UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 判斷函數可積性的一個題目

例 $(X,\mathcal{M},\mu )$是一個測度空間，$f$是定義在$(X,\mathcal{M},\mu )$上的可測函數，
$$\sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty$$

證明

$|f(x)|\le 1,a.e.$

$[1?f(x){]}^{?1}$可積

證
第一問：定義$E=\{x\in X:|f(x)|>1\}$，則
$$\sum _{n=0}^{\infty }\mu (E)=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_{E}d\mu \le \sum _{n=0}^{\infty }{\int }_E|f{|}^{n}d\mu \le \sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty$$

所以$\mu (E)=0$。于是$|f(x)|\le 1,a.e.$

第二問：因為$|f(x)|\le 1,a.e.$，
$$\frac{1}{1?f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }[f(x){]}^n,a.e.X$$

根據Fatou引理，
$$\begin{gathered} \int \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n|f{|}^{k}d\mu \le \underset{n\to \infty }{\lim }\int \sum _{k=0}^n|f{|}^{k}d\mu \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\int |f{|}^{k}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty \end{gathered}$$

因此
$$\int \frac{1}{|1?f|}d\mu <\infty$$

于是$[1?f(x){]}^{?1}$可積。

總結

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