文章目錄

• • 1. 補碼誕生的背景
  • 2. 原碼、反碼、補碼
  • • 2.1 原碼
    • 2.2 反碼
    • 2.3 補碼
  • 3. 加減法
  • • 3.1 普通算術(shù)加減法
    • 3.2 模N加減法

1. 補碼誕生的背景

不論是在生活中還是虛擬網(wǎng)絡(luò)中，人們總是習(xí)慣與10進制數(shù)字打交道，很容易理解10進制的加減乘除運算，但是我們知道計算機無法直接理解10進制，只能識別高低電平，一般人為設(shè)定0為低電平，1為高電平，所以又稱計算機是二進制的。在計算機發(fā)展早期，人們要想使用計算機，只能使用計算機看懂的二進制與計算機打交道，如穿孔紙帶，人們使用穿孔紙帶將程序和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二進制碼，帶孔為1，無孔為0，計算機讀取并處理完成后，同樣在紙帶上以二進制打孔輸出計算結(jié)果，一般人很難操作這種早期計算機，只能是專業(yè)人士才能處理二進制的轉(zhuǎn)換。隨著科技的進步，普通人也能熟練的操作計算機，表面上似乎計算機已經(jīng)理解了10進制，但是實際上，計算機最底層還是二進制的，這就需要10進制到二進制的自動轉(zhuǎn)換以及使用二進制進行各種運算。 10進制到二進制的轉(zhuǎn)換需要考慮兩方面，第一個是編碼格式，二進制中只有0和1，不同于常用的10進制使用 + 或者 - 符號代表正負數(shù)，要想讓二進制只使用1和0代表正負數(shù)，需要找到合適的編碼格式；第二個是運算，以加減運算為例，計算機內(nèi)部是比較復(fù)雜的，計算機實現(xiàn)加法運算是很容易的，若直接作減法則比較復(fù)雜，需要處理借位等等，內(nèi)部邏輯組件會增多，所以計算機一般在減去一個數(shù)的時候會轉(zhuǎn)成加上這個被減數(shù)的負數(shù)，將減法轉(zhuǎn)換成了加法，即A - B = A + （-B）。所以需要找到一種滿足這兩個方面的編碼，目前10進制轉(zhuǎn)換成二進制主要有三種方式：原碼、反碼、補碼，下面將從編碼格式和運算兩方面對比這三種編碼格式。

2. 原碼、反碼、補碼

2.1 原碼

原碼是最簡單也是最直觀的從10進制到二進制的編碼格式，人為規(guī)定原碼的最高位為符號位，正數(shù)為0，負數(shù)為1，其余所有位為10進制數(shù)的絕對值。如下面例子：

原碼的優(yōu)點是編碼格式對人很友好，類似十進制中的正負號，原碼用最高位0和1分別代碼正負數(shù)，很直觀的表示了正負數(shù)。但是原碼也有一個很大的缺點，就是無法將減法轉(zhuǎn)換成加法運算，如：4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 010 （二進制原碼） = 1110 （二進制原碼）= -6 （10進制） 上面例子計算4-2，將4-2轉(zhuǎn)換成4+(-2)并用原碼計算，得出的結(jié)果錯誤，原碼雖然很直觀轉(zhuǎn)換了10進制數(shù)，但是計算輸出的原碼值并不正確，所以計算機不能直接使用原碼存儲和計算。

2.2 反碼

反碼的出現(xiàn)，主要是為了解決原碼無法執(zhí)行減法運算的問題，人為規(guī)定反碼最高位為符號位，正數(shù)為0，負數(shù)為1，反碼正數(shù)與原碼正數(shù)格式一致，反碼負數(shù)為負數(shù)絕對值的原碼按位分別取反，如下面例子：

反碼的負數(shù)編碼格式不像原碼那樣直觀，但是卻可以將減法轉(zhuǎn)換成加法了，反碼減法規(guī)則為：A - B = A + （-B），如果最高位發(fā)生了溢位，則需要在最低位加上1，如下面兩個例子：1）4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 101 （二進制反碼） = 1 0001 （二進制反碼，發(fā)生了溢位）= 0001 + 0001（最低位加1） = 0010 （二進制反碼）= 2（10進制）2）2 - 2 （10進制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 101 （二進制反碼） = 1111 （二進制反碼）= - 0 （10進制） 運用反碼減法規(guī)則，得到的上面兩個例子的減法結(jié)果是正確的，所以計算機是可以使用反碼存儲和計算的，早期的計算機如CDC 6000、LINC、PDP-1等都是使用反碼的，但是反碼也有兩個缺點：1）0有兩種編碼，+0 （0000）和 -0 （1111），在判斷0時，需要分別判斷0000和1111；2）反碼減法的算法規(guī)則比較復(fù)雜，需要增加計算機內(nèi)部邏輯組件額外判斷溢位，會影響計算效率。

2.3 補碼

補碼是現(xiàn)代計算機使用的編碼格式，解決了上面反碼的兩個缺點。正數(shù)的補碼與原碼格式相同，負數(shù)的補碼是將負數(shù)絕對值的原碼分別按位取反，并加1，如下面例子

補碼的減法規(guī)則比較簡單，按照最簡單的轉(zhuǎn)換公式A-B = A + （-B），當(dāng)減去一個數(shù)時直接轉(zhuǎn)換成加上被減數(shù)的負數(shù)即可，不用像反碼那樣額外處理溢位，如下面兩個例子：1）4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 110 （二進制補碼） = 1 0010 （二進制補碼，發(fā)生了溢位，直接丟棄溢位）= 0010（二進制補碼） = 2（10進制）2）2 - 2 （10進制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 110 （二進制補碼） = 1 0000（二進制補碼，發(fā)生了溢位，直接丟棄溢位）= 0000 （二進制補碼） = 0（10進制） 使用了補碼的加法，上面兩個例子得出的結(jié)果都是正確的，相對于反碼，補碼加法更簡單，直接丟棄溢位，不需要針對溢位單獨處理，所以用補碼做運算效率高。雖然補碼運算過程很簡單，但是轉(zhuǎn)換和運算規(guī)則卻很難理解，要弄明白其中的原理，就需要揭開補碼背后的數(shù)學(xué)奧秘。

3. 加減法

加減運算有兩種運算方式，一種是普通算術(shù)加減法，通常生活中使用的是10進制普通算術(shù)加減法；另一種是模N加減法，計算機補碼執(zhí)行加減運算，則是使用了模N加減法。

3.1 普通算術(shù)加減法

普通算術(shù)加減法是我們在生活中一直使用的，也是最簡單和最容易理解的，通常人為使用 + 和 - 符號規(guī)定正負數(shù)，正數(shù)通常省略 + 符號， 如果10，20，-10，-20，正負數(shù)的加減運算則可以看成是一維運算，如下圖：

上圖是普通算術(shù)加減法示意圖，當(dāng)執(zhí)行加法運算時，需要向右移動，比如0+3，在0位置向右移動3位，即為0+3的結(jié)果；同樣的，當(dāng)執(zhí)行減法運算，向左移動。向左和向右是沒有盡頭的，可以一直移動到正的無窮大或者負的無窮大。普通算術(shù)加減法簡單直觀，很容易被人理解，但是對于計算機要實現(xiàn)這樣的算術(shù)加減法，既要區(qū)分正負數(shù)，又要分別實現(xiàn)加減法，設(shè)計就會很復(fù)雜，效率會很低，所以這套算術(shù)加減法并不適用計算機。所以需要找到一種不需要區(qū)分正負數(shù)就可以實現(xiàn)加減法轉(zhuǎn)換的規(guī)則，那么計算機運行效率就會最高。

3.2 模N加減法

模N加減法正是不需要區(qū)分正負數(shù)就可以實現(xiàn)加減法轉(zhuǎn)換的運算方式，不同于普通算術(shù)加減法，它是二維運算，要理解模N加減法比較困難，可以先用生活最典型的時鐘舉例，如下圖：

上面是生活中常見的時鐘，如果當(dāng)前時間為凌晨1點，要知道5個小時之后的時間是多少，只需要順時針旋轉(zhuǎn)5格，指向了6點，即為1+5的結(jié)果；如果想知道5個小時之前的時間是多少，需要逆時針旋轉(zhuǎn)5格，指向晚上8點，即為1-5的結(jié)果。時鐘順時針相當(dāng)于時間向前走，逆時針相當(dāng)于時間往后走，但是時鐘不會指向無窮大的數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)過24個小時（24小時制）又回到了原點。在時鐘轉(zhuǎn)動中，1-5的最終結(jié)果為晚上8點，逆時針旋轉(zhuǎn)5個小時就可以得到正確結(jié)果，同時也可以順時鐘旋轉(zhuǎn)19個小時（24-5，24小時制），兩種方式旋轉(zhuǎn)都最終指向了晚上8點。所以任意逆時針旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)果都能通過順時鐘旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)N個小時，與順時針旋轉(zhuǎn)24-N小時相等，24又稱為模，如果把順時針看成是加法，逆時針看成是減法，那么時鐘旋轉(zhuǎn)可以看成模24的加減法運算，滿足公式A-m=A+（24-m），即在時鐘任一時刻A點，從A點逆時針旋轉(zhuǎn)m個小時得到的結(jié)果，與從A點順時針旋轉(zhuǎn)24-m得到的結(jié)果一致。模N運算將減法轉(zhuǎn)換成了加法。 計算機使用的二進制位數(shù)是有限制的，比如4位，8位，16位，64位等等，當(dāng)數(shù)值太大超過最大位數(shù)時，會發(fā)生溢出，重新歸0，所以計算機的二進制能表示的數(shù)不是無窮大的，由于溢出歸零的特點，更像時鐘旋轉(zhuǎn)，如下圖：

上圖的四位二進制表示了從0000-1111，當(dāng)超出1111時，四位已無法表示，會發(fā)生溢出，高于四位的位會被丟掉，比如1111加上2等于10001,10001包含五位二進制，最高位1會被丟掉，實際結(jié)果為0001，與時鐘運算很相似，相當(dāng)于在1111順時針旋轉(zhuǎn)了2個數(shù)。在時鐘運算中，將順時針看成加法，逆時針看成減法，那么時鐘運算可以看成是模24的加減法，同理四位二進制也可以看成是模N的加減法，在4位二進制中，轉(zhuǎn)一圈為2^4=16，所以4位二進制的加減法為模16的加減法，減法很容易的就被轉(zhuǎn)換成了加法，即滿足模N加減法公式：A-m=A+（16-m）。 雖然根據(jù)模N加減法實現(xiàn)了加減法轉(zhuǎn)換，但此時又有新的問題，4位二進制只有1和0，是沒有區(qū)分正負數(shù)的，而人們在計算的時候是要區(qū)分正負數(shù)的，所以需要人為將部分二進制劃分為負數(shù)，另一部分劃分為正數(shù)，根據(jù)模N加減法公式A-m=A+（16-m），當(dāng)A為零點時，根據(jù)模N加減法公式得到 0-m=0+16-m，即-m=16-m，即將零點A逆時針移動m得到負數(shù)m，同時這個負數(shù)m也可以從零點A順時針移動16-m得到，零點A可以為上面四位二進制任意一位，比如定義0000或者0001為零點都是可以的，但是為了簡單運算，人為規(guī)定0000為零點，0000逆時針方向的為負數(shù)，順時針方向的為正數(shù)。如在0000逆時針旋轉(zhuǎn)1個數(shù)或者順時針旋轉(zhuǎn)16-1得到1111，那么1111代表-1，相應(yīng)的順時針移動一個數(shù)為+1，即用0001表示+1；同理在0000逆時針旋轉(zhuǎn)2個數(shù)或者順時針旋轉(zhuǎn)16-2得到1110，那么1110代表-2，相應(yīng)的順時針移動兩個數(shù)為+2，即用0010表示+2；同理1101和0011分別為-3和+3，1100和0100分別為-4和+4，1011和0101分別為-5和+5，1010和0110分別為-6和+6，1001和0111分別為-7和+7，但是1000比較特殊，0000逆時針旋轉(zhuǎn)8個數(shù)得到1000，所以1000為-8，相應(yīng)的順時針旋轉(zhuǎn)8個數(shù)也得到了1000，1000既能表示-8又能表示+8，為了不產(chǎn)生沖突，人為規(guī)定1000為-8。如下圖：

上圖中的四位二進制根據(jù)模N加減法劃分出了正負數(shù)，同理對任意n位二進制，模N等于=2^n，根據(jù)上面的模N加減法公式得到-m = N - m = 2^n - m = (2^n -1) - m + 1，最終得到了負數(shù)推導(dǎo)公式-m = (2^n -1) - m + 1，（2^n-1）-m即為負數(shù)的原碼絕對值按位取反，之后再加上1可以快速得到負數(shù)編碼，又稱這種負數(shù)編碼為補碼。補碼負數(shù)范圍轉(zhuǎn)換成10進制為 -1 ~ -2^（n-1），正數(shù)范圍轉(zhuǎn)換成10進制為 0 ~ 2^（n-1）-1，所以補碼轉(zhuǎn)換成10進制為 -2^（n-1） ~ 2^（n-1）-1。4. 總結(jié) 要想弄清楚補碼，必須要弄清楚補碼要解決的問題，計算機是二進制的，無法直接表示正負數(shù)，另外在計算機內(nèi)部直接實現(xiàn)減法，也會影響計算機效率，所以人們希望要找到一種既能使用二進制表示10進制正負數(shù)的編碼格式，同時這種編碼格式又能滿足將減法轉(zhuǎn)換成加法進行運算，同時滿足這兩個條件有反碼和補碼，但由于反碼中的0有兩個編碼格式，另外反碼加法運算也比較復(fù)雜，慢慢地反碼被淘汰了。補碼剛好解決了反碼的兩個缺點，所以補碼成了現(xiàn)代計算機的通用編碼。 補碼加減法運算不同于常規(guī)的算術(shù)加減法，補碼使用了模N加減法，要想完全理解補碼，首先要理解模N加減法。

總結(jié)

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