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编程问答

近世代数--素理想--I是R的素理想↔R/I是整环

發布時間:2025/3/21 编程问答 35 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 近世代数--素理想--I是R的素理想↔R/I是整环 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

近世代數--素理想--I是R的素理想?R/I是整環

博主是初學近世代數(群環域),本意是想整理一些較難理解的定理、算法,加深記憶也方便日后查找;如果有錯,歡迎指正。
我整理成一個系列:近世代數,方便檢索。

商環類似商群,通過對環、理想限制某些條件,可以構造出不同特點的環。現在我們通過素理想,構造整環;通過極大理想,構造域。

  • 商環quotient ringR/IR/IR/I

    RRR是一個環,IIIRRR的理想,則(I,+)(I,+)(I,+)(R,+)(R,+)(R,+)的加法子群,(I,+)(I,+)(I,+)(R,+)(R,+)(R,+)的正規子群,即(I,+)?(R,+)(I,+)\triangleleft(R,+)(I,+)?(R,+)

    • 商群R/I={xˉ=x+I∣x∈R}R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in R\}R/I={xˉ=x+IxR}
    • 加法"+""+""+"定義為xˉ+yˉ=x+y ̄,x,y∈R\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y},x,y\in Rxˉ+yˉ?=x+y?,x,yR
    • 乘法"?""·""?"定義為xˉ?yˉ=xy ̄,x,y∈R\bar{x}·\bar{y}=\overline{xy},x,y\in Rxˉ?yˉ?=xy?,x,yR

    (R/I,+,?)(R/I,+,·)(R/I,+,?)是環RRR關于理想III的商環。

    證明:

    • 乘法定義:x1,x2,y1,y2∈R,x_1,x_2,y_1,y_2\in R,x1?,x2?,y1?,y2?R,x1 ̄=x2 ̄,y1 ̄=y2 ̄,x1y1?x2y2=x1y1?x1y2+x1y2?x2y2=x1(y1?y2)+y2(x1?x2),\overline{x_1}=\overline{x_2},\overline{y_1}=\overline{y_2},\\x_1y_1-x_2y_2\\=x_1y_1-x_1y_2+x_1y_2-x_2y_2\\=x_1(y_1-y_2)+y_2(x_1-x_2),x1??=x2??,y1??=y2??,x1?y1??x2?y2?=x1?y1??x1?y2?+x1?y2??x2?y2?=x1?(y1??y2?)+y2?(x1??x2?),
      因為x1 ̄=x2 ̄→x1+I=x2+I→x1?x2=I?I∈I,\overline{x_1}=\overline{x_2}\\\rightarrow x_1+I=x_2+I\\\rightarrow x_1-x_2=I-I\in I,x1??=x2??x1?+I=x2?+Ix1??x2?=I?II,同理,y1?y2∈I,y_1-y_2\in I,y1??y2?I,所以
      x1y1?x2y2∈I→x1y1 ̄=x2y2 ̄x_1y_1-x_2y_2\in I\rightarrow \overline{x_1y_1}=\overline{x_2y_2}x1?y1??x2?y2?Ix1?y1??=x2?y2??,由此定義了乘法運算。
      其實跟商群類似,a?1b∈H→aH=bH,a,b∈Ga^{-1}b\in H\rightarrow aH=bH,a,b\in Ga?1bHaH=bH,a,bG,
      商環:a?b∈I→a+I=b+I,a,b∈Ra-b\in I\rightarrow a+I=b+I,a,b\in Ra?bIa+I=b+I,a,bR
    • 加法交換:易得,?x1,x2∈R,x1 ̄+x2 ̄=x1+x2 ̄=x2+x1 ̄=x2 ̄+x1 ̄\forall x_1,x_2\in R,\overline{x_1}+\overline{x_2}=\overline{x_1+x_2}=\overline{x_2+x_1}=\overline{x_2}+\overline{x_1}?x1?,x2?R,x1??+x2??=x1?+x2??=x2?+x1??=x2??+x1??
    • 結合律:易得,?x,y,z∈R,(x ̄?y ̄)?z ̄=xy ̄?z ̄=xyz ̄;x ̄?(y ̄?z ̄)=x ̄?yz ̄=xyz ̄\forall x,y,z\in R,(\overline{x}·\overline{y})·\overline{z}=\overline{xy}·\overline{z}=\overline{xyz}; \\\overline{x}·(\overline{y}·\overline{z})=\overline{x}·\overline{yz}=\overline{xyz}?x,y,zR,(x?y?)?z=xy??z=xyz?x?(y??z)=x?yz?=xyz?
    • 分配律:易得,?x,y,z∈R,x ̄?(y ̄+z ̄)=(x ̄?y ̄)+(x ̄?z ̄);(y ̄+z ̄)?x ̄=(y ̄?x ̄)+(z ̄?x ̄)\forall x,y,z\in R,\overline{x}·(\overline{y}+\overline{z})=(\overline{x}·\overline{y})+(\overline{x}·\overline{z});\\(\overline{y}+\overline{z})·\overline{x}=(\overline{y}·\overline{x})+(\overline{z}·\overline{x})?x,y,zR,x?(y?+z)=(x?y?)+(x?z)(y?+z)?x=(y??x)+(z?x)
  • 商環的性質

    • 零元:0 ̄=0+I\overline{0}=0+I0=0+I
    • 單位元/幺元:e ̄=e+I\overline{e}=e+Ie=e+I
    • 交換性: RRR是交換環→R/I\rightarrow R/IR/I是交換環
  • 商環例子Z/<m>=ZmZ/<m>=Z_mZ/<m>=Zm?

    Z/<m>={aˉ=a+<m>∣a=0,1,……m?1}Z/<m>=\{\bar{a}=a+<m>|a=0,1,……m-1\}Z/<m>={aˉ=a+<m>a=0,1,m?1}

  • 素理想prime idealPPP

    RRR為環,PPPRRR的真理想,(這里是真理想的定義),如果對于?a,b∈R,ab∈P,\forall a,b\in R,ab\in P,?a,bR,abP,可得到a∈P,a\in P,aP,b∈P,b\in P,bP,PPPRRR的素理想。

  • 素理想例子

    • Z18Z_{18}Z18?的所有素理想。

      ZmZ_mZm?的理想是dZm,d∈ZdZ_m,d\in ZdZm?,dZ,得Z18Z_{18}Z18?有6個理想:<0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9><0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9><0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9>

      • <1><1><1>不是真子集;
      • 222x3=6∈<6>,2?<6>,3?<6>,<6>3=6\in <6>,2\notin <6>,3\notin <6>,<6>3=6<6>,2/?<6>,3/?<6>,<6>不是素理想
      • 333x3=9∈<9>,3?<9>,<9>3=9\in <9>,3\notin <9>,<9>3=9<9>,3/?<9>,<9>不是素理想
      • 333x6=0∈<0>,3?<0>,6?<0>,<0>6=0\in <0>,3\notin <0>,6\notin <0>,<0>6=0<0>,3/?<0>,6/?<0>,<0>不是素理想
      • <3><3><3>是真子集,因為a、b∈Z18,ab∈<3>,→ab≡3r(mod18)→18∣ab?3r→ab?3r=18k,k∈Z→3r=ab?18k,k∈Z→3∣ab→3∣a,a、b\in Z_{18},ab\in <3>,\rightarrow ab\equiv 3r(mod 18)\rightarrow 18\mid ab-3r\rightarrow ab-3r=18k,k\in Z\rightarrow 3r=ab-18k,k\in Z\rightarrow 3\mid ab\rightarrow 3\mid a ,abZ18?,ab<3>,ab3r(mod18)18ab?3rab?3r=18k,kZ3r=ab?18k,kZ3ab3a,或者3∣b3\mid b3b
      • <2><2><2>是真子集,同理<3><3><3>

      所以Z18Z_{18}Z18?的所有素理想是<2>、<3><2>、<3><2><3>

    • <n><n><n>ZZZ的所有素理想?n\leftrightarrow n?n為素數

      • <n><n><n>ZZZ的所有素理想→n\rightarrow nn為素數或n=0n=0n=0

        反證法:nnn為合數→<n>\rightarrow <n><n>不是ZZZ素理想

        • n=0n=0n=0<n><n><n>ZZZ素理想;
        • n=1n=1n=1,與真子集矛盾;
        • nnn為合數,ab=n∈<n>,a?<n>,b?<n>,ab=n\in <n>,a\notin <n>,b\notin <n>,ab=n<n>,a/?<n>,b/?<n>,矛盾;
      • nnn為素數→<n>\rightarrow <n><n>ZZZ的所有素理想

        ab∈<n>→n∣ab→n∣a,ab\in <n>\rightarrow n\mid ab\rightarrow n\mid a,ab<n>nabna, 或者 n∣b→a∈<n>,n\mid b\rightarrow a\in <n>,nba<n>, 或者b∈<n>b\in <n>b<n>

  • 素理想?\leftrightarrow?整環:如果RRR是一個交換環,有單位元e≠0e\neq 0e?=0IIIRRR的理想,則IIIRRR的素理想的充分必要條件是R/IR/IR/I是整環。

    證明:

    • IIIRRR的素理想→R/I\rightarrow R/IR/I是整環

      • R/IR/IR/I不只有一個元素:IIIRRR的素理想→I\\\rightarrow IIRRR的真理想→R/I={xˉ=x+I∣x∈R},\\\rightarrow R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in R\},R/I={xˉ=x+IxR},如果I=R,R/I={xˉ=x+I∣x∈I}={I}={0+I}={0ˉ}I=R,R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in I\}=\{I\}=\{0+I\}=\{\bar{0}\}I=R,R/I={xˉ=x+IxI}={I}={0+I}={0ˉ},因為I≠R,→R/I≠{0ˉ}I\neq R,\\\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}I?=R,R/I?={0ˉ}
      • RRR是有單位元的交換環→R/I\rightarrow R/IR/I是有單位元的交換環
      • aˉ、bˉ∈R/I,\bar{a}、\bar{b}\in R/I,aˉbˉR/I,使aˉ?bˉ=0ˉ,→ab ̄=0ˉ=I,ab ̄=ab+I,ab∈I,→a∈I\bar{a}·\bar{b}=\bar{0},\\\rightarrow \overline{ab}=\bar{0}=I, \overline{ab}=ab+I,ab\in I,\\\rightarrow a\in Iaˉ?bˉ=0ˉ,ab=0ˉ=I,ab=ab+I,abI,aIb∈I→aˉ=0ˉb\in I\\\rightarrow \bar{a}=\bar{0}bIaˉ=0ˉbˉ=0ˉ→R/I\bar{b}=\bar{0}\\\rightarrow R/Ibˉ=0ˉR/I無零因子
      • R/IR/IR/I是整環
    • R/IR/IR/I是整環→I\rightarrow IIRRR的素理想

      • R/IR/IR/I是整環→R/I\\\rightarrow R/IR/I是有單位元{eˉ}\{\bar{e}\}{eˉ}的交換環→R/I≠{0ˉ}→I\\\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}\\\rightarrow IR/I?={0ˉ}IRRR的真理想
      • R/IR/IR/I是整環→R/I\\\rightarrow R/IR/I無零因子→a,b∈R,\\\rightarrow a,b\in R,a,bR,ab∈I,ab\in I,abI,aˉ?bˉ=0ˉ∈R/I,→aˉ=0ˉ\bar{a}·\bar{b}=\bar{0}\in R/I,\\\rightarrow \bar{a}=\bar{0}aˉ?bˉ=0ˉR/I,aˉ=0ˉbˉ=0ˉ→a∈I\bar{b}=\bar{0}\\\rightarrow a\in Ibˉ=0ˉaIb∈I→Ib\in I\\\rightarrow IbIIRRR的素理想

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--素理想--I是R的素理想↔R/I是整环的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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