UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學(xué)問(wèn)題3 靜磁學(xué)問(wèn)題的邊界條件

• • 邊界條件
  • • 例題

上一講介紹了magnetic filed的標(biāo)量勢(shì)：
$$H=??{\Phi }_M$$

與magnetic induction的向量勢(shì)：
$$B=?\times A$$

使用這兩個(gè)構(gòu)造可以把靜磁學(xué)問(wèn)題的Maxwell方程簡(jiǎn)化為Poisson方程。

邊界條件

與靜電學(xué)問(wèn)題類(lèi)似，靜磁學(xué)問(wèn)題也有一些常用的邊界條件，第一類(lèi)邊界條件由散度定理給出，根據(jù)Gauss定理
$$??B=0$$

使用散度定理，
$${\int }_V??Bd{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }={\oint }_{S(V)}B?\hat{n}dS=0$$

假設(shè)經(jīng)過(guò)邊界$S(V)$前后的magnetic filed垂直分量分別為$B_1,B_2$，取邊界的面積微元$\Delta S$
$${\oint }_{S(V)}B?\hat{n}dS=(B_2?B_1)\Delta S=0?B_1=B_2$$

這說(shuō)明在經(jīng)過(guò)邊界時(shí)，magnetic field沿外法線方向是連續(xù)變化的；

第二類(lèi)邊界條件由Stokes定理給出，根據(jù)安培定律，
$$?\times H=\frac{4\pi }{c}J$$

用一個(gè)小矩形包圍一小段邊界，記矩陣圍成部分為$S$，則
$${\int }_S?\times H?(\hat{n}\times \hat{t})dS=\frac{4\pi }{c}{\int }_{S}J?(\hat{n}\times \hat{t})dS$$

其中$\hat{n}$是磁場(chǎng)的邊界外法線方向，$\hat{t}$是磁場(chǎng)的邊界的切向；根據(jù)Stokes定理，我們可以把面積分化為繞這個(gè)矩形$R$的線積分：
$${\oint }_{R}H?dl=\frac{4\pi }{c}I?(\hat{n}\times \hat{t})$$

第二項(xiàng)表示垂直經(jīng)過(guò)矩形$R$的電流。假設(shè)這個(gè)矩陣的長(zhǎng)為$L$，寬可以忽略，則
$${\oint }_{R}H?dl=L(H_2?H_1)?\hat{t}$$

所以
$$(H_2?H_1)?\hat{t}=\frac{4\pi }{c}K?(\hat{n}\times \hat{t})$$

其中$K$表示currency per length（與電流密度$J$不一樣，$J$是currency per area）。

例題

例
有一個(gè)厚度可以忽略不計(jì)半徑為$a$的圓形薄片，薄片上的電荷密度是$\sigma$，這個(gè)薄片繞經(jīng)過(guò)圓心的豎直的直徑以$w$的角速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)算空間中的磁場(chǎng)。

解
在余緯角等于$\theta$的位置考慮微元$d\theta$，則在$dt$時(shí)間內(nèi)，這一段弧元掃過(guò)的面積為
$$(a\sin \theta wdt)(ad\theta )$$

所以運(yùn)動(dòng)電荷量為$$dQ=\sigma a^{2}w\sin \theta d\theta dt$$因此電流為
$$I=\frac{dQ}{dt}=\sigma a^{2}w\sin \theta d\theta$$

電流線密度為
$$K=\frac{I}{ad\theta }=\sigma aw\sin \theta =K_0\sin \theta ,K_0?\sigma aw$$

引入標(biāo)量勢(shì)${\Phi }_M$滿(mǎn)足$H=??{\Phi }_M$，則
$${?}^2{\Phi }_M=0$$

我們可以把這個(gè)方程的通解用Legendre多項(xiàng)式表示：
$${\Phi }_M=\sum _{l=0}^{\infty }[A_l{r}^l+B_l{r}^{?(l+1)}]P_l(\cos \theta )$$

進(jìn)一步，我們可以分邊界內(nèi)部/外部的磁場(chǎng)討論：
$${\Phi }_M=\{\begin{array}{l}{\sum }_{l=0}^{\infty }{A}_l{r}^l{P}_l(\cos \theta ),r\le a\\ {\sum }_{l=0}^{\infty }{B}_l{r}^{?(l+1)}{P}_l(\cos \theta ),r>a\end{array}$$

需要注意的是在這個(gè)極坐標(biāo)$(r,\theta )$中，$r$的方向是邊界的外法線方向$\hat{n}$，$\theta$軸的方向是余緯角的切線方向$\hat{t}$，根據(jù)右手法則，$\hat{n}\times \hat{t}$與薄片線速度方向一致。所以在邊界上
$$\begin{gathered} B?\hat{n}=B_r=?\frac{?{\Phi }_M}{?r}=0 \\ ?\sum _{l=1}^{\infty }{A}_{l}l{a}^{l?1}{P}_l(\cos \theta )=?\sum _{l=0}^{\infty }\frac{(l+1)B_l{P}_l(\cos \theta )}{a^{l+2}} \end{gathered}$$

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$P_l$是正交多項(xiàng)式，所以上面的等式要成立除非$P_l$對(duì)應(yīng)系數(shù)相等：
$$?\begin{array}{l}\frac{B_0}{a^2}=0\\ ?\frac{2B_1}{a^3}=A_1\\ ?\\ ?\frac{(l+1)B_l}{a^{l+2}}=A_{l}l{a}^{l?1}\\ ?\end{array}$$

另一組邊界條件是
$$B?\hat{t}=B_{\theta }=?\frac{1}{r}\frac{?{\Phi }_M}{?\theta }=\frac{4\pi }{c}K?(\hat{n}\times \hat{t})$$

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$K$與電荷運(yùn)動(dòng)方向相同，也就是與薄片線速度方向相同，而前面我們也分析過(guò)，$\hat{n}\times \hat{t}$也與薄片線速度方向相同，因此在邊界上有
$$\begin{gathered} ?\frac{1}{r}\frac{?{\Phi }_M}{?\theta }=\frac{4\pi }{c}{K}_0\sin \theta \\ ?\frac{1}{a}\sum _{l=0}^{\infty }{A}_l{a}^l\frac{d{P}_l}{d\theta }?\frac{1}{a}\sum _{l=0}^{\infty }\frac{B_l}{a^{l+1}}\frac{d{P}_l}{d\theta }=\frac{4\pi }{c}{K}_0\sin \theta \end{gathered}$$

這個(gè)式子也是對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，我就懶得寫(xiě)了。綜合這兩組方程，最后只有$A_1,B_1$非零，答案是
$${\Phi }_M=\{\begin{array}{l}?\frac{8\pi K_0}{3c}r\cos \theta ,r<a\\ \frac{4\pi a^3{K}_0}{3c}\frac{\cos \theta }{r^2},r>a\end{array}$$

$$B=??{\Phi }_M=\{\begin{array}{l}\frac{8\pi K_0}{3c}(\cos \theta \hat{r}?r\sin \theta \hat{\theta }),r<a\\ \frac{4\pi a^3{K}_0}{3c}(\frac{2\cos \theta }{r^2}\hat{r}+\frac{\sin \theta }{r^3}\hat{\theta }),r>a\end{array}$$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论III 静磁学问题3 静磁学问题的边界条件与标量势方法的应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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