近世代數(shù)--環(huán)同態(tài)--環(huán)的第二同構(gòu)定理

博主是初學近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數(shù)，方便檢索。

$R$是環(huán)，$S\le R,I?R,$要證

• $S\cap I?S,$
• $S/(S\cap I)?(S+I)/I$

證明：根據(jù)環(huán)同態(tài)基本定理：$\phi :R\to R^{\prime }$是滿同態(tài)，則$R/Ker\phi ?R^{\prime }$，我們應(yīng)該構(gòu)造如下：

• $\phi :S\to (S+I)/I$是滿同態(tài)
• $S\cap I=Ker\phi$

但是$\phi$直接構(gòu)造比較難，我們應(yīng)該先借助自然同態(tài)$\sigma :S+I\to (S+I)/I$

• 構(gòu)造同態(tài)$\phi$：

  我們有$I?S+I,\to (\sigma :S+I\to (S+I)/I)$是自然同態(tài)（環(huán)到其商環(huán)的映射，是滿同態(tài)，稱為自然同態(tài)）
  $\sigma (s+x)=\overline{s+x},s\in S,x\in I$

  借助$\sigma$，構(gòu)造同態(tài)$\phi :S\to (S+I)/I,\phi (s)=\sigma (s),s\in S$

• $\phi$是滿同態(tài)：

  $$\begin{gathered} ?\overline{s+x}\in S+I,s\in S,x\in I, \\ ?s\in S, \end{gathered}$$使得$\phi (s)=\sigma (s)=\bar{s}=\overline{s+x}$

• $S\cap I=Ker\phi$

  $$\begin{gathered} Ker\phi \\ =\{s\in S|\phi (s)=\bar{0}\} \\ =\{s\in S|\sigma (s)=I\} \\ =\{s\in S|s\in I\} \\ =S\cap I \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环同态--环的第二同构定理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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