前言

在相機(jī)標(biāo)定過(guò)程中，我們會(huì)碰到一些概念，比如：攝像機(jī)模型、世界坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系等等。為便于理解推導(dǎo)，所以又整理了相關(guān)的筆記，介紹的都是些比較基礎(chǔ)的概念，也比較容易。

相機(jī)模型

針孔相機(jī)模型

注：下面的兩幅圖片摘自：
http://blog.csdn.net/xuelabizp/article/details/50314633

上圖是現(xiàn)實(shí)中針孔相機(jī)的成像模型，物體的投影與物體本身總是相反的。坐標(biāo)也會(huì)是相反的，比較不方便。

正如前面所說(shuō)的，實(shí)際的針孔相機(jī)模型，考慮起來(lái)不太方便，于是我們可以等效地表示成上圖所示形式（相似三角形，比例相同）。

注：下圖摘自：
https://www.cnblogs.com/Jessica-jie/p/6596450.html

如圖是一個(gè)小孔模型。

• O點(diǎn)是相機(jī)中心，也就是小孔，同時(shí)也是整個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系的中心；
• z軸是相機(jī)的主軸；
• 坐標(biāo)系oxyz構(gòu)成了相機(jī)坐標(biāo)系；
• q點(diǎn)是點(diǎn)Q在像平面上的投影，所在平面為圖像坐標(biāo)系；
• O1點(diǎn)為主點(diǎn)，主軸與像平面相交的點(diǎn)；
• 在像平面上的坐標(biāo)系為圖像坐標(biāo)系，其x、y軸與相機(jī)坐標(biāo)系的x、y軸相平行；
• O點(diǎn)到O1點(diǎn)的距離為相機(jī)的焦距f；

四個(gè)坐標(biāo)系

攝像機(jī)中的坐標(biāo)系有4個(gè)，均為右手坐標(biāo)系，分別有：世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系。后面用幾個(gè)簡(jiǎn)寫(xiě)字母分別表示：w、c、pic、pix。

世界坐標(biāo)系：(Xw,Yw,Zw)，用戶自己定義的三維空間坐標(biāo)系，表示物體在空間的實(shí)際位置，用來(lái)秒速三維空間中物體與相機(jī)之間的坐標(biāo)位置關(guān)系，度量值為米（m）；

相機(jī)坐標(biāo)系：(Xc,Yc,Zc)，以相機(jī)的光心（前面的O點(diǎn)）為原點(diǎn)，Zc軸與光軸重合，垂直于成像平面，度量值為米（m）；

圖像坐標(biāo)系：(Xpic,Ypic)，位于圖像平面上，是個(gè)二維坐標(biāo)系，Xpic和Ypic分別與相機(jī)坐標(biāo)系中的Xc和Yc相平行，度量值為米（m）；

像素坐標(biāo)系：(Xpix,Ypix)，同樣位于圖像平面上，與圖像坐標(biāo)系的區(qū)別：一、以左上角為原點(diǎn)；二、單位為像素。也經(jīng)常表示為(u,v)。

坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

世界坐標(biāo)系 -> 相機(jī)坐標(biāo)系

設(shè)某點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xw,yw,zw) (xw,yw,zw)，在相機(jī)坐標(biāo)系中的矩陣為(xc,yc,zc)。
則兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系為：

???xcyczc???=R???xwywzw???+t
其中： R為一個(gè)3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣，T是一個(gè) 3×1的矩陣，表示偏移；
表示成齊次形式：
?????xcyczc1?????=[R0t1]?????xwywzw1?????
確定 R需要3個(gè)參數(shù)，確定t也需要3個(gè)參數(shù)，總計(jì)6個(gè)參數(shù)，稱為 外部參數(shù)。

相機(jī)坐標(biāo)系 -> 圖像坐標(biāo)系

以O點(diǎn)為原點(diǎn)建立相機(jī)坐標(biāo)系，點(diǎn)Q(xc,yc,zc)為相機(jī)坐標(biāo)系空間中的任意一點(diǎn)，假設(shè)該點(diǎn)被光線投影到平面上的q(xpic,ypic)點(diǎn)上。
注意到小孔模型中的相似三角形關(guān)系，我們可以得到：

fzc=xpicxc=ypicyc
{xpic=fxczcypic=fyczc
寫(xiě)成矩陣形式：
zc???xpicypic1???=???f000f0001000?????????xcyczc1?????

圖像坐標(biāo)系 -> 像素坐標(biāo)系

這里看下這個(gè)圖，很好理解：

先設(shè)每個(gè)像素的物理尺寸為 dx×dy(mm2) 。
那么對(duì)于點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(u,v)：

???u=u0+xpicdxv=v0+ypicdy
寫(xiě)成矩陣形式：
???uv1???=???????1dx0001dy0u0v01??????????xpicypic1???

世界坐標(biāo)系 -> 像素坐標(biāo)系

把前面幾個(gè)步驟都綜合一下：

zc???uv1???=???????1dx0001dy0u0v01??????????f000f0001000????[R0t1]?????xwywzw1?????
化簡(jiǎn)一下：
zc???uv1???=???fx000fy0u0v01000????[R0t1]?????xwywzw1?????
其中： fx=fdx， fy=fdy。

第一個(gè)矩陣中的fx、fy、u0、v0這4個(gè)參數(shù)稱做相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，因?yàn)樗麄冎慌c相機(jī)有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)；

第二個(gè)矩陣中的R、T，稱作相機(jī)的外部參數(shù)，因?yàn)橹灰澜缱鴺?biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系發(fā)生改變，它們就會(huì)改變，每一張圖片的R、T都是唯一的；

單目攝像機(jī)標(biāo)定就是在已知像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)和世界坐標(biāo)系的坐標(biāo)，求解出內(nèi)部參數(shù)的過(guò)程。

透鏡畸變

到前面為止的內(nèi)容都是有關(guān)針孔相機(jī)模型的，但是針孔可以透過(guò)的光線太少，成像慢且不清晰，所以往往都會(huì)加上凸透鏡以匯聚更多的光線。但是加上凸透鏡之后，不可避免地，就會(huì)產(chǎn)生透鏡畸變。透鏡畸變有兩種：徑向畸變、切向畸變。

徑向畸變

對(duì)于某些透鏡，光線在遠(yuǎn)離透鏡中心的地方比靠近中心的地方彎曲更厲害，產(chǎn)生“筒形”或“魚(yú)眼”現(xiàn)象。
一般來(lái)講，成像中興點(diǎn)的徑向畸變?yōu)?，越向邊緣移動(dòng)，畸變?cè)絿?yán)重。通常，徑向畸變通過(guò)下面的公式來(lái)校正，常用偶次冪的泰勒公式描述徑向畸變：

{xcorrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6)ycorrected=y(1+k1r2+k2r4+k3r6)
其中： (x,y)為畸變點(diǎn)在成像平面上的原始位置， r為該點(diǎn)到成像面中心的距離，(xcorrected,ycorrected)為校正后的新位置。

切向畸變

切向畸變是由于攝像機(jī)制造上的缺陷使得透鏡本身與圖像平面不平行而產(chǎn)生的，可定量描述為：

{xcorrected=x+[2p1y+p2(r2+2x2)]ycorrected=y+[p1(r2+2y2)+2p2x]
其中： (x,y)為畸變點(diǎn)在成像平面上的原始位置， r為該點(diǎn)到成像面中心的距離，(xcorrected,ycorrected)為校正后的新位置。
現(xiàn)在的攝像機(jī)一般不會(huì)產(chǎn)生切向畸變，所以通常不考慮其影響。

透鏡畸變校正

我們進(jìn)行透鏡畸變校正，就是要確定k1、k2、k3、p1、p2這5個(gè)參數(shù)。

相機(jī)標(biāo)定

相機(jī)標(biāo)定得到的是4個(gè)內(nèi)部參數(shù)，相機(jī)畸變校正得到的是5個(gè)畸變校正參數(shù)；

單目相機(jī)標(biāo)定常用的工具有OpenCV和MATLAB，下一篇博客再進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)。

參考資料：

http://blog.csdn.net/aptx704610875/article/details/48914043

http://blog.csdn.net/xuelabizp/article/details/50314633

https://www.cnblogs.com/Jessica-jie/p/6596450.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三维重建学习(2)：相机标定基础的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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