近世代数--群同构--第二同构定理
近世代數--群同構--第二同構定理
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
先驗知識在第一同構定理。
第二同構定理：H≤G,N≤G,N?G，H\le G,N\le G,N\triangleleft G，H≤G,N≤G,N?G，有H/(H∩N)?HN/NH/(H\cap N)\cong HN/NH/(H∩N)?HN/N
證明：根據第一同構定理，我們把HHH看作GGG，HN/NHN/NHN/N看作G′G'G′，H∩NH\cap NH∩N看作Ker(f),f:G→G′Ker(f),f:G\rightarrow G'Ker(f),f:G→G′，就自然有第二同構定理成立。
滿足第一同構定理有兩個條件：
- 條件1：f:H→HN/Nf:H\rightarrow HN/Nf:H→HN/N是滿同態；
- 條件2： H∩NH\cap NH∩N是Ker(f)Ker(f)Ker(f)；
定義：f(h)=hN(H→HN/N)f(h)=hN(H\rightarrow HN/N)f(h)=hN(H→HN/N)，本來應該定義f(h)=hnNf(h)=hnNf(h)=hnN，但是從原像看，沒有nnn可以提供；而且h∈H?HNh\in H\subset HNh∈H?HN，是符合定義的；所以這里的定義只是針對所有原像定義了到像的映射。
證明條件1：
-
同態：
-
是一個映射：要證h1=h2→f(h1)=f(h2)h_1=h_2\rightarrow f(h_1)=f(h_2)h1?=h2?→f(h1?)=f(h2?)，
易證：h1=h2→h1N=h2N→f(h1)=f(h2)h_1=h_2\rightarrow h_1N=h_2N\rightarrow f(h_1)=f(h_2)h1?=h2?→h1?N=h2?N→f(h1?)=f(h2?) -
保持運算：要證f(h1h2)=f(h1)f(h2)f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2)f(h1?h2?)=f(h1?)f(h2?)
- N?G,→?g∈G,gN=NgN\triangleleft G,\rightarrow \forall g\in G,gN=NgN?G,→?g∈G,gN=Ng
H≤G→?h∈H?G,hN=NhH\le G\rightarrow \forall h\in H\subset G,hN=NhH≤G→?h∈H?G,hN=Nh - f(h1h2)=h1h2N=h1h2NN=h1(h2N)N=h1(Nh2)N=h1Nh2N=(h1N)(h2N)=f(h1)f(h2)f(h_1h_2)\\=h_1h_2N\\=h_1h_2NN\\=h_1(h_2N)N\\=h_1(Nh_2)N\\=h_1Nh_2N\\=(h_1N)(h_2N)\\=f(h_1)f(h_2)f(h1?h2?)=h1?h2?N=h1?h2?NN=h1?(h2?N)N=h1?(Nh2?)N=h1?Nh2?N=(h1?N)(h2?N)=f(h1?)f(h2?)
- N?G,→?g∈G,gN=NgN\triangleleft G,\rightarrow \forall g\in G,gN=NgN?G,→?g∈G,gN=Ng
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滿射：要證?hN∈HN/N,?h\forall hN\in HN/N,{\exists} h?hN∈HN/N,?h使得f(h)=hNf(h)=hNf(h)=hN，易得。
證明條件2：
- 證明H∩NH\cap NH∩N是內核，從內核定義出發，要證H∩N=Ker(f)H\cap N=Ker(f)H∩N=Ker(f)
f:H→HN/N,f(h)=hN，Ker(f)={h:h∈H,f(h)=1HN/N}f:H\rightarrow HN/N,f(h)=hN，Ker(f)=\{h:h\in H,f(h)=1_{HN/N}\}f:H→HN/N,f(h)=hN，Ker(f)={h:h∈H,f(h)=1HN/N?}
我們知道1HN/N=N1_{HN/N}=N1HN/N?=N，那么Ker(f)={h:h∈H,f(h)=N}={h:h∈H,hN=N}={h:h∈H,h∈N}=H∩N\\Ker(f)\\=\{h:h\in H,f(h)=N\}\\=\{h:h\in H,hN=N\}\\=\{h:h\in H,h\in N\}\\= H\cap NKer(f)={h:h∈H,f(h)=N}={h:h∈H,hN=N}={h:h∈H,h∈N}=H∩N
總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--群同构--第二同构定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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