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矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数

發布時間：2025/4/14 编程问答 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

矩陣分析與多元統計II 二次型與二次曲面2 雙線性函數

雙線性函數
- 雙線性函數的表示
- 滿秩雙線性函數
對稱與反對稱
- 對稱雙線性函數
- 反對稱雙線性函數
應用
- 偽歐氏空間與偽正交變換
- 辛空間與辛變換
- 對稱雙線性函數空間與反對稱雙線性函數空間

雙線性函數

假設 $V$ 是數域 $F$ 上的線性空間，映射 $f:V×V→Ff:V\times V \to F$ 若滿足

f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β),?α1,α2,β∈V,k1,k2∈Ff(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\beta)=k_1f(\alpha_1,\beta)+k_2f(\alpha_2,\beta),\forall \alpha_1,\alpha_2,\beta \in V, k_1,k_2 \in F

f(α,c1β1+c2β2)=c1f(α,β1)+c2f(α,β2),?α,β1,β2∈V,c1,c2∈Ff(\alpha,c_1\beta_1+c_2\beta_2)=c_1f(\alpha,\beta_1)+c_2f(\alpha,\beta_2),\forall \alpha,\beta_1,\beta_2 \in V,c_1,c_2 \in F

則稱 $f$ 是 $V$ 上的一個雙線性函數。

雙線性函數的表示

假設 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 是 $V$ 的一組基，定義雙線性函數 $f$ 的度量矩陣為
$\left[ \begin{matrix} f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & \cdots & f(e_1,e_n) \\ f(e_2,e_1) & f(e_2,e_2) & \cdots & f(e_2,e_n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) & \cdots & f(e_n,e_n) \end{matrix} \right]$

給定基下，度量矩陣與雙線性函數是一一對應的關系。與線性函數類似，假設 $α,β\alpha,\beta$ 在 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 下的坐標是 $x, y$ ，則
$f (a, b) = x^{'} G y$

假設 $(η1,η2,?,ηn)(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$ 是 $V$ 的另一組基，從 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 到 $(η1,η2,?,ηn)(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$ 的轉移矩陣是 $T$ ，即
$(η1,η2,?,ηn)=(e1,e2,?,en)T(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)T$

則
$G(f;η1,η2,?,ηn)=T′G(f;e1,e2,?,en)TG(f;\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=T'G(f;e_1,e_2,\cdots,e_n)T$

也就是說同一個雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的。

滿秩雙線性函數

如果 $f(α,β)=0,?β∈V?α=0f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta \in V \Rightarrow \alpha=0$ ，則稱 $f$ 是滿秩的，下面是滿秩的等價性敘述：

G

滿秩；

f(α,β)=0,?α∈V?β=0f(\alpha,\beta)=0,\forall \alpha \in V \Rightarrow \beta=0

我們稱定義了滿秩雙線性函數的線性空間為雙線性度量空間，需要注意的是雙線性度量空間不一定是度量空間，但滿秩雙線性函數的作用與度量非常類似，都是把兩個向量映射到一個數值，所以給它一個名字叫雙線性度量。

對稱與反對稱

假設 $f(α,β)=f(β,α)f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)$ ，則稱 $f$ 為對稱雙線性函數；假設 $f(α,β)=?f(β,α)f(\alpha,\beta)=-f(\beta,\alpha)$ ，則稱 $f$ 為反對稱雙線性函數。

對稱雙線性函數

關于對稱雙線性函數，我們有一個非常有趣的例子。歐氏空間中的內積就是一個滿秩的對稱雙線性函數，根據Schmidt正交化定理，在任何標準正交基下，內積的度量矩陣是單位矩陣。這給我們提供了一個有趣的視角來理解對稱雙線性函數，我們可以把對稱雙線性函數理解為歐氏內積的某種推廣，稱定義了滿秩對稱雙線性函數的實線性空間為偽歐氏空間，比如用來描述四維時空的Minkowski空間在Minkowski內積下成為偽歐氏空間。另外，我們知道實對稱矩陣可以對角化，因此存在一組基使得對稱雙線性函數度量矩陣成為對角陣。

基于一個一般的雙線性函數 $g$ ，我們可以定義對稱雙線性函數：
$f(α,β)=g(α,β)+g(β,α)2f(\alpha,\beta) = \frac{g(\alpha,\beta)+g(\beta,\alpha)}{2}$

關于對稱雙線性函數，我們還想關注它與二次齊次函數的關系。對于 $f(α,β)f(\alpha,\beta)$ ，當 $α=β\alpha=\beta$ 時，稱 $f(α,α)f(\alpha,\alpha)$ 是 $f(α,β)f(\alpha,\beta)$ 對應的二次齊次函數。二次齊次函數與雙線性函數是一一對應關系：
$f(α,β)=f(α+β,α+β)?f(α,α)?f(β,β)2f(\alpha,\beta)=\frac{f(\alpha+\beta,\alpha+\beta)-f(\alpha,\alpha)-f(\beta,\beta)}{2}$

反對稱雙線性函數

反對稱雙線性函數在給定基時可以用反對稱矩陣表示，我們知道反對稱矩陣是可以對角化為：
$diag(S2,?,S2,0,?,0),S2=[01?10]diag(S_2,\cdots,S_2,0,\cdots,0),S_2=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \right]$

的形式的，因此存在一組基使得反對稱雙線性函數的度量矩陣滿足這個形式。稱定義了滿秩反對稱雙線性函數的實線性空間為辛空間。

應用

偽歐氏空間與偽正交變換

在 $n$ 維偽歐氏空間 $V$ 中，滿秩對稱雙線性函數在基 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 下的度量矩陣滿足 $G=diag(Ip,?In?p),0≤p≤nG=diag(I_p,-I_{n-p}),0 \le p\le n$

就稱 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 為標準正交基。如果 $A:V→V\mathcal{A}:V \to V$ 滿足
$f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta)$

就稱 $A\mathcal{A}$ 是偽正交變換，假設 $A$ 是 $A\mathcal{A}$ 的矩陣表示，稱 $A$ 是偽正交矩陣。關于偽正交變換有幾個性質：

偽正交變換的逆是偽正交變換；

偽正交變換的積是偽正交變換；

∣A∣=1or?1|A|=1\ or\ -1

A^{'} G A = G

我們可以從偽正交矩陣出發，假設 $α,β\alpha,\beta$ 在標準正交基 $(e1,e2,?,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ 下的坐標為 $x, y$ ，則
$f(α,β)=x′Gyf(\alpha,\beta) =x'Gy$

對 $α,β\alpha,\beta$ 做偽正交變換后，它們的坐標變為 $A x, A y$ ，因此
$f(Aα,Aβ)=x′A′GAyf(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta) =x'A'GAy$

根據定義
$f(Aα,Aβ)=f(α,β)?A′GA=Gf(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta) = f(\alpha,\beta) \Rightarrow A'GA=G$

基于這個結果，我們可以計算行列式
$∣A′GA∣=(?1)n?p=(?1)n?p∣A∣2?∣A∣=1or?1|A'GA|=(-1)^{n-p}=(-1)^{n-p}|A|^2 \Rightarrow |A|=1\ or\ -1$

另外，根據 $A^{'} G A = G$ ，我們知道 $A$ 時滿秩的，因此偽正交變換是滿秩的變換，用 $A?1\mathcal{A}^{-1}$ 表示它的逆變換，則根據定義
$f(A?1Aα,A?1Aβ)=f(α,β)=f(Aα,Aβ)f(\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta) = f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)$

因此偽正交變換的逆變換也是偽正交變換。假設 $B\mathcal{B}$ 是另一個偽正交變換，則根據定義
$f(BAα,BAβ)=f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{B}\mathcal{A}\alpha,\mathcal{B}\mathcal{A}\beta)= f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta)$

因此偽正交變換的積 $BA\mathcal{B}\mathcal{A}$ 也是正交變換。

辛空間與辛變換

$V$ 是 $2 m$ 維的辛空間， $f$ 是 $V$ 上的滿秩反對稱雙線性函數，稱 $(e1,e2,?,e2m)(e_1,e_2,\cdots,e_{2m})$ 為辛基，如果
$\left[ \begin{matrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{matrix} \right]$

如果 $A:V→V\mathcal{A}:V \to V$ 滿足
$f(Aα,Aβ)=f(α,β)f(\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=f(\alpha,\beta)$

就稱 $A\mathcal{A}$ 是辛變換。假設 $A$ 是 $A\mathcal{A}$ 的矩陣表示，稱 $A$ 是辛矩陣。辛變換有下面幾個性質，這幾個性質的推導與偽正交變換基本一致：

辛變換的逆是辛變換；

辛變換的積是辛變換；

A^{'} G A = G

對稱雙線性函數空間與反對稱雙線性函數空間

$V$ 是數域 $F$ 上的線性空間，對稱實雙線性函數空間與反對稱實雙線性函數空間有幾個結論：

\times V)^*

是

n^2

維線性空間；

用

\times V)^*

與

\times V)^*

表示

\times V)^*

的滿足對稱、反對稱性質的子集，證明二者的維數分別為

n (n + 1) / 2

n (n ? 1) / 2

上一講介紹過線性空間的對偶空間與線性空間維數相同，因此
$\times V)^* = dim(V \times V)=dim(V) \times dim(V)=n^2$

下面考慮 $\times V)^*$ 與 $\times V)^*$ 的維數。結論非常直觀，因為 $\times n$ 的對稱矩陣有 $n (n + 1) / 2$ 個自由度，反對稱矩陣有 $n (n ? 1) / 2$ 個自由度。因此 $\times V)^*$ 與 $\times V)^*$ 的維數分別為 $n (n + 1) / 2$ , $n (n ? 1) / 2$ 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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