什么是約瑟夫環問題？

約瑟夫問題是個著名的問題：N個人圍成一圈，第一個人從1開始報數，報M的將被殺掉，下一個人接著從1開始報。如此反復，最后剩下一個，求最后的勝利者。
例如只有三個人，把他們叫做A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報數，假設報2的人被殺掉。

• 首先A開始報數，他報1。僥幸逃過一劫。
• 然后輪到B報數，他報2。非常慘，他被殺了
• C接著從1開始報數
• 接著輪到A報數，他報2。也被殺死了。
• 最終勝利者是C

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解決約瑟夫環問題，我們首先來分析一下！

1）普通解法

剛學數據結構的時候，我們可能用鏈表的方法去模擬這個過程，N個人看作是N個鏈表節點，節點1指向節點2，節點2指向節點3，……，節點N-1指向節點N，節點N指向節點1，這樣就形成了一個環。然后從節點1開始1、2、3……往下報數，每報到M，就把那個節點從環上刪除。下一個節點接著從1開始報數。最終鏈表僅剩一個節點。它就是最終的勝利者。

缺點：

要模擬整個游戲過程，時間復雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。

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2）公式法

約瑟夫環是一個經典的數學問題，我們不難發現這樣的依次報數，似乎有規律可循。為了方便導出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題： N個人編號為1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那個人，求最后勝利者的編號。

這邊我們先把結論拋出了。之后帶領大家一步一步的理解這個公式是什么來的。
遞推公式：

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f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%N?f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%N

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• f(N,M)?f(N,M) 表示，N個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號
• f(N?1,M)?f(N?1,M) 表示，N-1個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號

下面我們不用字母表示每一個人，而用數字。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11?1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11個人，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。

• 剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
• 編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認為編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
• 編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
• ……
• 第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認為編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
• 下一個人還是編號為2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
• 最后的勝利者是編號為7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

現在再來看我們遞推公式是怎么得到的！
將上面表格的每一行看成數組，這個公式描述的是：幸存者在這一輪的下標位置

• f(1,3)?f(1,3) ：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1?f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1 ：在有2個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1?f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1 ：在有3個人的時候，勝利者的下標位置為1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0?f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0 ：在有4個人的時候，勝利者的下標位置為0
• ……
• f(11,3)=6?f(11,3)=6

很神奇吧！現在你還懷疑這個公式的正確性嗎？上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面將講解怎么推導這個公式。
問題1：假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置為6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：其實吧，第一輪刪掉編號為3的人后，之后的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。

問題2：假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置為3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置為多少？
答：這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往后移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3?f(11,3)=f(10,3)+3 。不過有可能數組會越界，所以最后模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11?f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

問題3：現在改為人數改為N，報到M時，把那個人殺掉，那么數組是怎么移動的？
答：每殺掉一個人，下一個人成為頭，相當于把數組向前移動M位。若已知N-1個人時，勝利者的下標位置位f(N?1,M)?f(N?1,M) ，則N個人的時候，就是往后移動M為，(因為有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%n?f(N,M)=(f(N?1,M)+M)%n

注：理解這個遞推式的核心在于關注勝利者的下標位置是怎么變的。每殺掉一個人，其實就是把這個數組向前移動了M位。然后逆過來，就可以得到這個遞推式。

因為求出的結果是數組中的下標，最終的編號還要加1。

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劍指offer題目：每年六一兒童節,牛客都會準備一些小禮物去看望孤兒院的小朋友,今年亦是如此。HF作為牛客的資深元老,自然也準備了一些小游戲。其中,有個游戲是這樣的:首先,讓小朋友們圍成一個大圈。然后,他隨機指定一個數m,讓編號為0的小朋友開始報數。每次喊到m-1的那個小朋友要出列唱首歌,然后可以在禮品箱中任意的挑選禮物,并且不再回到圈中,從他的下一個小朋友開始,繼續0...m-1報數....這樣下去....直到剩下最后一個小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名貴的“名偵探柯南”典藏版(名額有限哦!!^_^)。請你試著想下,哪個小朋友會得到這份禮品呢？ (注：小朋友的編號是從0到n-1)

拿到這一題，對比上面的兩種思路：

1）使用數組模仿一個環。

2）使用公式遞歸求解。

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首先看第一種思路：

class Solution { public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){/*每輪被select的數被設置成-1；超出數組范圍的，回到數組起點，模仿一個環；每次再次走到之前select的數的時候，就continue；*///if(n<1||m<1) return -1;int* array = new int[n];int i = -1, step = 0, count = n;while(count>0){i++;if(i>=n) i = 0;//模仿一個環if(array[i]==-1) continue;//每次再走到之前select的數時，就continue；step++;if(step == m){array[i] = -1; //每輪被select的數被設置成-1；step = 0;count--;}}return i; //此題小朋友的編號是從0到n-1} };

再看第二種思路：

class Solution { public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){if(n==0)return -1;if(n==1)return 0;elsereturn (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;} };

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的剑指offer：约瑟夫环的问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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