李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

• 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析
• • 1. 系統(tǒng)平衡狀態(tài)
  • 2. 穩(wěn)定性
  • • 2.1 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定
    • 2.2 漸進(jìn)穩(wěn)定 / 2.3 大范圍穩(wěn)定
    • 2.4 不穩(wěn)定
  • 3. 李亞普諾夫第一法
  • 4. 李亞普諾夫第二法
  • 5. 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)
  • 6. 李亞普諾夫輔助判據(jù)
  • 7. 李亞普諾夫不穩(wěn)定判據(jù)
  • 8. 李亞普諾夫第二法的幾點(diǎn)說明

李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

1. 系統(tǒng)平衡狀態(tài)

對(duì)于一個(gè)不受外力作用的系統(tǒng)

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

如果存在某個(gè)狀態(tài) $x_e$，使 $\dot{x_e}=f(x_e,t)=0,?x\ge t_0$成立，則稱 $x_e$ 為系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于線性系統(tǒng)：$\dot{x}=Ax,A{x}_e=0$
當(dāng) $A$ 非奇異，系統(tǒng)只有唯一的一個(gè)平衡狀態(tài)，$x_e=0$，
當(dāng) $A$ 奇異，則存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)通常存在多個(gè)平衡狀態(tài)。

例如：對(duì)于非線性系統(tǒng)

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=?x_1\\ & \dot{x_2}=x_1+x_2?x_2^3\end{array}$

其平衡狀態(tài)為方程：

$\{\begin{array}{rl}& x_1=0\\ & x_1+x_2?x_2^3=0\end{array}$

的解，可解得有三個(gè)平衡狀態(tài)：$x_{e_1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，$x_{e_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$x_{e_3}=\left[\begin{array}{c}0\\ ?1\end{array}\right]$。

孤立的平衡狀態(tài)：如果平衡狀態(tài)是彼此孤立的，即在某一平衡狀態(tài)的任意小的鄰域內(nèi)不存在其他平衡狀態(tài)，則稱該平衡狀態(tài)為孤立的平衡狀態(tài)。

2. 穩(wěn)定性

2.1 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定

若一不受外力作用的系統(tǒng)（自治系統(tǒng)）

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

對(duì)任意選定的實(shí)數(shù) $?>0$，都存在另一實(shí)數(shù) $\delta (?,t_0)>0$，使得由滿足不等式

$$||x_0?x_e||<\delta (?,t_0)$$

的任一初始狀態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式

$$||\Phi (t;x_0,t_0)?x_e||<?,t\ge t_0$$

則稱孤立平衡狀態(tài) $x_e$ 為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定狀態(tài)。

如下圖所示，系統(tǒng)狀態(tài)從 $x_0$ 出發(fā)，無論怎么運(yùn)動(dòng)，都處于藍(lán)色區(qū)域之內(nèi)。

若 $\delta$ 的取值與 $t_0$ 無關(guān)，則稱這個(gè)孤立平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。

2.2 漸進(jìn)穩(wěn)定 / 2.3 大范圍穩(wěn)定

2.4 不穩(wěn)定

3. 李亞普諾夫第一法

4. 李亞普諾夫第二法

關(guān)于系統(tǒng)正定等概念參考正定 負(fù)定 半正定 半負(fù)定

5. 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)

定理（李亞普諾夫穩(wěn)定性主判據(jù)）：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V(x)}$ 是負(fù)定的；

則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

除滿足條件（1）、（2）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

例：對(duì)于非線性系統(tǒng)

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_2?x_1(x_1^2+x_2^2)\\ & \dot{x_2}=?x_1?x_2(x_1^2+x_2^2)\end{array}$

試判別其平衡狀態(tài) $x_e=0$ 的穩(wěn)定性。

解：取正定標(biāo)量函數(shù)：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=?2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 負(fù)定，故系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

由于當(dāng) $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，故系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

6. 李亞普諾夫輔助判據(jù)

定理（李亞普諾夫穩(wěn)定性輔助判據(jù)）：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V(x)}$ 是半負(fù)定的；

對(duì)于任意初始狀態(tài) $x(t_0)=0$，在 $t\ge t_0$，除 $x=0$ 時(shí)，有 $\dot{V}(x)=0$外，$\dot{V}(x)$ 不恒等于零。
則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

除滿足條件（1）、（2）、（3）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

注：
$\dot{V}(x)$ 半負(fù)定，說明在 $t\ge t_0$ 的某些時(shí)刻，系統(tǒng)的“能量”不再減少；
$\dot{V}(x)$ 不恒等于零，表明系統(tǒng)“能量”不再減少的狀態(tài)不能保持，即系統(tǒng)會(huì)繼續(xù)減少能量，直到平衡狀態(tài)。

7. 李亞普諾夫不穩(wěn)定判據(jù)

定理（李亞普諾夫不穩(wěn)定性判據(jù)）：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V}(x)$ 是正定的；

則系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是不穩(wěn)定的。

例：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_1+x_2\\ & \dot{x_2}=?x_1+x_2\end{array}$

試判別其平衡狀態(tài) $x_e=0$ 的穩(wěn)定性。

解：取正定標(biāo)量函數(shù)：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 也正定，故系統(tǒng)在平衡狀態(tài) $x_e=0$ 是不穩(wěn)定的。

8. 李亞普諾夫第二法的幾點(diǎn)說明

李亞普諾夫函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；是一個(gè)正定函數(shù)；對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，李亞普諾夫函數(shù)不是唯一的。

不僅對(duì)于線性系統(tǒng)，而且對(duì)于非線性系統(tǒng)，它都能給出關(guān)于大范圍內(nèi)穩(wěn)定的信息。

李亞普諾夫穩(wěn)定性定理只是充分條件；對(duì)于一個(gè)特定系統(tǒng)，若不能找到一個(gè)合適的李亞普諾夫函數(shù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則不能給出該系統(tǒng)穩(wěn)定性的任何信息。

李亞普諾夫穩(wěn)定性理論沒有提供構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的一般方法；李亞普諾夫函數(shù)最簡(jiǎn)單的形式是二次型函數(shù)。

From: 浙江大學(xué)2020公開課【現(xiàn)代控制理論】

如果系統(tǒng)

$$\dot{x}=Ax+Bu,x(t_0)=x_0$$

是漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意給定的正定對(duì)稱矩陣$Q$，李亞普諾夫方程

$$A^{T}P+PA=?Q$$

有唯一正定對(duì)稱解陣$P$。

Ref:

(1)Lyapunov直接法與間接法, why

(2)Autonomous System的穩(wěn)定性定義

(3)Lyapunov函數(shù)與Autonomous System的穩(wěn)定性判別

(4)La Salle不變集原理與漸近穩(wěn)定

如何理解李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】李亚普诺夫稳定性分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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