城市規(guī)劃理論1 選址理論

• Weber問題
• Leon Moses模型

Weber問題

最早正式提出選址問題（Location Problems）的經(jīng)濟(jì)學(xué)家是Alfred Weber。在他1909年的書中提出了經(jīng)典的weber問題。假設(shè)一家企業(yè)需要兩種原料完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，原料從兩個不同的地方進(jìn)貨，而產(chǎn)品將銷往第三地，那么這家企業(yè)選址的原則是最小化運(yùn)輸成本。記進(jìn)貨的地點(diǎn)和銷售地坐標(biāo)為$(x_i,y_i),i=1,2,3$，企業(yè)所在地的坐標(biāo)為$(x,y)$，則三地到企業(yè)的距離分別為
$$d_i=\sqrt{(x_i?x{)}^2+(y_i?y{)}^2}$$
假設(shè)三地運(yùn)輸單價為$w_i,i=1,2,3$，則總運(yùn)輸成本（total transportation cost）為
$$T(x,y)=\sum _{i=1}^3{w}_i{d}_i$$
因此Weber問題的解為
$$(x^{?},y^{?})=\underset{(x,y)}{\mathrm{argmin}}T(x,y)$$
這個模型有一個非常直觀的物理解釋。想象一張桌子上$(x_i,y_i),i=1,2,3$這三點(diǎn)處各有一個洞，且各有一根連接著重量為$w_i$的重物的繩子穿過這三個洞在桌面上打了一個結(jié)，那么Weber問題的解其實(shí)就是這個系統(tǒng)的均衡時繩結(jié)的位置。Weber問題可以推廣至進(jìn)貨和銷售的地點(diǎn)有多個或者連續(xù)分布的情況。上面的最優(yōu)化可以找到解析解
$$\begin{gathered} \frac{?T}{?x}=\frac{{\sum }_{i=1}^3{w}_i(x_i?x)}{d_i}=0,\frac{?T}{?y}=\frac{{\sum }_{i=1}^3{w}_i(y_i?y)}{d_i}=0 \\ {x}^{?}=\frac{{\sum }_{i=1}^3{w}_i{x}_i}{{\sum }_{i=1}^3{w}_i},y^{?}=\frac{{\sum }_{i=1}^3{w}_i{y}_i}{{\sum }_{i=1}^3{w}_i} \end{gathered}$$

Leon Moses模型

Weber問題的解法非常直觀，但其中有一個比較強(qiáng)的假設(shè)，銷售地點(diǎn)和進(jìn)貨地點(diǎn)都是固定的。Leon Moses在1958年指出，固定住不同進(jìn)貨地點(diǎn)到企業(yè)之間距離的相對比率，企業(yè)的最優(yōu)位置就會與企業(yè)生產(chǎn)活動無關(guān)。如果放松這個假設(shè)，就需要考慮到企業(yè)的生產(chǎn)活動。假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)是Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)
$$q=A{v}_1^{{\alpha }_1}{v}_2^{{\alpha }_2}$$
假設(shè)單位貨物的運(yùn)輸成本分別為$t$，$t_1$和$t_2$，前者是產(chǎn)品運(yùn)往銷售地的，后兩者是進(jìn)貨的運(yùn)輸成本。假設(shè)產(chǎn)品單價為$\bar{p}$，原材料單價為${\bar{r}}_1$與${\bar{r}}_2$，從而產(chǎn)品與原材料考慮運(yùn)輸成本的單價為
$$\begin{gathered} p=\bar{p}?t{d}_0 \\ {r}_1={\bar{r}}_1+t_1{d}_1 \\ {r}_2={\bar{r}}_2+t_2{d}_2 \end{gathered}$$
其中$d_0$為企業(yè)到銷售地點(diǎn)的距離，$d_1$和$d_2$是進(jìn)貨的距離。則利潤函數(shù)為
$$\pi (v_1,v_2)=pq?r_1{v}_1?r_2{v}_2$$
選址問題和生產(chǎn)問題可以通過利潤最大化同時解決
$$(x^{?},y^{?},v_1^{?},v_2^{?})=\underset{(x,y,v_1,v_2)}{\mathrm{argmax}}\pi (v_1,v_2)$$

總結(jié)

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