一、起源? ??

????????在數(shù)學(xué)中，齊次坐標(biāo)或射影坐標(biāo)由 August Ferdinand M?bius 在其 1827 年的著作 Der barycentrische Calcul [1][2][3] 中引入，是射影幾何中使用的坐標(biāo)系統(tǒng)，就像在歐幾里得幾何中使用笛卡爾坐標(biāo)一樣。它們的優(yōu)點(diǎn)是可以使用有限坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，包括無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)。涉及齊次坐標(biāo)的公式通常比笛卡爾對(duì)應(yīng)的公式更簡(jiǎn)單、更對(duì)稱。齊次坐標(biāo)具有一系列應(yīng)用，包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和 3D 計(jì)算機(jī)視覺，它們?cè)试S仿射變換，一般來說，投影變換可以很容易地用矩陣表示。

奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯 (August Ferdinand M?bius)

????????奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯，德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)。 莫比烏斯最著名的成就是發(fā)現(xiàn)了三維歐幾里得空間中的一種奇特的二維單面環(huán)狀結(jié)構(gòu)——後人稱為莫比烏斯帶。其他重要的成就包括在射影幾何中引進(jìn)齊次坐標(biāo)系、莫比烏斯變換，數(shù)論中的莫比烏斯變換、莫比烏斯函數(shù)、莫比烏斯反演公式等等。

莫比烏斯

????????如果一個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)乘以一個(gè)非零標(biāo)量，那么得到的坐標(biāo)代表同一個(gè)點(diǎn)。由于齊次坐標(biāo)也被賦予無限遠(yuǎn)的點(diǎn)，因此允許這種擴(kuò)展所需的坐標(biāo)數(shù)比所考慮的投影空間的維數(shù)大一。例如，需要兩個(gè)齊次坐標(biāo)來指定投影線上的一個(gè)點(diǎn)，而需要三個(gè)齊次坐標(biāo)來指定投影平面上的一個(gè)點(diǎn)。

二、定義??

定義： 如果點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)是( x, y),那 么稱( x1 , x2 , x3 )是 P 的齊次坐標(biāo),其中 x1 , x2 , x3 滿足 , , .

????????也就是說，在X-Y坐標(biāo)平面的點(diǎn)，將其闊維，成為X-Y-Z坐標(biāo)，而原來的（x，y）點(diǎn)，如今成為（x，y，1）點(diǎn)；而新坐標(biāo)的點(diǎn)（mx，my，m）依然指的是（x，y，1）點(diǎn)。

????????從另一個(gè)角度，將O（0，0，0）點(diǎn)看成射影點(diǎn)，那么從O發(fā)出的任意射線上所有的點(diǎn)，統(tǒng)統(tǒng)映射到平面上一個(gè)點(diǎn)，而且坐標(biāo)是等價(jià)于平面（X，Y，1）上的點(diǎn)坐標(biāo)。其中OS=1；

三、齊次坐標(biāo)的合理性解釋

????????如圖：在三維坐標(biāo)的原點(diǎn)處（0，0，0）有人眼觀望，距離人眼1米處有一塊玻璃（藍(lán)色）；玻璃上任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，1）；有蒼蠅站在玻璃上，坐標(biāo)為（x0，y0，1）其觀察角度，正好是蒼蠅、小鳥、蒼鷹在相同直線上；不難想象，看到蒼蠅在小鳥上，而小鳥在蒼鷹上；這很符合生活實(shí)際，因此，小鳥的實(shí)際位置為（mx0，my0，m）蒼鷹坐標(biāo)為（nx0，ny0，n），由于我們只關(guān)注玻璃上的二維世界，因此，無論蒼蠅（x0，y0，1），小鳥（mx0，my0，m）、蒼鷹（nx0，ny0，n）的具體坐標(biāo)不同，在玻璃立場(chǎng)上，這些坐標(biāo)都能還原成（x0，y0，1）。因此，順著直線（sx ，sy ，s）的所有點(diǎn)，在玻璃上的坐標(biāo)是唯一的，即（x，y，1）。

?四、總結(jié)齊次坐標(biāo)

• 射影平面上的任何點(diǎn)都用三元組（X,Y,Z）表示，稱為齊次坐標(biāo)或該點(diǎn)的射影坐標(biāo)，其中X、Y、Z不全為0。
• 如果坐標(biāo)乘以一個(gè)公因子，則由一組給定齊次坐標(biāo)表示的點(diǎn)不變。
• 相反，當(dāng)且僅當(dāng)通過將所有坐標(biāo)乘以相同的非零常數(shù)從另一組獲得一組齊次坐標(biāo)時(shí)，才表示同一點(diǎn)。
• 當(dāng) Z 不為 0 時(shí)，表示的點(diǎn)是歐幾里得平面中的點(diǎn) (X/Z, Y/Z)。
• 當(dāng) Z 為 0 時(shí)，表示的點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)。
• 三元組 (0, 0, 0) 被省略，不代表任何點(diǎn)。歐幾里得平面的原點(diǎn)由 (0, 0, 1) 表示。 [

（未完待續(xù)）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的射影几何笔记5：齐次坐标（Homogeneous coordinates）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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