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2.5 導數	回到目錄	2.7 計算圖

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更多導數例子

在這個視頻中我將給出一個更加復雜的例子，在這個例子中，函數在不同點處的斜率是不一樣的，先來舉個例子:

我在這里畫一個函數，$f(a)=a^2$ ，如果 $a=2$ 的話，那么 $f(a)=4$ 。讓我們稍稍往右推進一點點，現在 $a=2.001$ ，則 $f(a)\approx 4.004$ (如果你用計算器算的話，這個準確的值應該為4.004。0.001 我只是為了簡便起見，省略了后面的部分)，如果你在這兒畫，一個小三角形，你就會發現，如果把 $a$ 往右移動0.001，那么 $f(a)$ 將增大四倍，即增大0.004。在微積分中我們把這個三角形斜邊的斜率，稱為 $f(a)$ 在點 $a=2$ 處的導數(即為4)，或者寫成微積分的形式，當 $a=2$ 的時候， $\frac{d}{da}f(a)=4$ 由此可知，函數 $f(a)=a^2$ ，在 $a$ 取不同值的時候，它的斜率是不同的，這和上個視頻中的例子是不同的。

這里有種直觀的方法可以解釋，為什么一個點的斜率，在不同位置會不同如果你在曲線上，的不同位置畫一些小小的三角形你就會發現，三角形高和寬的比值，在曲線上不同的地方，它們是不同的。所以當 $a=2$ 時，斜率為4；而當 $a=5$ 時，斜率為10 。如果你翻看微積分的課本，課本會告訴你，函數 $f(a)=a^2$ 的斜率（即導數）為 $2a$ 。這意味著任意給定一點 $a$ ，如果你稍微將 $a$ ，增大0.001，那么你會看到 $f(a)$ 將增大 $2a$ ，即增大的值為點在 $a$ 處斜率或導數，乘以你向右移動的距離。

現在有個小細節需要注意，導數增大的值，不是剛好等于導數公式算出來的值，而只是根據導數算出來的一個估計值。

為了總結這堂課所學的知識，我們再來看看幾個例子：

假設 $f(a)=a^3$ 如果你翻看導數公式表，你會發現這個函數的導數，等于 $3a^2$ 。所以這是什么意思呢，同樣地舉一個例子：我們再次令 $a=2$ ，所以 $a^3=8$ ，如果我們又將 $a$ 增大一點點，你會發現 $f(a)\approx 8.012$ ， 你可以自己檢查一遍，如果我們取8.012，你會發現 $2.001^3$ ，和8.012很接近，事實上當 $a=2$ 時，導數值為 $3?2^2$ ，即 $3?4=12$ 。所以導數公式，表明如果你將 $a$ 向右移動0.001時，$f(a)$ 將會向右移動12倍，即0.012。

來看最后一個例子，假設 $f(a)={\log }_e(a)$ ，有些可能會寫作 $\ln (a)$ ，函數 $\log a$ 的斜率應該為 $\frac{1}{a}$ ，所以我們可以解釋如下：如果 $a$ 取任何值，比如又取 $a=2$ ，然后又把 $a$ 向右邊移動0.001 那么 $f(a)$ 將增大 $\frac{1}{a}?0.001$，如果你借助計算器的話，你會發現當 $a=2$ 時 $f(a)\approx 0.69315$ ；而 $a=2.001$ 時，$f(a)\approx 0.69365$ 。所以 $f(a)$ 增大了0.0005，如果你查看導數公式，當 $a=2$ 的時候，導數值 $\frac{d}{da}f(a)=\frac{1}{2}$ 。這表明如果你把 $a$ 增大0.001，將只會 $f(a)$ 增大0.001的二分之一，即0.0005。如果你畫個小三角形你就會發現，如果 $x$ 軸增加了0.001，那么 $y$ 軸上的 $\log a$ 函數，將增大0.001的一半 即0.0005。所以 $\frac{1}{a}$ ，當 $a=2$ 時這里是 ，就是當 $a=2$ 時這條線的斜率。這些就是有關導數的一些知識。

在這個視頻中，你只需要記住兩點：

第一點，導數就是斜率，而函數的斜率，在不同的點是不同的。在第一個例子中 $f(a)=3a$ ，這是一條直線，在任何點它的斜率都是相同的，均為3。但是對于函數 $f(a)=a^2$ ，或者 $f(a)=\log a$ ，它們的斜率是變化的，所以它們的導數或者斜率，在曲線上不同的點處是不同的。

第二點，如果你想知道一個函數的導數，你可參考你的微積分課本或者維基百科，然后你應該就能找到這些函數的導數公式。

最后我希望，你能通過我生動的講解，掌握這些有關導數和斜率的知識，下一課我們將講解計算圖，以及如何用它來求更加復雜的函數的導數。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 更多导数例子-深度学习-Stanford吴恩达教授的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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