近世代數(shù)--環(huán)同態(tài)--環(huán)同態(tài)基本定理

• 環(huán)同態(tài)基本定理

博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：近世代數(shù)，方便檢索。

環(huán)同態(tài)跟群同態(tài)類似。

有一些概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)。

• 同態(tài)映射homorphism：

  設(shè)$R$和$R^{\prime }$是兩個(gè)環(huán)，$\phi$是集合$R$到$R^{\prime }$的映射，如果有$?a,b\in R$，有$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，則稱$\phi$是環(huán)$R$到環(huán)$R^{\prime }$的一個(gè)同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)。

• 單同態(tài)monomorphism：$\phi$是單映射

• 滿同態(tài)epimorphism：$\phi$是滿映射

• 同構(gòu)isomorphism：$\phi$是單同態(tài)，又是滿同態(tài)

• 單位元映射：$R$和$R^{\prime }$都是有單位元的環(huán)，$e$和$e^{\prime }$分別是單位元，$\phi$是$R$到$R^{\prime }$的環(huán)同態(tài)。那么

  • 如果$\phi$是滿同態(tài)，則$\phi (e)=e^{\prime }$

    $$\begin{gathered} ?a^{\prime }\in R^{\prime },?a,\phi (a)=a^{\prime }, \\ \phi (e)a^{\prime }=\phi (e)\phi (a)=\phi (ea)=\phi (a)=a^{\prime }, \\ {a}^{\prime }\phi (e)=\phi (a)\phi (e)=\phi (ae)=\phi (a)=a^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$R$是無(wú)零因子環(huán)，則$\phi (e)=e^{\prime }$

    $R$無(wú)零因子$\to$左右消去律成立
    令$$\begin{gathered} r^{\prime }=\phi (e), \\ {r}^{\prime }\phi (e)=\phi (e)\phi (e)=\phi (e)=r^{\prime }=r^{\prime }{e}^{\prime } \\ \to \phi (e)=e^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$\phi (e)=e^{\prime }$，則對(duì)$R$中任一可逆元$u,\phi (u)$是$R^{\prime }$的單位，且$\phi (u{)}^{?1}=\phi (u^{?1})$

    $\phi (u^{?1})?\phi (u)=\phi (u^{?1}u)=\phi (e)=e^{\prime }$
    $\phi (u)?\phi (u^{?1})=\phi (u{u}^{?1})=\phi (e)=e^{\prime }$

• 同態(tài)核：設(shè)$\phi ：R\to R^{\prime }$，集合$K=\{a\in R|\phi (a)=0\}$為同態(tài)$\phi$的核，記作$Ker\phi$

• 同態(tài)核是理想$\phi ?R$：通過(guò)定義易證。

環(huán)同態(tài)基本定理

設(shè)$\phi ：R\to R^{\prime }$，是滿同態(tài)，則有環(huán)同構(gòu)$\bar{\phi }:R/Ker\phi ?R^{\prime }$

證明：

• 映射：$\bar{a}=\bar{b}\to \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})$

  $\bar{\phi }:R/K\to R^{\prime },\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)$
  當(dāng)$$\begin{gathered} \bar{a}=\bar{b}, \\ \to a?b\in K \\ \to \phi (a?b)=0 \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 同態(tài)：

  $$\begin{gathered} ?\bar{a},\bar{b}\in R/K, \\ \bar{\phi }(\bar{a}+\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{a+b})=\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})+\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \bar{\phi }(\bar{a}\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{ab})=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 滿同態(tài)：

  $?a^{\prime }\in R^{\prime },\phi$是滿同態(tài)，$$\begin{gathered} ?a\in R,\phi (a)=a^{\prime }, \\ ?\bar{a}\in R/K, \end{gathered}$$使得$\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=a^{\prime },$
  所以$\bar{\phi }$是滿同態(tài)

• 單同態(tài)：反證$\bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})\to \bar{a}=\bar{b}$

  $$\begin{gathered} \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \phi (a)?\phi (b)=0 \\ \to \phi (a?b)=0 \\ \to a?b\in Ker\phi \\ \to \bar{a}=\bar{b} \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环同态--环同态基本定理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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