近世代數--整環--高斯整環

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

高斯整環是一類重要的整環，高斯(Gauss)最先對這個環進行研究，從而開創了代數數論的研究領域。

這里有簡單描述整環的基本概念：含幺環、交換環、無零因子。

無零因子：在一個無零因子的環中$?$左右消去律成立：$?a,b,c\in$環$R,c=0,$如果$ac=bc，$或$ca=cb$，則$a=b$。
證明：$ac=bc\to (a?b)c=0$，因為$c=0,$環$R$無零因子，$a?b=0$，同理，左消去律也成立。

高斯整環：$Z[i]=\{a+bi|a,b\in Z\}$
證明是整環：先證明$Z[i]$是$C$子環(復數域，也是復數整環)

• $Z[i]$是$C$子環：
  • 減法封閉：$?\alpha ,\beta \in Z[i],\alpha ?\beta \in Z[i]$
    對$$\begin{gathered} ?\alpha =a+bi,\beta =c+di\in Z[i],a、b、c、d\in Z, \\ \alpha ?\beta =(a?c)+(b?d)i, \\ a、b、c、d\in Z\to a?c\in Z,b?d\in Z\to \alpha ?\beta \in Z[i] \end{gathered}$$
  • 乘法封閉：$?\alpha ,\beta \in Z[i],\alpha ?\beta \in Z[i]$
    對$$\begin{gathered} ?\alpha =a+bi,\beta =c+di\in Z[i],a、b、c、d\in Z, \\ \alpha ?\beta =ac+adi+bci?bd=(ac?bd)+(ad+bc)i, \\ a、b、c、d\in Z\to ac?bd\in Z,ad+bc\in Z\to \alpha ?\beta \in Z[i] \end{gathered}$$
• 交換環：$C$是交換環，$\to Z[i]$是交換環；
• 無零因子：$C$是無零因子環，$\to Z[i]$無零因子；
• 含幺環：$1=1+0i\in Z[i]$是$Z[i]$的單位元。
• 求$Z[i]$單位/可逆元：
  設$\alpha =a+bi$是$Z[i]$的任一單位，則$?\beta =x+yi\in Z[i]，$使得$$\begin{gathered} \alpha ?\beta =1 \\ \alpha \beta \overline{\alpha \beta }=1 \\ \alpha \bar{\alpha }\beta \bar{\beta }=1 \\ (a^2+b^2)(x^2+y^2)=1 \end{gathered}$$，因為$a、b、x、y\in Z$，所以$$\begin{gathered} {a}^2+b^2=1 \\ a=\pm 1,b=0 \end{gathered}$$ 或 $$\begin{gathered} a=0,b=\pm 1 \\ \alpha =1,?1,i,?i \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环--高斯整环的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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