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近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子

發(fā)布時間：2025/3/21 编程问答 21 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

近世代數(shù)--有限交換群--存在元素的階是群階的素因子

- 設(shè) $G$ 為有限交換群， $∣ G ∣ = n = p m, p$ 為素數(shù)， $?a∈G,{\exists}a\in G,$ 使得 $∣ a ∣ = p$

博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數(shù)，方便檢索。

先從特殊的有限交換群–循環(huán)群開始：循環(huán)群 $G = < a >, ∣ G ∣ = n ，$ 對于 $?m∣n,?H≤G,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,$ 使得 $∣ H ∣ = m$

證明： $m∣n→n=mtm\mid n\rightarrow n=mt$ ，由此構(gòu)造子群
$b=at,?a∈G,bm=(at)m=atm=an=eb=a^t,\forall a\in G,\\b^m=(a^t)^m=a^{tm}=a^n=e$
則 $H = , ∣ H ∣ = m$

設(shè) $G$ 為有限交換群， $∣ G ∣ = n = p m, p$ 為素數(shù)， $?a∈G,{\exists}a\in G,$ 使得 $∣ a ∣ = p$

證明：數(shù)學(xué)歸納法
（1） 當(dāng) $m = 1$ 時， $∣ G ∣ = n = p$ ，由素數(shù)階群是循環(huán)群得 $G$ 是循環(huán)群，那么就可以用 $G = < a >$ 表示。
$∣G∣=∣<a>∣=p→ap=e,∣a∣=p|G|=|<a>|=p\\\rightarrow a^p=e,|a|=p$

（2） 假設(shè)在小于 $m$ 時結(jié)論成立；

（3） 證明 $m$ 時結(jié)論成立：
構(gòu)造子群 $H=<a>,?a∈G&a≠e;→∣H∣∣∣G∣=pm→∣H∣∣p，or∣H∣∣m，or(∣H∣∣m,∣H∣∣p)H=<a>,\forall a\in G \&a\neq e;\rightarrow |H|\mid |G|=pm\rightarrow |H|\mid p， or |H| \mid m，or (|H|\mid m,|H|\mid p)$

我本來想分類成 $∣H∣∣p|H|\mid p$ 和 $∣H∣?p|H|\nmid p$ ，但是在 $s=∣H∣?ps=|H|\nmid p$ 時無法推出 $(∣ H ∣, p) = 1,$ 因為有可能 $∣ H ∣ = k p > p$ ；
所以改成 $p∣∣H∣p\mid |H|$ 和 $p?∣H∣,p?∣H∣→∣H∣≠p,∣H∣?p→(∣H∣,p)=1p\nmid |H|,p\nmid |H|\rightarrow |H|\neq p,|H|\nmid p\rightarrow (|H|,p)=1$

（i） $p∣∣H∣p\mid |H|$ ，
由前一個小定理：循環(huán)群 $G = < a >, ∣ G ∣ = n ，$ 對于 $?m∣n,?H≤G,\forall m\mid n,{\exists}H\le G,$ 使得 $∣ H ∣ = m$ 得到：
- 對于 $H = < a >$ 這個循環(huán)群， $p∣∣H∣p\mid |H|$ ，那么 $?H′≤H,∣H′∣=p{\exists}H'\le H,|H'|=p$
- 根據(jù)循環(huán)群的子群也是循環(huán)群知： $H^{'}$ 是循環(huán)群， $H′=,b∈H′?H?GH'=,b\in H'\subset H\subset G$
- 那么 $∣H′∣=p→∣∣=p→bp=e,∣b∣=p,b∈G|H'|=p\rightarrow ||=p\rightarrow b^p=e,|b|=p,b\in G$
（ii） $p?∣H∣p\nmid |H|$
- 構(gòu)造商群(滿足第（2）條)： $Gˉ=G/H\bar{G}=G/H$ ，那么 $∣Gˉ∣=∣G∣∣H∣=pm∣H∣=p?m∣H∣|\bar{G}|=\frac{|G|}{|H|}=\frac{pm}{|H|}=p·\frac{m}{|H|}$
 令 $m′=m∣H∣m'=\frac{m}{|H|}$ ，因為 $p?∣H∣→∣H∣?p,∣H∣∣mp→∣H∣∣mp\nmid |H|\rightarrow |H|\nmid p,|H|\mid mp\rightarrow |H|\mid m$ ，則 $m^{'}$ 為正整數(shù)。
- $∣H∣∣m→1<∣H∣≤m→m∣H∣=m′,1≤m′<m→∣Gˉ∣=pm′，m′<m，|H|\mid m\\\rightarrow 1<|H|\le m\\\rightarrow \frac{m}{|H|}=m',1\le m'<m\\\rightarrow |\bar{G}|=pm'，m'<m，$ 符合第 （2） 條 $→?b∈G,bH∈Gˉ,\\\rightarrow {\exists}b \in G,bH\in \bar{G},$ 使得 $∣ b H ∣ = p,$ 即 $(bH)p=eGˉ=e{bH:b∈G}=H→(bH)p=H(bH)^p=e_{\bar{G}}=e_{\{bH:b\in G\}}=H\\\rightarrow (bH)^p=H$ ，且 $H≤GH\le G$ 為有限交換群 $→bp∈H\\\rightarrow b^p\in H$
- 假設(shè) $∣ H ∣ = s,$ 即 $∣H∣=∣<a>∣=s→as=eH=eG=e,bp∈H→(bp)s=e→(bs)p=e|H|=|<a>|=s\\\rightarrow a^s=e_H=e_G=e,b^p\in H\\\rightarrow (b^p)^s=e\\\rightarrow (b^s)^p=e$
- 現(xiàn)在已經(jīng)找到階可能為 $p$ 的元素，要證其階確實為 $p$ ，還需證 $bs≠eb^s\neq e$ 和 $?d<p,\forall d<p,$ 不滿足 $b^s)^d=e$
 - $bs≠eb^s\neq e$ ：
 反證：假設(shè) $b^s=e$ ，
 $p?∣H∣→p?∣H∣=s→s≠p→s?p→(s,p)=1→?k,l∈Z,sk+pl=1→b=bsk+pl=(bs)k?(bp)l=ek?(bp)l=(bp)l∈Hp\nmid |H|\\\rightarrow p\nmid |H|=s\\\rightarrow s\neq p\\\rightarrow s\nmid p\\\rightarrow (s,p)=1\\\rightarrow {\exists}k,l\in Z,sk+pl=1\\\rightarrow b=b^{sk+pl}=(b^s)^k·(b^p)^l=e^k·(b^p)^l=(b^p)^l\in H$
 $b≠Hb\neq H$ ，因為 $b∈H→bH=H→p=∣bH∣=∣H∣=sb\in H\rightarrow bH=H\rightarrow p=|bH|=|H|=s$ ，與 $p≠sp\neq s$ 矛盾。
 - $?d<p,\forall d<p,$ 不滿足 $b^s)^d=e$ ：
 反證：假設(shè) $?d<p,{\exists}d<p,$ 滿足 $b^s)^d=e$
 有 $d∣p,d\mid p,$ 因為
 $d?p→(d,p)=1→?x,y∈Z,dx+py=1→bs=(bs)dx+py=((bs)d)x?((bs)p)y=ex?ey=ed\nmid p \\\rightarrow (d,p)=1\\\rightarrow {\exists}x,y\in Z,dx+py=1\\\rightarrow b^s=(b^s)^{dx+py}=((b^s)^d)^x·((b^s)^p)^y=e^x·e^y=e$ 與 $bs≠eb^s\neq e$ 矛盾
 $d∣p→d=p,or,d=1→(bs)p=e,or,(bs)1=e,d\mid p\\\rightarrow d=p,or, d=1\\\rightarrow (b^s)^p=e,or, (b^s)^1=e,$ 又 $bs≠e→(bs)p=eb^s\neq e\\\rightarrow (b^s)^p=e$
 即我們假設(shè) $?d<p{\exists}d<p$ ，使得 $b^s)^d=e$ 推出的還是 $b^s)^p=e$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--有限交换群--存在元素的阶是群阶的素因子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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