比左節點或父節點大maxValueIndex?=?2?*?index?+?1;}if?(maxValueIndex?==?index)?{//?說明當前節點值為最大值，無需再往下迭代了break;}swap(arr,?index,?maxValueIndex);index?=?maxValueIndex;} }/***?交換數組第?i?和第?j?個元素*/ public?static?void?swap(int[]?arr,?int?i,?int?j) {int?temp?=?arr[i];arr[i]?=?arr[j];arr[j]?=?temp; }

時間復雜度和插入堆中元素一樣，也是樹的高度，所以為 O(logn)。

堆排序

用堆怎么實現排序？我們知道在大頂堆中，根節點是所有節點中最大的，于是我們有如下思路：

假設待排序元素個數為 n（假設其存在數組中），對這組數據構建一個大頂堆，刪除大頂堆的元素（將其與數組的最后一個元素進行交換），再對剩余的 n-1 個元素構建大頂堆，再將堆頂元素刪除（將其與數組的倒數第二個元素交換），再對剩余的 n-2 個元素構建大頂堆...，不斷重復此過程，這樣最終得到的排序一定是從小到大排列的，堆排序過程如下圖所示：

從以上的步驟中可以看到，重要的步驟就兩步，建堆（堆化，構建大頂堆）與排序。

先看下怎么建堆，其實在上一節中我們已經埋下了伏筆，上一節我們簡單介紹了堆的基本操作，插入和刪除，所以我們可以新建一個數組，遍歷待排序的元素，每遍歷一個元素，就調用上一節我們定義的 insert(int value) 方法，這個方法在插入元素到堆的同時也會堆化調整堆為大頂堆，遍歷完元素后，最終生成的堆一定是大頂堆。

用這種方式生成的大頂堆空間復雜度是多少呢，由于我們新建了一個數組，所以空間復雜度是 O(n)，但其實堆排序是原地排序的（不需要任何額外空間），所以我們重點看下如何在不需要額外空間的情況下生成大頂堆。

其實思路很簡單，對于所有非葉子節點，自上而下不斷調整使其滿足大頂堆的條件（每個節點值都大于等于其左右節點的值）即可，遍歷到最后得到的堆一定是大頂堆！同時調整堆的過程中只是不斷交換數組里的元素，沒有用到額外的存儲空間。

那么非葉子節點的范圍是多少呢，假設數組元素為 n，則數組下標為 1 到 n / 2 的元素是非葉子節點。下標 n / 2 + 1 到 n 的元素是葉子節點。

畫外音：假設下標 n/2+1 的節點不是葉子節點，則其左子節點下標為 (n/2 + 1) * 2 = n + 2，超過了數組元素 n，顯然不符合邏輯，由此可以證明 ?n / 2 + 1 開始的元素一定是葉子節點

示意圖如下：

如圖示：對每個非葉子節點自上而下調整后，最終得到大頂堆。

有了以上思路，不難寫出如下代碼:

/** *?對 1 妻 n/2 的非葉子節點自上而下進行堆化，以構建大頂堆*/ public?void?buildHeap()?{for?(int?i?=?n/2;?i?>?0;?i--)?{heapify(i);} }

這樣建堆的時間復雜度是多少呢，我們知道對每個元素進行堆化時間復雜度是 O(log n),那么對 1 到 n/2 個元素進行堆化，則總的時間復雜度顯然是 O(n log n)（實際上如果詳細推導，時間復雜度是 O(n)，這里不作展開，有興趣的同學建議查一下資料看下 O(n) 是怎么來的）。

知道怎么建堆，接下來排序就簡單了，對 n 個元素來說，只要移除堆頂元素（將其與最后一個元素交換），再對之前的 n-1 個元素堆化，再移除堆頂元素（將其與倒數第二個元素交換）...，不斷重復此過程即可，代碼如下:

/***?堆排序*/ public?void?heapsort()?{//?建堆buildHeap();int?i?=?n;while?(true)?{if?(i?<=?1)?{break;}//?將堆頂元素放到第?i?個位置swap(arr,?1,?i);i--;//?重新對?1?到?i?的元素進行堆化，以讓其符合大頂堆的條件heapify(1,?i);} }

時間復雜度上文已經分析過了，就是 O(n log n)，居然和快排一樣快！但堆排序實際在生產中用得并不是很多，Java 默認的數組排序（Arrays.sort()）底層也是用的快排，時間復雜度和快排一樣快，為啥堆排序卻并不受待見呢。主要有以下兩個原因

1、 快排在遞歸排序的過程中，都是拿 pivot 與相鄰的元素比較，會用到計算機中一個非常重要的定理：局部性原理，啥叫局部性原理，可以簡單理解為當 CPU 讀取到某個數據的時候，它認為這個數據附近相鄰的數據也有很大的概率會被用到，所以干脆把被讀取到數據的附近的數據也一起加載到 Cache 中，這樣下次還需要再讀取數據進行操作時，就直接從 Cache 里拿數據即可（無需再從內存里拿了），數據量大的話，極大地提升了性能。堆排序無法利用局部性原理，為啥呢，我們知道在堆化的過程中，需要不斷比較節點與其左右子節點的大小，左右子節點也需要比較其左右節點。。。

如圖示：在對節點 2 自上而下的堆化中，其要遍歷數組中 4，5，9，10... 中的元素，這些元素并不是相鄰元素，無法利用到局部性原理來提升性能

2、我們知道堆排序的一個重要步驟是把堆頂元素移除，重新進行堆化，每次堆化都會導致大量的元素比較，這也是堆排序性能較差的一個原因。

3、堆排序不是穩定排序，因為我們知道在堆化開始前要先把首位和末位元素進行交換，如果這兩元素值一樣，就可能改變他們原來在數組中的相對順序，而快排雖然也是不穩定排序，不過可以改進成穩定排序，這一點也是快排優于堆排序的一個重要的點。

堆在生產中應用

堆排序雖然不常用，但堆在生產中的應用還是很多的，這里我們詳細來看堆在生產中的幾個重要應用

1、 優先級隊列

我們知道隊列都是先進先出的，而在優先級隊列中，元素被賦予了權重的概念，權重高的元素優先執行，執行完之后下次再執行權重第二高的元素...，顯然用堆來實現優先級隊列再合適不過了，只要用一個大頂堆來實現優先級隊列即可，當權重最高的隊列執行完畢，將其移除（相當于刪除堆頂），再選出優先級第二高的元素（堆化讓其符合大頂堆 的條件），很方便，實際上我們查看源碼就知道， Java 中優先級隊列 ?PriorityQueue 就是用堆來實現的。

2、 求 TopK 問題

怎樣求出 n 個元素中前 K 個最大/最小的元素呢。假設我們要求前 K 個最大的元素，我們可以按如下步驟來做

取 n 個元素的前 K 個元素構建一個小頂堆

遍歷第 K + 1 到 ?n 之間的元素，每一個元素都與小頂堆的堆頂元素進行比較，如果小于堆頂元素，不做任何操作，如果大于堆頂元素，則將堆頂元素替換成當前遍歷的元素，再堆化以讓其滿足小頂的要求，這樣遍歷完成后此小頂堆的所有元素就是我們要求的 TopK。

每個元素堆化的時間復雜度是 O(logK)，n 個元素時間復雜度是 O(nlogK)，還是相當給力的！

3、 TP99 是生產中的一個非常重要的指標，如何快速計算

先來解釋下什么是 TP99，它指的是在一個時間段內（如5分鐘），統計某個接口（或方法）每次調用所消耗的時間，并將這些時間按從小到大的順序進行排序，取第99%的那個值作為 TP99 值，舉個例子， 假設這個方法在 5 分鐘內調用消耗時間為從 1 s 到 100 s 共 100 個數，則其 TP99 為 99，這個值為啥重要呢，對于某個接口來說，這個值越低，代表 99% 的請求都是非常快的，說明這個接口性能很好，反之，就說明這個接口需要改進，那怎么去求這個值呢？

思路如下：

創建一個大頂堆和一個小頂堆，大頂堆的堆頂元素比小頂堆的堆頂元素更小，大頂堆維護 99% 的請求時間，小頂堆維護 1% 的請求時間

每產生一個元素（請求時間），如果它比大頂堆的堆頂元素小，則將其放入到大頂堆中，如果它比小頂堆的堆頂元素大，則將其插入到小頂堆中，插入后當然要堆化以讓其符合大小頂堆的要求。

上一步在插入的過程中需要注意一下，可能會導致大頂堆和小頂堆中元素的比例不為 99:1，此時就要做相應的調整，如果在將元素插入大頂堆之后，發現比例大于 99：1，將需將大頂堆的堆頂元素移到小頂堆中，再對兩個堆堆化以讓其符合大小頂堆的要求，同理，如果發現比例小于 99: 1，則需要將小頂堆的堆頂元素移到大頂堆來，再對兩者進行堆化。

以上的大小頂堆調整后，則大頂堆的堆頂元素值就是所要求的 TP99 值。

有人可能會說以上的這些應用貌似用快排或其他排序也能實現，沒錯，確實能實現，但是我們需要注意到，在靜態數據下用快排確實沒問題，但在動態數據上，如果每插入/刪除一個元素對所有的元素進行快排，其實效率不是很高，由于要快排要全量排序，時間復雜度是 O(nlog n)，而堆排序就非常適合這種對于動態數據的排序,對于每個新添加的動態數據，將其插入到堆中，然后進行堆化，時間復雜度只有 O(logK)

總結

堆是一種非常重要的數據結構，在對動態數據進行排序時性能很高，優先級隊列底層也是普遍采用堆來管理，所以掌握堆的基本操作十分重要。另外我們也知道了 Java 的優先級隊列（PriorityQueue）也是用堆來實現的，所以再次說明了掌握基本的數據結構非常重要，對于理解上層應用的底層實現十分有幫助！

最后，歡迎大家關注公號哦。之后將會講解大量算法解題思路，希望我們一起攻克算法難題！

本人在這幾年及春招的總結，歷時3個月，我覺得很全面了，對于面試很有幫助，目前，本人已經拿到了騰訊等大廠offer，進入到大廠不是夢想，github 地址:

https://github.com/OUYANGSIHAI/JavaInterview

這么辛苦總結，給個star好不好。?點擊閱讀原文，直達

總結

以上是生活随笔為你收集整理的拜托，别再问我什么是堆了!的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。