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编程问答

自动微分(Automatic Differentiation)

發(fā)布時間:2025/3/21 编程问答 26 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 自动微分(Automatic Differentiation) 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

目錄

什么是自動微分

手動求解法

數(shù)值微分法

符號微分法

自動微分法

自動微分Forward Mode

自動微分Reverse Mode

參考引用


現(xiàn)代深度學習系統(tǒng)中(比如MXNet, TensorFlow等)都用到了一種技術(shù)——自動微分。在此之前,機器學習社區(qū)中很少發(fā)揮這個利器,一般都是用Backpropagation進行梯度求解,然后進行SGD等進行優(yōu)化更新。手動實現(xiàn)過backprop算法的同學應該可以體會到其中的復雜性和易錯性,一個好的框架應該可以很好地將這部分難點隱藏于用戶視角,而自動微分技術(shù)恰好可以優(yōu)雅解決這個問題。接下來我們將一起學習這個優(yōu)雅的技術(shù):-)。本文主要來源于陳天奇在華盛頓任教的課程CSE599G1: Deep Learning System和《Automatic differentiation in machine learning: a survey》。

什么是自動微分

微分求解大致可以分為4種方式:

  • 手動求解法(Manual Differentiation)
  • 數(shù)值微分法(Numerical Differentiation)
  • 符號微分法(Symbolic Differentiation)
  • 自動微分法(Automatic Differentiation)

為了講明白什么是自動微分,我們有必要了解其他方法,做到有區(qū)分有對比,從而更加深入理解自動微分技術(shù)

手動求解法

手動求解其實就對應我們傳統(tǒng)的backprop算法,我們求解出梯度公式,然后編寫代碼,代入實際數(shù)值,得出真實的梯度。在這樣的方式下,每一次我們修改算法模型,都要修改對應的梯度求解算法,因此沒有很好的辦法解脫用戶手動編寫梯度求解的代碼,這也是為什么我們需要自動微分技術(shù)的原因。

數(shù)值微分法

數(shù)值微分法是根據(jù)導數(shù)的原始定義:

那么只要h hh取很小的數(shù)值,比如0.0001,那么我們可以很方便求解導數(shù),并且可以對用戶隱藏求解過程,用戶只要給出目標函數(shù)和要求解的梯度的變量,程序可以自動給出相應的梯度,這也是某種意義上的“自動微分”?。不幸的是,數(shù)值微分法計算量太大,求解速度是這四種方法中最慢的,更加雪上加霜的是,它引起的roundoff error和truncation error使其更加不具備實際應用場景,為了彌補缺點,便有如下center difference approximation:

可惜并不能完全消除truncation error,只是將誤差減小。雖然數(shù)值微分法有如上缺點,但是由于它實在是太簡單實現(xiàn)了,于是很多時候,我們利用它來檢驗其他算法的正確性,比如在實現(xiàn)backprop的時候,我們用的"gradient check"就是利用數(shù)值微分法。

符號微分法

符號微分是代替我們第一種手動求解法的過程,利用代數(shù)軟件,實現(xiàn)微分的一些公式比如:

然后對用戶提供的具有closed form的數(shù)學表達式進行“自動微分"求解,什么是具有closed form的呢?也就是必須能寫成完整數(shù)學表達式的,不能有編程語言中的循環(huán)結(jié)構(gòu),條件結(jié)構(gòu)等。因此如果能將問題轉(zhuǎn)化為一個純數(shù)學符號問題,我們能利用現(xiàn)有的代數(shù)軟件進行符號微分求解,這種程度意義上的“自動微分"其實已經(jīng)很完美了。然而缺點我們剛剛也提及過了,就是必須要有closed form的數(shù)學表達式,另一個有名的缺點是“表達式膨脹"(expression swell)問題,如果不加小心就會使得問題符號微分求解的表達式急速“膨脹",導致最終求解速度變慢,對于這個問題請看如下圖:

稍不注意,符號微分求解就會如上中間列所示,表達式急劇膨脹,導致問題求解也隨著變慢。

自動微分法

終于輪到我們的主角登場,自動微分的存在依賴于它識破如下事實:

所有數(shù)值計算歸根結(jié)底是一系列有限的可微算子的組合

自動微分法是一種介于符號微分和數(shù)值微分的方法:數(shù)值微分強調(diào)一開始直接代入數(shù)值近似求解;符號微分強調(diào)直接對代數(shù)進行求解,最后才代入問題數(shù)值;自動微分將符號微分法應用于最基本的算子,比如常數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)等,然后代入數(shù)值,保留中間結(jié)果,最后再應用于整個函數(shù)。因此它應用相當靈活,可以做到完全向用戶隱藏微分求解過程,由于它只對基本函數(shù)或常數(shù)運用符號微分法則,所以它可以靈活結(jié)合編程語言的循環(huán)結(jié)構(gòu),條件結(jié)構(gòu)等,使用自動微分和不使用自動微分對代碼總體改動非常小,并且由于它的計算實際是一種圖計算,可以對其做很多優(yōu)化,這也是為什么該方法在現(xiàn)代深度學習系統(tǒng)中得以廣泛應用。

自動微分Forward Mode

考察如下函數(shù):

我們可以將其轉(zhuǎn)化為如下計算圖:

轉(zhuǎn)化成如上DAG(有向無環(huán)圖)結(jié)構(gòu)之后,我們可以很容易分步計算函數(shù)的值,并求取它每一步的導數(shù)值:

上表中左半部分是從左往右每個圖節(jié)點的求值結(jié)果,右半部分是每個節(jié)點對于的求導結(jié)果,比如,注意到每一步的求導都利用到上一步的求導結(jié)果,這樣不至于重復計算,因此也不會產(chǎn)生像符號微分法的"expression swell"問題。

自動微分的forward mode非常符合我們高數(shù)里面學習的求導過程,只要您對求導法則還有印象,理解forward mode自不在話下。如果函數(shù)輸入輸出為:

那么利用forward mode只需計算一次如上表右邊過程即可,非常高效。對于輸入輸出映射為如下的:

這樣一個有n個輸入的函數(shù),求解函數(shù)梯度需要n遍如上計算過程。然而實際算法模型中,比如神經(jīng)網(wǎng)絡,通常輸入輸出是極其不成比例的,也就是:

那么利用forward mode進行自動微分就太低效了,因此便有下面要介紹的reverse mode。

自動微分Reverse Mode

如果您理解神經(jīng)網(wǎng)絡的backprop算法,那么恭喜你,自動微分的backward mode其實就是一種通用的backprop算法,也就是backprop是reverse mode自動微分的一種特殊形式。從名字可以看出,reverse mode和forward mode是一對相反過程,reverse mode從最終結(jié)果開始求導,利用最終輸出對每一個節(jié)點進行求導,其過程如下紅色箭頭所示:

其具體計算過程如下表所示:

上表左邊和之前的forward mode一致,用于求解函數(shù)值,右邊則是reverse mode的計算過程,注意必須從下網(wǎng)上看,也就是一開始先計算輸出對于節(jié)點的導數(shù),用表示,這樣的記號可以強調(diào)我們對當前計算結(jié)果進行緩存,以便用于后續(xù)計算,而不必重復計算。由鏈式法則我們可以計算輸出對于每個節(jié)點的導數(shù)。

比如對于節(jié)點v3 :

用另一種記法便得到:

比如對于節(jié)點v0:

如果用另一種記法,便可得出:

和backprop算法一樣,我們必須記住前向時當前節(jié)點發(fā)出的邊,然后在后向傳播的時候,可以搜集所有受到當前節(jié)點影響節(jié)點。
如上的計算過程,對于像神經(jīng)網(wǎng)絡這種模型,通常輸入是上萬到上百萬維,而輸出損失函數(shù)是1維的模型,只需要一遍reverse mode的計算過程,便可以求出輸出對于各個輸入的導數(shù),從而輕松求取梯度用于后續(xù)優(yōu)化更新。
#自動微分的實現(xiàn)
這里主要講解reverse mode的實現(xiàn)方式,forward mode的實現(xiàn)基本和reverse mode一致,但是由于機器學習算法中大部分用reverse mode才可以高效求解,所以它是我們理解的重心。代碼設(shè)計輪廓來源于CSE599G1的作業(yè),通過分析完成作業(yè),可以展示自動微分的簡潔性和靈活可用性。

首先自動微分會將問題轉(zhuǎn)化成一種有向無環(huán)圖,因此我們必須構(gòu)造基本的圖部件,包括節(jié)點和邊??梢韵瓤纯垂?jié)點是如何實現(xiàn)的:

首先節(jié)點可以分為三種:

  • 常數(shù)節(jié)點
  • 變量節(jié)點
  • 帶操作算子節(jié)點

因此Node類中定義了op成員用于存儲節(jié)點的操作算子,const_attr代表節(jié)點的常數(shù)值,name是節(jié)點的標識,主要用于調(diào)試。
對于邊的實現(xiàn)則簡單的多,每個節(jié)點只要知道本身的輸入節(jié)點即可,因此用inputs來描述節(jié)點的關(guān)系。
有了如上的定義,利用操作符重載,我們可以很簡單構(gòu)造一個計算圖,舉一個簡單的例子:

對于如上函數(shù),只要重載加法和乘法操作符,我們可以輕松得到如下計算圖:

操作算子是自動微分最重要的組成部分,接下來我們重點介紹,先上代碼:

從定義可以看出,所有實際計算都落在各個操作算子中,上面代碼應該抽象一些,我們來舉一個乘法算子的例子加以說明:

我們重點講解一下gradient方法,它接收兩個參數(shù),一個是node,也就是當前要計算的節(jié)點,而output_grad則是后面節(jié)點傳來的,我們來看看它到底是啥玩意,對于如下例子:

return [node.inputs[1] * output_grad, node.inputs[0] * output_grad]

再來介紹一個特殊的op——PlaceHolderOp,它的作用就如同名字,起到占位符的作用,也就是自動微分中的變量,它不會參與實際計算,只等待用戶給他提供實際值,因此他的實現(xiàn)如下:

了解了節(jié)點和操作算子的定義,接下來我們考慮如何協(xié)調(diào)執(zhí)行運算。首先是如何計算函數(shù)值,對于一幅計算圖,由于節(jié)點與節(jié)點之間的計算有一定的依賴關(guān)系,比如必須先計算node1之后才可以計算node2,那么如何能正確處理好計算關(guān)系呢?一個簡單的方式是對圖節(jié)點進行拓撲排序,這樣可以保證需要先計算的節(jié)點先得到計算。這部分代碼由Executor掌控:

Executor是實際計算圖的引擎,用戶提供需要計算的圖和實際輸入,Executor計算相應的值和梯度。

如何從計算圖中計算函數(shù)的值,上面我們已經(jīng)介紹了,接下來是如何自動計算梯度。reverse mode的自動微分,要求從輸出到輸入節(jié)點,按照先后依賴關(guān)系,對各個節(jié)點求取輸出對于當前節(jié)點的梯度,那么和我們上面介紹的剛好相反,為了得到正確計算節(jié)點順序,我們可以將圖節(jié)點的拓撲排序倒序即可。代碼也很簡單,如下所示:

這里先介紹一個新的算子——oneslike_op。他是一個和numpy自帶的oneslike函數(shù)一樣的算子,作用是構(gòu)造reverse梯度圖的起點,因為最終輸出關(guān)于本身的梯度就是一個和輸出shape一樣的全1數(shù)組,引入oneslike_op可以使得真實計算得以延后,因此gradients方法最終返回的不是真實的梯度,而是梯度計算圖,然后可以復用Executor,計算實際的梯度值。
緊接著是根據(jù)輸出節(jié)點,獲得倒序的拓撲排序序列,然后遍歷序列,構(gòu)造實際的梯度計算圖。我們重點來介紹node_to_output_grad和node_to_output_grads_list這兩個字典的意義。
先關(guān)注node_to_output_grads_list,他key是節(jié)點,value是一個梯度列表,代表什么含義呢?先看如下部分計算圖:

而對于Executor而言,它并不知道此時的圖是否被反轉(zhuǎn),它只關(guān)注用戶實際輸入,還有計算相應的值而已。
#自動梯度的應用
有了上面的大篇幅介紹,我們其實已經(jīng)實現(xiàn)了一個簡單的自動微分引擎了,接下來看如何使用:

使用相當簡單,我們像編寫普通程序一樣,對變量進行各種操作,只要提供要求導數(shù)的變量,還有提供實際輸入,引擎可以正確給出相應的梯度值。
下面給出一個根據(jù)自動微分訓練Logistic Regression的例子:

import autodiff as ad import numpy as npdef logistic_prob(_w):def wrapper(_x):return 1 / (1 + np.exp(-np.sum(_x * _w)))return wrapperdef test_accuracy(_w, _X, _Y):prob = logistic_prob(_w)correct = 0total = len(_Y)for i in range(len(_Y)):x = _X[i]y = _Y[i]p = prob(x)if p >= 0.5 and y == 1.0:correct += 1elif p < 0.5 and y == 0.0:correct += 1print("總數(shù):%d, 預測正確:%d" % (total, correct))def plot(N, X_val, Y_val, w, with_boundary=False):import matplotlib.pyplot as pltfor i in range(N):__x = X_val[i]if Y_val[i] == 1:plt.plot(__x[1], __x[2], marker='x')else:plt.plot(__x[1], __x[2], marker='o')if with_boundary:min_x1 = min(X_val[:, 1])max_x1 = max(X_val[:, 1])min_x2 = float(-w[0] - w[1] * min_x1) / w[2]max_x2 = float(-w[0] - w[1] * max_x1) / w[2]plt.plot([min_x1, max_x1], [min_x2, max_x2], '-r')plt.show()def gen_2d_data(n):x_data = np.random.random([n, 2])y_data = np.ones(n)for i in range(n):d = x_data[i]if d[0] + d[1] < 1:y_data[i] = 0x_data_with_bias = np.ones([n, 3])x_data_with_bias[:, 1:] = x_datareturn x_data_with_bias, y_datadef auto_diff_lr():x = ad.Variable(name='x')w = ad.Variable(name='w')y = ad.Variable(name='y')# 注意,以下實現(xiàn)某些情況會有很大的數(shù)值誤差,# 所以一般真實系統(tǒng)實現(xiàn)會提供高階算子,從而減少數(shù)值誤差h = 1 / (1 + ad.exp(-ad.reduce_sum(w * x)))L = y * ad.log(h) + (1 - y) * ad.log(1 - h)w_grad, = ad.gradients(L, [w])executor = ad.Executor([L, w_grad])N = 100X_val, Y_val = gen_2d_data(N)w_val = np.ones(3)plot(N, X_val, Y_val, w_val)executor = ad.Executor([L, w_grad])test_accuracy(w_val, X_val, Y_val)alpha = 0.01max_iters = 300for iteration in range(max_iters):acc_L_val = 0for i in range(N):x_val = X_val[i]y_val = np.array(Y_val[i])L_val, w_grad_val = executor.run(feed_dict={w: w_val, x: x_val, y: y_val})w_val += alpha * w_grad_valacc_L_val += L_valprint("iter = %d, likelihood = %s, w = %s" % (iteration, acc_L_val, w_val))test_accuracy(w_val, X_val, Y_val)plot(N, X_val, Y_val, w_val, True)if __name__ == '__main__':auto_diff_lr()

看到吧,用戶可以完全感受不到微分求解過程,真正做到自動微分!?完整實現(xiàn)代碼可戳此處。

參考引用

  • CSE599G1: Deep Learning System
  • Automatic differentiation in machine learning: a survey


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版權(quán)聲明:本文為CSDN博主「Carl-Xie」的原創(chuàng)文章,遵循CC 4.0 BY-SA版權(quán)協(xié)議,轉(zhuǎn)載請附上原文出處鏈接及本聲明。
原文鏈接:https://blog.csdn.net/aws3217150/article/details/70214422

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的自动微分(Automatic Differentiation)的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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