UA MATH564 概率論II 連續型隨機變量1

• 隨機變量的變換
• • 一元隨機變量的變換
  • 多元隨機變量的變換
• 均勻分布與Pareto分布
• • 離散的均勻分布
  • 連續的均勻分布
  • Zeta分布
  • Pareto分布

隨機變量的變換

一元隨機變量的變換

假設$X$為分布函數為$F_X$的一元隨機變量，$X\in {\mathbb{D}}_X$，隨機變量$Y=g(X)$，$g$為有界連續函數，則
$$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)=P(X\in g^{?1}(Y\le y))$$
當$g$不是單調函數時需要按這個一般性的方法計算。假設$g$為單調遞增的函數，定義$h=g^{?1}$，
$$\begin{gathered} F_Y(y)=P(X\le h(y))=F_X(h(y)) \\ {f}_Y(y)=f_X(h(y))h^{{}^{\prime }}(y) \end{gathered}$$
假設$g$為單調遞減的函數，則
$$\begin{gathered} F_Y(y)=P(X>h(y))=1?F_X(h(y)) \\ {f}_Y(y)=?f_X(h(y))h^{{}^{\prime }}(y) \end{gathered}$$
綜合這兩個結果，當$g$單調時
$$f_Y(y)=f_X(h(y))|h^{{}^{\prime }}(y)|$$

多元隨機變量的變換

假設$X$為分布函數為$F_X$的多元隨機變量，$X\in {\mathbb{D}}_X$，隨機變量$Y=g(X)$，$Y\in {\mathbb{D}}_Y$，$g$為有界連續函數，且Jacobi行列式$Jg=0$，定義$h=g^{?1}$，根據$F_X$的歸一化條件
$${\int }_{{\mathbb{D}}_X}{f}_X(x)dx=1$$
根據積分換元公式，等式左邊等于
$${\int }_{{\mathbb{D}}_Y}{f}_X(h(y))|\frac{dx}{dy}|dy={\int }_{{\mathbb{D}}_Y}{f}_X(h(y))|Jh(y)|dy=1={\int }_{{\mathbb{D}}_Y}{f}_Y(y)dy$$
因此
$$f_Y(y)=f_X(h(y))|Jh(y)|$$

均勻分布與Pareto分布

離散的均勻分布

古典概型中，基本事件數量有限，且發生的可能性是均等的。這個假設可以用離散的均勻分布來描述。假設樣本空間為$\Omega =\{w_1,w_2,...,w_N\}$，隨機變量$X:w_j\to j$的取值為$j\in \{1,2,...,N\}$，則X的分布列（mass function）為
$$f_X(j)=P(X=j)=\frac{1}{N}$$
X的概率生成函數（Probability Generating Function，PGF）為
$${\rho }_X(z)=E(z^X)=\sum _{j=1}^N{z}^j{f}_X(j)=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{z}^j=\frac{z?z^N}{(1?z)N}=\frac{1}{N}\sum _{i=k}^{N?1}{z}^i$$
X的均值和方差為
$$\begin{gathered} EX=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^{N}j=\frac{N+1}{2} \\ VarX=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{j}^2?(\frac{N+1}{2}{)}^2=\frac{(N?1)(N+1)}{12} \end{gathered}$$
根據PGF的性質
$$E(X{)}_k=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N(j{)}_k={\rho }_X^{(k)}(1)$$
其中記號$(j{)}_k$代表排列數$A_j^k$。對數列$a_n$引入（向前）差分運算
$${\Delta }_{+}{a}_n=a_{n+1}?a_n$$
則（向前）差分的前N項和為
$$\sum _{n=1}^N{\Delta }_{+}{a}_n=\sum _{n=1}^N(a_{n+1}?a_n)=a_{N+1}?a_1$$
考慮記號$(i{)}_k$關于$i$的（向前）差分
$${\Delta }_{+}(i{)}_k=(i+1{)}_k?(i{)}_k=(i+1)(i{)}_{(k?1)}?(i{)}_{(k?1)}(i?k+1)=k(i{)}_{k?1}$$
現在對$(j{)}_k$的前N項和進一步化簡
$$\sum _{j=1}^N(j{)}_k=k!+\sum _{j=k+1}^N\frac{1}{k+1}{\Delta }_{+}(j{)}_{(k+1)}=k!+\frac{(N+1{)}_{k+1}?(k+1)!}{k+1}=\frac{(N+1{)}_{k+1}}{k+1}$$
所以
$$E(X{)}_k={\rho }_X^{(k)}(1)=\frac{(N+1{)}_{k+1}}{N(k+1)}$$

連續的均勻分布

連續的均勻分布脫胎于幾何概型的基本假設。假設樣本空間$\Omega ?R^n$, $|\Omega |$是$\Omega$的Lebesgue測度，則$?x\in \Omega$，點$x$被取到的概率相同，從而密度（density）函數為
$$f_X(x)=\frac{I(x\in \Omega )}{|\Omega |}$$
假設$\Omega ?R$，則$\Omega$可以由一列幾乎不相交的閉區間表示
$$\begin{gathered} \Omega =\underset{j=1}{\overset{J}{?}}[a_j,b_j] \\ |\Omega |=\sum _{j=1}^J(b_j?a_j) \end{gathered}$$
假設$\Omega ?R^2$，則$\Omega$可以由一列幾乎不相交的閉矩形表示
$$\begin{gathered} \Omega =\underset{j=1}{\overset{J}{?}}{R}_j \\ |\Omega |=\sum _{j=1}^J|R_j| \end{gathered}$$
例如，一元連續均勻分布$U[a,b]$的密度為
$$f_X(x)=\frac{1}{b?a},x\in [a,b]$$
矩生成函數（Moment Generating Function，MGF）為
$$M_X(t)=E(e^{tX})={\int }_a^b\frac{e^{tx}}{b?a}dx=\frac{(e^b?e^a)e^t}{(b?a)t}$$

Zeta分布

假設X為離散均勻分布，$Y=g(X)=X^s$，則
$$f_Y(y)\propto y^{?s}$$
不妨假設$f_Y(y)=C{y}^{?s}$，
$$\begin{gathered} \sum _{y=1}^{\infty }C{y}^{?s}=C\sum _{y=1}^{\infty }{y}^{?s}=C\zeta (s)=1 \\ C=\frac{1}{\zeta (s)} \end{gathered}$$
其中$\zeta (s)$為Riemann-zeta函數。稱隨機變量Y服從zeta分布，
$$f_Y(y)=\frac{y^{?s}}{\zeta (s)}$$

Pareto分布

假設$X～U[0,1]$，$Y=g(X)=X^p$，則
$$f_Y(y)=f_X(g^{?1}(y))|h^{{}^{\prime }}(y)|=f_X(y^{?p})p{y}^{?(p+1)}=p{y}^{?(p+1)}$$
稱隨機變量Y服從Pareto分布。

總結

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