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【数理知识】《积分变换与场论》王振老师-第5章-场论

發(fā)布時間：2025/4/5 编程问答 14 豆豆

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第5章-場論

- 5.1 場
- - 5.1.1 場的概念
  - - - 場 / 數(shù)量場 / 矢量場
      - 穩(wěn)定場 / 不穩(wěn)定場
  - 5.1.2 數(shù)量場與等值面
  - - - 等值面 / 等溫面 / 等位面
      - 隱函數(shù)存在定理
  - 5.1.3 矢量場與矢量線
  - - - 矢量線 / 矢量面 / 矢量管
- 5.2 方向?qū)?shù)與梯度
- - 5.2.1 方向?qū)?shù)
  - - - 平均變化率
      - 方向?qū)?shù)
  - 5.2.2 梯度的概念
  - 5.2.3 梯度的應(yīng)用
- 5.3 散度與旋度
- - 5.3.1 散度
  - 5.3.2 旋度
  - 5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度
- 5.4 積分定理
- - 5.4.1 高斯散度定理
  - 5.4.2 斯托克斯定理
  - 5.4.3 格林定理
- 5.5 幾個重要的矢量場
- - 5.5.1 有勢場
  - 5.5.2 管形場
  - 5.5.3 調(diào)和場

5.1 場

5.1.1 場的概念

場 / 數(shù)量場 / 矢量場

穩(wěn)定場 / 不穩(wěn)定場

在數(shù)學(xué)上給定一個數(shù)量場就相當(dāng)于給定了一個數(shù)性函數(shù) $u = u (M)$ ；

同樣，給定了一個矢量場就相當(dāng)于給定了一個矢性函數(shù) $A = A (M)$ ，其中 $M$ 表示區(qū)域 $V$ 中的點。

5.1.2 數(shù)量場與等值面

等值面 / 等溫面 / 等位面

由隱函數(shù)存在定理知道，在函數(shù) $u$ 為單值，且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) $u_x, u_y, u_z$ 不全為零時，等值面一定存在。

隱函數(shù)存在定理

5.1.3 矢量場與矢量線

矢量線 / 矢量面 / 矢量管

5.2 方向?qū)?shù)與梯度

5.2.1 方向?qū)?shù)

$l$ 的單位向量可寫成
$l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$

平均變化率

$增量長度=Δzρ=f(M)?f(M0)∣M0M∣=f(x0+Δx,y0+Δy)?f(x0,y0)Δx2+Δy2(5.2.4)\frac{增量}{長度} = \frac{\Delta z}{\rho} = \frac{f(M) - f(M_0)}{|M_0M|}\\=\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} \tag{5.2.4}$

方向?qū)?shù)

當(dāng)點 $M$ 沿射線 $l$ 趨向于點 $M_0$ 時，如果平均變化率的極限存在，則稱此極限值為函數(shù) $z = f (x, y)$ 在點 $M_0$ 沿方向 $l_0$ 的方向?qū)?shù)，記作
$?z?l∣M0或fl′(M0)(5.2.5)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0}\ 或\ f'_l(M_0) \tag{5.2.5}$

即
$?z?l∣M0=lim?M→M0f(M)?f(M0)∣M0M∣(5.2.6)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0} = \lim_{M\rightarrow M_0}\frac{f(M)-f(M_0)}{|M_0M|} \tag{5.2.6}$

注意，方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)是兩個不同的概念。

如果函數(shù) $z = f (x, y)$ 在點 $M_0(x_0, y_0)$ 處可微，則該函數(shù)在點 $M_0(x_0, y_0)$ 處沿任一方向 $l$ 的方向?qū)?shù)都存在，且有
$?z?l∣M0=?z?x∣M0cos?α+?z?y∣M0cos?β(5.2.8)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0} =\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_0}\ \cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}|_{M_0}\ \cos\beta \tag{5.2.8}$

其中， $α\alpha$ 是 $x$ 軸正向到方向 $l$ 的夾角， $β\beta$ 是 $y$ 軸正向到方向 $l$ 的夾角（即 $l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$ ）

則將函數(shù) $u = f (x, y, z)$ 在點 $M_0$ 沿方向 $l$ 的方向?qū)?shù)定義為
$?u?l∣M0=lim?ρ→0Δuρ=lim?ρ→0f(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)rho(5.2.9)\frac{\partial u}{\partial l}|_{M_0} = \lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\Delta u}{\rho} = \lim_{\rho\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)}{rho} \tag{5.2.9}$

其中， $ρ=Δx2+Δy2+Δz2\rho=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ， $Δx=ρcos?α\Delta x = \rho\cos\alpha$ ， $Δy=ρcos?β\Delta y = \rho\cos\beta$ ， $Δz=ρcos?γ\Delta z = \rho\cos\gamma$ 。

類似地，當(dāng)函數(shù) $u = f (x, y, z)$ 在點 $M_0$ 處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，該函數(shù)在點 $M_0$ 沿方向 $l$ 的方向?qū)?shù)為
$?u?l∣M0=?u?x∣M0cos?α+?u?y∣M0cos?β+?u?z∣M0cos?γ(5.2.10)\frac{\partial u}{\partial l}|_{M_0} = \frac{\partial u}{\partial x}|_{M_0}\ \cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}|_{M_0}\ \cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}|_{M_0}\ \cos\gamma \tag{5.2.10}$

當(dāng)函數(shù) $u$ 可微、曲線 $C$ 光滑時，函數(shù) $u$ 沿 $l$ 方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù) $u$ 對弧長 $s$ 的全導(dǎo)數(shù)，即有
$?u?l=duds(5.2.11)\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{du}{ds} \tag{5.2.11}$

5.2.2 梯度的概念

方向?qū)?shù)的計算公式為
$?u?l=?u?xcos?α+?u?ycos?β+?u?zcos?γ(5.2.16)\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z} \cos\gamma \tag{5.2.16}$

其中， $cos?α,cos?β,cos?γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 為方向 $l$ 的方向余弦，可看成單位矢量 $l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$ 的三個坐標（即 ( $cos?α,cos?β,cos?γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ )）。
若把上式右端的 $?u?x,?u?y,?u?z\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ 也視為一個矢量 $G$ 的坐標，即
$\frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{k} \tag{5.2.17}$

則方向?qū)?shù)公式可以寫成 $G$ 與 $l_0$ 的內(nèi)積：
$?u?x=G?l0=∣G∣cos?<G,l0>(5.2.18)\frac{\partial u}{\partial x} = G\cdot l_0 = |G|\cos<G,l_0> \tag{5.2.18}$

由此可見，矢量 $G$ 的方向就是函數(shù) $u (M)$ 變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值。我們把 $G$ 叫做函數(shù) $u (M)$ 在給定點處的梯度。一般地，有如下定義。

若在數(shù)量場 $u (M)$ 中的一點 $M$ 處存在這樣一個矢量 $G$ ，其方向為函數(shù) $u (M)$ 在點 $M$ 點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值。則稱矢量 $G$ 為函數(shù) $u (M)$ 在點 $M$ 處的梯度，記作 $gradu\mathbf{grad}\ u$ 。

梯度的這個定義是與坐標系無關(guān)的，它是由數(shù)量場中數(shù)量 $u (M)$ 的分布所決定的。

上面，我們已經(jīng)借助方向?qū)?shù)的公式找出了梯度在直角坐標系中的表達式為
$gradu=?u?xi+?u?yj+?u?zk(5.2.19)\mathbf{grad}\ u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k} \tag{5.2.19}$

梯度矢量兩個性質(zhì)：
（1）函數(shù) $u (M)$ 在點 $M$ 處沿方向 $l$ 的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，記作
$?u?l=gradlu=gradu?l0(5.2.20)\frac{\partial u}{\partial l} = \mathbf{grad}_l\ u = \mathbf{grad}\ u \cdot l_0 \tag{5.2.20}$

其中 $l_0$ 為 $l$ 方向的單位矢量。

（2）數(shù)量場 $u (M)$ 中每一點 $M$ 處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù) $u (M)$ 增大的一方。

我們把函數(shù) $u (M)$ 的梯度寫成下面的形式：
$gradu=?u?xi+?u?yj+?u?zk=(??xi+??yj+??zk)u(5.2.21)\mathbf{grad}\ u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k} \\ = (\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k})u \tag{5.2.21}$

為方便，記作
$?=??xi+??yj+??zk(5.2.22)\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k} \tag{5.2.22}$

并稱之為向量微分算子或哈密頓算子或 $?\nabla$ 算子。

這樣，函數(shù) $u (M)$ 的梯度可簡單地表示成
$gradu=?u(5.2.23)\mathbf{grad} \ u = \nabla u \tag{5.2.23}$

5.2.3 梯度的應(yīng)用

5.3 散度與旋度

5.3.1 散度

5.3.2 旋度

5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度

5.4 積分定理

5.4.1 高斯散度定理

5.4.2 斯托克斯定理

5.4.3 格林定理

5.5 幾個重要的矢量場

5.5.1 有勢場

5.5.2 管形場

5.5.3 調(diào)和場

總結(jié)

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